三角形的基礎知識 省賽獲獎

第七單元

三角形第21課時三角形的基礎知識1．[2018·長沙]下列長度的三條線段，能組成三角形的是 (

) A．4cm，5cm，9cm B．8cm，8cm，15cm C．5cm，5cm，10cm D．6cm，7cm，14cmB2．[2017·南寧]如圖21－1，△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，則∠C等于 (

) A．100°

B．80° C．60° D．40°圖21－1B3．[2017·宜昌]如圖21－2，要測定被池塘隔開

的A，B兩點的距離．可以在AB外選一點 C，連結AC，BC并分別找出它們的中點 D，E，并連結DE.現測得AC＝30m，BC

＝40m，DE＝24m，則AB的長度為

(

) A．50m B．48m C．45m D．35m圖21－2B4．[2019·中考預測]在△ABC中，若∠A＝30°，∠B比∠C大20°，則∠C＝________．65°1．三角形的概念及分類

定義：由______________直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形是三角形．

三角形的分類： (1)按角分：不在同一條(2)按邊分：三角形中的重要線段：在三角形中，最重要的三種線段是三角形的中線、三角形的角平分線、三角形的高線．【知識拓展】(1)三角形的三條中線的交點在三角形的內部；(2)三角形的三條角平分線的交點在三角形的內部；(3)銳角三角形的三條高線的交點在三角形的內部；直角三角形的三條高線的交點是直角頂點；鈍角三角形的三條高線所在直線的交點在三角形的外部．2．三角形三邊的關系 (1)三角形任意兩邊的和________第三邊； (2)三角形任意兩邊的差________第三邊．3．三角形內角和

定理：三角形的內角和等于__________．

推論：(1)三角形的外角________與它不相鄰的兩個內角的和； (2)三角形的一個外角________任意一個和它不相鄰的內角．

【知識拓展】

一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角，最多有一個鈍角，最多有一個直角．大于小于180°等于大于4．三角形的中位線

三角形的中位線________于第三邊，并且等于第三邊的一半．5．三角形的重心(選學內容)

三角形的重心：三角形的重心是三角形三條中線的交點，且重心到頂點的距離是它到對邊中點的距離的2倍．平行1．三角形內外角性質的運用技巧

進行三角形角度計算時，常常利用方程求解．2．構造三角形中位線

有關中點問題，常作輔助線構造三角形中位線，利用三角形中位線的性質解決問題．類型一三角形的三邊關系典例[2017·舟山]長度分別為2，7，x的三條線段能組成一個三角形，x的值可以是 (

) A．4 B．5 C．6 D．9

【解析】利用“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊”可得7－2＜x＜7＋2，解得5＜x＜9，x的值可以是6.C跟蹤訓練1.[2018·泰州]已知三角形兩邊的長分別為1，5，第三邊長為整數，則第三邊的長為_____．2．[2018·武威]已知a，b，c是△ABC的三邊長，a，b滿足|a－7|＋(b－1)2＝0，c為奇數，則c＝_____．【解析】∵a，b滿足|a－7|＋(b－1)2＝0，∴a－7＝0，b－1＝0，解得a＝7，b＝1，∵7－1＝6，7＋1＝8，∴6＜c＜8，又∵c為奇數，∴c＝7.思維升華三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是判斷任意三條線段能否組成三角形的依據．57類型二三角形的角平分線性質的運用典例[2018·黃石]如圖21－3，△ABC中，AD是BC邊上的高線，AE，BF分別是∠BAC，∠ABC的平分線，∠BAC＝50°，∠ABC＝60°，則∠EAD＋∠ACD＝ (

) A．75° B．80° C．85° D．90°圖21－3A【解析】∵AD是BC邊上的高線，∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE＝25°，∴∠DAE＝30°－25°＝5°，∵△ABC中，∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝70°，∴∠EAD＋∠ACD＝5°＋70°＝75°.跟蹤訓練如圖21－4，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，則∠D等于 (

)A．15° B．17.5°C．20° D．22.5°圖21－4A

跟蹤訓練答圖【解析】如答圖，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∵∠ABC的平分線與∠ACE的平分線相交于點D，

類型三三角形的中位線的性質運用典例[2018·達州]如圖21－5，△ABC的周長為19，點D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC＝7，則MN的長度為 (

)圖21－5C【解析】證明△BNA≌△BNE，得到BA＝BE，即△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，根據題意求出DE，根據三角形中位線定理計算．∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE，跟蹤訓練1.[2017·宿遷]如圖21－6，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，若CD＝2，則線段EF的長是_____．【解析】首先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求得AB的長，然后根據三角形的中位線定理求解．∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，即CD是直角三角形斜邊上的中線，∴AB＝2CD＝2×2＝4，圖21－622．[2019·中考預測]如圖21－7，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD，AE分別為△ABC的中線和角平分線，過點C作CH⊥AE于點H，并延長交AB于點F，連結DH，則線段DH的長為_____．圖21－7【解析】∵AE為△ABC的角平分線，CH⊥AE，∴△ACF是等腰三角形，∴AF＝AC，∵AC＝3，∴AF＝AC＝3，HF＝CH，∵AD為△ABC的中線，∴DH是△BCF的中位線，1思維升華三角形的中位線定理在證明兩線平行關系和計算兩線段數量關系時有著重要作用，因此，題目中有“中點”，要學會尋找或構造中位線，從而為解題創(chuàng)造條件．類型四三角形的重心(選學內容)典例[2017·湖州]如圖21－8，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，點P是Rt△ABC的重心，則點P到AB所在直線的距離等于 (

)圖21－8A∵P是Rt△ABC的重心，典例答圖思維升華三角形的頂點、重心、對邊中點共線，所以有關重心的輔助線是連結三角形的頂點與重心得到三角形的中線．跟蹤訓練1.[2018·綿陽]如圖21－9，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB＝_____．圖21－92．[2017·瀘州]在△ABC中，已知BD和CE分別是邊AC，AB上的中線，且BD⊥CE，垂足為O.若OD＝2cm，OE＝4cm，則線段AO的長度為________cm.跟蹤訓練2答圖1．判斷三條線段能否構成三角形時，要注意不能只考慮兩邊之和大于第三邊就下結論，應該依據較小兩邊的和大于最大邊來判斷．2．三角形的中位線與中線的區(qū)別：三角形的中線是連結頂點與對邊中點的線段，而中位線是連結三角形兩邊中點的線段．3．不同類型的三角形的三條高