2023年河南省專升本高等數(shù)學試卷及答案

1711

河南省普通高等學校解：limarctan-=—：limarctan—=一餐。

XTO,X2a。-

選拔優(yōu)秀?？粕M入本科階段學習考試川-+的值為(

5.設/(x)在x=l處可導，且尸⑴=1,則lim)

力一>0h

《高等數(shù)學》試卷

A.-lB.-2C.-3D.-4

題號一二三四五六總分核分人

解:川-2/，)-/(1+/，)

11m=lim[-2/r(l-2/?)-f(l+h)=-3f(1)=-3=>C。

分數(shù)/?->oh/?->o

6.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(a/)內(nèi)有尸(x)>0,/〃(x)<0,則在區(qū)間(。/)內(nèi),7(x)圖形

)

一.單項選擇題(每題2分，共計50分)

得分評卷入

A.單調(diào)遞減且為凸的B.單調(diào)遞增且為凸的

在每小題的備選答案中選出一個對的答案，并將其代碼寫在題干后

C.單調(diào)遞減且為凹的D.單調(diào)遞增且為凹的

面的括號內(nèi).不選、錯選或多選者，該題無分.

解:,/(幻>0=單調(diào)增長;/"(x)<0=凸的。應選B。

1.集合｛3,4,5｝的所有子集共有)

7.曲線y=l+/的拐點是)

A.5B.6C.7D.8

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(14)

解：子集個數(shù)2〃=23=8=0。

解：y"=6x=0nx=0=(0j),應選A。

2.函數(shù)f(x)=arcsin(x-1)+J3-x的定義域為)

x2-2

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]8.曲線/(X)=-—―的水平漸近線是)

3x-

解：<=>0<x<2=>Bo2.21

[3-x>0A.yB.y=——。J，*D.y-

3-3

)2

3.當JVF0時，與x不等價的無窮小量是X-2=j，J=C.

解：lim

3.3

A.2xB.sin%C.ex-1D.ln(l+x)

解：根據(jù)常用等價關(guān)系知，只有2x與x比較不是等價的。應選A。tantdt

9.lim地一--()

。4

4.當x=0是函數(shù)/(x)=arctan，的()mx

x

A.0C.2D.1

A.連續(xù)點B,可去間斷點C.跳躍間斷點D.第二類間斷點

tanxdx2xtanx21?A.tanx-cotx+CB.tanx------FC

解：lim--------=lim-----7—=一=B。tanx

XTO￡x->04r2

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

10.若函數(shù)f(x)是g(x)的原函數(shù),則下列等式對的的是)

解：分析結(jié)果，就能知道選擇C。

AJf{x}dx=g(x)+CB.J^(x)6^=/(x)+C

15.函數(shù)y=/在區(qū)間[[J的平均值為()

C.^gXx)djc=f(x)+CD.jfX^dx=g(x)+C

A.—B.—C.8D.4

33

解：根據(jù)不定積分與原函數(shù)的關(guān)系知,jg(x)cbc=f(x)+Co應選B。

a3

皿1a」1r3,x13

解：--I于⑺dx=-|x-djc=--=—=>nB.

11JcosQ-3x)4(=()JaJl

b-a26)3

A.-gsin(l-3x)+C16.過Oz軸及點(3,-2,4)的平面方程為()

B.-sin(l-3x)+C

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C.—sin(l—3x)+CD.3sin(l-3x)+C

C.2x+3y=0D.2x+z=0

解：Jcos(l-3x)dx=—^|cos0-3x)J(1-3x)=-^sin(l-3x)+C=A。

解：通過Oz軸的平面可設為Ax+8)，=0,把點(3,-2,4)代入得2x+3)，=0應選C。

也可以把點(3,-2,4)代入所給的方程驗證，且不含z。

12.設丁=［；。一1)。一3)力，則y'(0)=)

A.-3B.-1C.1D.317.雙曲線■石一不=1繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面方程為()

解：yf=(x-l)(x-3)=>yf(O)=3=>D°y=0

13.下列廣義積分收斂的是97

()_riBY-r±￡i=i

A.=

廠,dxgdx3434

A.

1五(x+y)。z2D,二_(y+z)、i

C.------------=J

1-Kodxr>dx3434

C.D.

1777

解：把工一二=1中/換成一+)產(chǎn)得三±2二一二=葭應選A。

("今收斂，應選C。3434

解：由p積分和g積分的收斂性知,

3-Jxy+9

18.lim————)

XTO

14.對不定積分Jdx,下列計算結(jié)果錯誤是)?T0

sin2xcos2x

ABc.oD.極限不存在

-1-4￡〃(ln〃尸￡獻方

上應解：對級數(shù)之」一、y―J需要運用積分判別法，超過大綱范圍。級數(shù)

解：hm--------lim—--=->--B-o

x->0XTO孫(3+Jxy+9)；：*+Jxy+96MnInn?〃(lnn)

v-K)y->0=2

則年y—!—有結(jié)論：當°>1時收斂，當pvi時發(fā)散。級數(shù)之」一、產(chǎn)與級

19.若z=xy)

(e,l)

A.1數(shù)之上運用比較判別法的極限形式來擬定-一發(fā)散的，應選Co

B.1c.D.0

e念”

解:I23.鼎級數(shù)ZfT(x+1)”的收斂區(qū)間為()

=xyIn=elne=e=>C。

n=03

(e.D

aA.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

20.方程22丫-.隹3=1所擬定的隱函數(shù)為2=/(匕)，)，則絲=)

OX解：令x+l=z,級數(shù)化為之占「=>收斂區(qū)間為(-3,3),即

A―n=033n=o\3/

x+1G(-3,3)=>xw(-4,2)nD。

dz

解：令尸=z?y-應3-1=>F；=-Z3\F[-2zy-3xz2=>—24.微分y〃+3V+2y=efcosx特解形式應設為y=()

dx~~F；~2y-3xz

x

A.CecosxB.(Gcosx+C2sinx)

應選A。

x2x

C.xe~(C1cosx+C2sinx)D.xe~(C}cosx+C2sinx)

21.設C為拋物線y=/上從(0,0)到(1,1)的一段弧，則120dt+V力=

解：一1+i不是特性方程的特性根，特解應設為""(Gcosx+CzSinx)。應選人

()

25.設函數(shù))=/(此是微分方程y"+V=e2"的解，且/(%)=0,則/(x)在詼處

A.-lB.OC.1D.2

()

解：C：從0變到1,￡,2xydx+x2dy=￡4x3tZx=1C。

A.取極小值B.取極大值C.不取極值D.取最大值

2x0=/〃*0)

22.下列正項級數(shù)收斂的是()解：有/〃(/)+/'(%)e>0=>Ao

31

B.y—

“=2〃卜〃

得分評卷人32.若函數(shù)/(x)=oP+bx在x=l處取得極值2,則。=,b=_

二、填空題（每題2分，共30分）

解：/(x)=2ar+Z?=0=2a+Z?=0：〃+/?=2=a=—2;〃=4。

26.設了(工)=2工+5,則./1/(尢)-1]=.33.

解：f[f(x)-1]=2(/(x)-1)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

解：f^^=ln|/(x)|+C,

J/(x)」/(x)

2n

27.lim—=.

34.￡\l\-x2dx=

解：構(gòu)造級數(shù)之L,運用比值判別法知它是收斂的，根據(jù)收斂級數(shù)的必要條件

仁n\解：Jx45|9=40

2"

lim——=0o35.向量Z=37+4]-E的模|3|=

"trnl

’3e?,x<0解：|3：+4j-G|=J9+16+1=4。

28.若函數(shù)/(x)=1a在x=0處連續(xù)，則。=

2x+-,x>036.已知平面%：x+2y-5z+7=0與平面兀？：4x+3y+〃zz+13=0垂直，則

I2

解：lim/(x)=—;lim/(x)=3=>。=6。

XTO-2解：4={1,2,-5};五2={4,3,/%}=4+6-5m=0=/九=2。

29.己知曲線y=x?+x-2上點M處的切線平行于直線y=5x-l,則點M的坐標22

37.設f(x+y,xy)=x+yf則/(x,y)=

為—解：f(x+y,xy)=x2+y2=(x+y)2-2xyf(x,y)=x2-2y。

解：)，'=2x+l=5=x=2=y=4nM(2,4)。

38.已知/=『f{x,y)dx,互換積分順序后，則/=

30.設fa)=e2Z,則/(2007)(0)=

2

解：/⑺3)=2〃/1=y(2007)(0)=22007e-1o(x,y)\0<y<^,y<x<yl\-y\

解：D=<

2

尢=3,+1則匕

31.設

y=2r-t+1=1(x,^)|0<x<^y,0<y<Aj+1(x,y)|^<x<l,0<y<

解：包=竺」二也

=1O

dx3dxr=l421F?

所以順序互換后為［j公］：/*,,）辦+花小才”/（%,y）dy.

2

44.0<f'n25/l-e-2'?fc<—ln2.（）

Jo2

解：因0<Jl-u-2*<1,由定積分保序性知：04C'yjl-e^dxiin2<—In2,

Jo2

應為J。

所以S=limS“=—o

〃->8U]45.函數(shù)/（x,y）在點P（x,y）處可微是f（x,y）在P（x,y）處連續(xù)的充足條件.（）

40.微分方程yn-2yf+y=0的通解為—解：/。,丁）在點「（蒼），）處可微可得了。,?。┰邳c「。,），）處連續(xù)，反之不成立，應

解：有二重特性根1,故通解為〉=。]陵+。2入^（6，。2為任意常數(shù)）。為應為J。

得分評卷人

得分評卷入

四、計算題（每小題5分，共40分）

--------------三、判斷題（每小題2分，共10分）

--------------你認為對的的在題后括號內(nèi)劃“J”，反之劃“X”.

46.求lim-g

41.若數(shù)列｛4｝單調(diào)，則卜〃｝必收斂.（）iQ.

limsintinxx-.rlim

解：如數(shù)列｛〃｝單調(diào)，但發(fā)散，應為X。解：lim%smr=hm*"==ex^

X^0*A-^0*

42.若函數(shù)/0）在區(qū)間卜,以上連續(xù)，在（外。）內(nèi)可導，且/⑷工/（/?）,則一定不存

在&w3,b）,使/（9=0.（）

解：如y=/在41,3]滿足上述條件，但存在g=0w[—l,3],使得/?=0,應為

Xo-侶的導吟

47.求函數(shù)y

43.lim-------======lim------=lim—~~—=-1.()

.—cox+sinxi1+cosx工，-sinx

解：兩邊取自然對數(shù)得In|>H=21n|x|+|[ln|l-x|-ln|l+x|],一一（1分）

Isinx

解：第二步不滿足9或巴，是錯誤的，事實上lim三*吧=lim—3一=1。應

0oox—x+sinx30i,sinx兩邊對x求導得：一y'——I------------------（3分）

1+yx3\_\-x1+x

11

為X。（4分）

3(D3(7+1)

故舊官^r焉］?！?5分）51.計算“丁公6，其中。為圓環(huán)區(qū)域：i?/+y2?4

D

解：積分區(qū)域。如圖07-1所示：。的邊界/+）產(chǎn)=1、/+丁=4用極坐標表達

48.求不定積分+1n（1+工呼氏.

分別為尸=1,/?=2：故積分區(qū)域。在極坐標系系下為

解：j[e2x+ln(l+x)]dr=^e2xd(2x)+1ln(l+x)dx---(1分)

{(r,0)|O<0<27t,l<r<2},——(2分)

故JJ."y=『可r2cos26rd/----(3分)

=-e2'4-xln(l4-x)—fXdx----(3分)

2J1+xD

=g/r+式ln(l+x)-jl--p—dx—(4分)n

4,A

2x

=^e+xln(l+x)-x+ln(l+x)4-Co---(5分)若於。弋?！抖藦V2cos20吐一（4分）

49.計算定積分,J2+2cos2xdx.2兀

15C2n15115K

=—￡(1+cos29k/0=—(9+sin20)—-(5分)

04

解：El2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos2x,所以

52.將二^?展開為x的累級數(shù)，并寫出收斂區(qū)間.

I：J2+2cos2x^Zr=「V4cos2xdx=]：21cosx\dx----(2分)4-x2

2x

=2pcosx公-2jnCosj?Zr-----(4分)解：因-一（2分）

432-2+x2(1_|)2(1+|)

'2

=2sin點一2sin.qg=2+2=4。----(5分)——=YxnXG(-l,l)o

21-x>1=0

50.設2=/("§1!1)，,3/2))),且/(〃#)為可微函數(shù)，求dz.

所以—冗e（―2,2）；=xG（―2,2）。一（3分）

解：令，siny=〃，3x2y=y,有z=J'(“,u),運用微分的不變性得1---〃旬1H—

22

dz=/；(w,v)du+/J(w,v)dv=f^d(exsiny)+/；J(3x2y)---(3分)

故冷點燈鴦闿耳鏟卜”ZT4分）

=f：(e戈sinydx+excosydy)+f'ifixydx4-3x2dy)-----(4分)

xx2

(esinyf't+6xyf')dx+(ecosyf't+3xf')dy-一(5分)=￡備一”xe(-2,2)。一(5分)

M=0/

53.求微分方程x-dy+（），-2xy-x2）dx=O的通解.az2bV八

一=ay-----=0

令axx2bV

1—2X得唯一駐點x=y=ll——，----（5分）

解：方程可化為v+=這是一階線性非齊次微分方程，一-（1分）5Z-2bV八

廠=ax-----=0

y

它相應的齊次方程y'+—二丫=0的通解為〉=520，，-一（2分）

"廠由題可知造價一定在內(nèi)部存在最小值，故x=y=就是使造價最小的取值，此

設原方程有通解y=C（x）x2e^,代入方程得C\x）x2e^=1,