2023年江蘇省七市聯(lián)考高考數(shù)學模擬試卷解析版

南通市2023屆高三第一次調(diào)研測試解析版

參考答案與試題解析

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.(5分)已知集合4=31忘;(<3},B={x[2Vx<4},則AAB=()

A.(2,3JB.[I,4)C.(-8,4)D.[1,+°0)

【解答】解:AC8={x|2VxW3}=(2,3].

故選：A.

2.(5分)已知向量a,b滿足|a|=1，|b|=2,Q,b〉=,則a?(a+b)=(

A.-2B.-1C.0D.2

【解答】解：根據(jù)題意可得)=；%■+1X2X(4)=0，

故選：C.

3.(5分)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)zi,Z2對應(yīng)的點關(guān)于直線x-y=O對稱，若=則0-

Z2|=()

A.&B.2C.2V2D.4

【解答】解：zi=1-i對應(yīng)的點為(1,-1),其中(1,-1)關(guān)于x-y=0的對稱點為

(-1,1),

故Z2—-1+J，

故|Z1-z2l=|l-i+l-i|=|2-2i1=74^4=272-

故選：C.

4.(5分)2022年神舟接力騰飛，中國空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太

空中飛船與空間站的對接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運行軌道是以地球

的中心為一個焦點的橢圓，其遠地點(長軸端點中離地面最遠的點)距地面51，近地點

(長軸端點中離地面最近的點)距地面S，地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長為()

A.何用B.詆可

C.1(S1+R)(S2+R)D--(SI+R)(S2+R)

【解答】解：由題意得〃+c=5i+R,a-c=Sz+R,

:.序-2=(Si+R)(S2+R)，

故b"(Si+R)(S2+R)，

2b=24(S[+R)(S2+R)，

故選：D.

JTOTT

5.(5分)已知sin(a-^~)+cosCL=—<則cos(2a+-^)=()

A.理B,J-C.」D.』

25252525

【解答】解：???sin(a」、1./?兀、3

.)+「nya=2L±Lsina+—cosa=sin(a+--)=—,

6,2265

./cz兀、_1C.2/z兀、_1OY9_7

cos(2a?t^)—1-2sin(a1-2X話一正,

故選：B.

6.(5分)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,。2),有下列四個命題:

甲：P(X>m+1)>P(X<m-2)；

乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(XW〃?)=0.5；

T：P(w-\<X<m)<P(m+\<X<m+2).

如果只有一個假命題，則該命題為()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解答】解：命題乙，丙同真假，

由題意可知，四個命題只有一個為假命題，

故乙，丙均為真命題，

所以\i—m,

P(X>/n+l)=P(X</n-1)>P(X<w-2),故甲正確，

P(w-\<X<m)=PCm<X<m+l)>PCm+\<X<m+2),故丁錯.

故選：D.

7.(5分)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(2x+l)為偶函數(shù)，/(x)=fCx+\)-/(x+2),

若f(1)=2,則f(18)=()

A.1B.2C.-1D.-2

【解答】解：因為f(2r+l)為偶函數(shù)，所以f(2x+l)=/(-2x+l),

所以/(x+1)=/(-x+l),則/(x)關(guān)于x=l對稱，

設(shè)f(x)=2sin(子乂止于)，f(l)=2sin("^-■>*1)=2，關(guān)于x=l對稱，

ITITITTT

f(x)+f(x+2)=2sin(—x-?^-)+2sin[—(x+2)4^-]

/兀兀、/兀5、r

2[rsin(-z-xF+sin(—x-^H)]

n71兀K兀

r,_-____5兀-兀.-5?！?c-兀

2[sirr-^-x：cos7+cos-z_xsinT+sinzxcos+cosz-xsinT-J=2cosz-x

63636363

-f(x+l)=2sin(-y-x-*^_)=2cos~^_x,所以f(x+1)=/(1)+f(x+2),

即f(x)=2sin?兀?卷)符合條件，

兀

所以f(18)=2sin(6兀7)=1-

故選：A.

8.（5分）若過點P（60）可以作曲線y=(1-x），的兩條切線，切點分別為A（xi，yi）,

B（X2，"），則yi”的取值范圍是（)

A.(0,4/3)B.(-oo,o)U(0,4/3)

C.(-8,4/2)D.(-8,0)U(0,4/2)

-=xxx

【解答】解：設(shè)切點(x°,(1-Xg)e,/-e+(1-x)e=-xe,k=-xQe

則切線方程為y-(l-xo)廣=-XoeX°(x-Xo)，又切線過h，。)，

?*,-(l-Xg)e°=-XQ60(t-Xg)?3-1=70(，-刈)，

22

X+XX

oooo-(t+1)XQ+1=0有兩個不相等實根為，X2f

=+

其中X[X2=1,xi+x2tl,△=(t+1)2-4>0，.Ol或，<-3，

=X：+X：+X：+X：t+1,

y1y2(1"X1)(1-X2)e=[1-(X1+x2)Xjx2]e=(1-t)e

令g(t)=(1-r)ef+l,>1或-3,g'(r)=-

當V-3時，g,⑺>0,當r>l時，g⑺<0,

工函數(shù)g(x)在(-8,-3)上遞增，在(1,+8)上遞減，

又g(-3)=4/2,g(1)=0,

當/f-8時，g(f)->0,當/f+8時，g(/)f+8,

：.g(r)G(-8,0)U(0,4/2),

即y1y2cS,0)U(0,4e-2)-

故選：D.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

（多選）9.（5分）在棱長為2的正方體488-481。功中,AC與8。交于點。，則（）

A.AQi〃平面BOG

B.3￡>_L平面COCi

C.GO與平面ABC。所成的角為45°

D.三棱錐C-BOC\的體積為2

3

【解答】解：AOQ平面BOCi，BQu平面BOG,；.A?！ㄆ矫鍮。。，4

對;

因為BO_LC。，又CCi_L平面ABC。，BDu平面A8CD,

所以BDLCCi，C￡>nCCi=C,CD,CCju平面COCi，平面CO。，B對；

因為CiC,平面ABCD,C\O與平面ABCD所成角為/CiOC,

因為tan/gOcE盧1，二/?！嫫?5°，C錯；

1V2

因為正皿「左中用'恭2乂1乂2卷，。對?

故選：ABD.

TT

（多選）10.（5分）函數(shù)f（x）=sin（3x+o）（3〉0,|。|<?。┑牟糠謭D象如圖

所示，則（）

A.3=2

B.中吟

TT

C./(%)的圖象關(guān)于點(缶，0)對稱

5兀

D.f(x)在區(qū)間(兀，~T)上單調(diào)遞增

【解答】解：工工兀一7T兀

2632

兀

???TT=兀E2

3

(0=2,f(x)—■sin(2x+(p),f(———)=sin兀+0)—1,

rh工兀/./TT1T.2兀/7兀

22636

所以0+2兀=兀，。=-三，所以A選項正確，B選項錯誤.

326

f(x)=sin(2x~^-)>2x-^-=k兀，k€Z)

bbINN

TTTT

當k=0時，得x喘，所以f(x)關(guān)于(金，0)對稱，c選項正確，

^^-+2ki兀<2x-^~<3+2k］兀，'■^-+k［兀<x<-^-+k［冗，k<€Z)

111

Z0Z0611

當h=1時，得/(X)在(5兀，匡兀)上遞增，則f(x)在區(qū)間(兀，.)上單調(diào)

634

遞增，。選項正確.

故選：ACD.

(多選)11.(5分)一個袋中有大小、形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅、黃、藍，

從袋中先后無放回地取出2個球，記”第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到黃球”

為事件B,則()

A.P(A)」B.48為互斥事件

3

C.P(8|A)=AD.A,B相互獨立

2

【解答】解：P(A)小，A正確；

3

A,8可同時發(fā)生，即“即第一次取紅球，第二次取黃球”，43不互斥，3錯誤；

在第一次取到紅球的條件下，第二次取到黃球的概率為方，C正確；

P(AB)[x春P(AB)盧P(A)P(B)，

oZooSNb

故A,8不獨立，。錯誤；

故選：AC.

（多選）12.（5分）已知拋物線7=4），的焦點為尸，以該拋物線上三點A,B,C為切點的

切線分別是4,12,13,直線小/2相交于點。，/3與人，/2分別相交于點p，Q.記A,B,

。的橫坐標分別為XI，X2,X3,則（）

A.DA-DB=OB.Xl+X2=2x3

C.\AF]-\BF\^\DF^D.\AP\'\CQ\^\PC\'\PD\

【解答】解：A,B,。的橫坐標分別為xi，X2,X3，

2z

則可設(shè)A（X[，/"），B（Xo,c\fXo

1A乙

由拋物線/=4y,可得求導(dǎo)得y'=^x,所以人的斜率

2

所以1[：y'-r-=4-x1(x-Xi)>BPy^-x,x-jx1'

3乙/4

同理可得“：y^x2x-|-X2)

fv_l12

y^xlx-Ixl

直線/i，/2方程聯(lián)立，11解得即X0=X」：X2,所以X1+X2

?_11232

y^x2x~7x2

=2%3，故8正確;

Xi+xXix

D(—J~99

24

x「X2X1x/2X[+X2xx/2

則DA-DB=(x2

T~了一(X2「一，~~r

,x「X2X](x-X2)、/2-XiX2(X2-X[)

'~2-'4)(~2-'4

222

(xj-X2)X|X2(Xj-X2)(xj-X2)

（4+XJ2）不一定為°，故A錯誤;

2

|AF|?|BF|=(-^-+l)

/.\22,Q.222

IO〃2(X1+X2)I<X[X2_1)2X1+2X/2+X2X1x?_=

444162

2222

XtX2^2+1^|4f1|BF|)故c正確；

1644

pJI+XQX]XO)-2+X0x2x0)

-2-'4'Q-2-'4'

22

x0-x<?x<x0-xQ?Ix0-x.IV4+x<

22

(-V)^-(-°4—-)=-~y—」，

2

QQ1—J(X2-XO)2T(X2X0-X0]|X2-X0|74+X0

2

『Ci-J(x「xo)2|(xixo-xo]|X1-X0|74+X0

X-XZX,Xn-Xix-I|J4+X1

I?n2121n2X2-X0

IPD7(-^)+(4°)--"4'

：.\AP\\CQ\=\PC\\PD\,D正確,

故選：BCD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

'l+log9(2-x)?x<1

13.(5分)已知函數(shù)f(x)=《，則f(f(-2))=4.

2X-1?x>l

l+log9(2-x)>x<1

【解答】解：因為f(x)=，

2X-1?x>l

所以/(-2)=l+log2(2-(-2))=l+log24=3,

所以/"(-2))=f(3)=23',=22=4.

故答案為：4.

in-1

14.(5分)寫出一個同時滿足下列條件①②的等比數(shù)列｛如｝的通項公式斯=_(得)(答

案不唯一).

①斯。〃+1<0；②.

【解答】解：???數(shù)列｛〃”｝為等比數(shù)列，且滿足①如癡+1V0;②|涮>%+1|,

?<0,..qV。，

?I編>“1|,???0|V1,/.-1<9<0,

11n-11n-1

取〃1=1,q=~,貝!Jcin=1X（—）=（-?—）,

in-1

故答案為：（二）（答案不唯一）.

15.（5分）已知圓。/+）2=/（r>0）,設(shè)直線x+我y—5=0與兩坐標軸的交點分別為

A,B,若圓。上有且只有一個點P滿足科P|=|8P|,則r的值為

【解答】解：根據(jù)題意易得A（百，0）,B（0,1）,PA=PB.

在A8的垂直平分線上，又應(yīng)，

nAB3

...A8中垂線的斜率為我，又A8的中點為號，A）,

由點斜式方程得小巧（X平），

化簡得

又尸在圓O:7+》2=/滿足條件的戶有且僅有一個，

直線y=Mx-l與圓相切，

73^12

故答案為：

2

16.（5分）已知正四棱錐S-A8CZ）的所有棱長都為1,點E在側(cè)棱SC上.過點E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形T,則T的邊數(shù)至多為5,7的面積的最大

值為亞,

—3—

【解答】解：取SC中點尸，BFLSC,DF1SC,DFC\BF=F,

；.SC_L平面BDF,

作平面與平面8。下平行，截面至多為五邊形，如圖，

令型=入，：.EP=XBF=J^-X-SP=XSB=X,

SF2

：.PB=\-入，BQ=1-A,PQ=I-X,NQ=MP=XBD=y/2人，

卷+21X

AC0SZDFB==,AsinZDFB

V3_XV3__33

,22

?°1yV3yV3.y2>/2_V2.2

xxXxX

-SAEMP=2———T'

■:MN與NQ的夾角，而SA與BD垂直，

SpMNQ^入(1-入)，

?,.S=6X(1-入)邛入2=一^_入2+^入，

當人上時，s取最大值為亞.

33

故答案為：5;亞.

3

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（10分）在①Si，S2,8成等比數(shù)列，②網(wǎng)=2他+2,③S8=S4+S7-2這三個條件中任選

兩個，補充在下面問題中，并完成解答.

已知數(shù)列｛斯｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前"項和為S,且滿足

（1）求｛蜘｝的通項公式；

(2)求」一■1一—-t一+-H—~—

aaa

l2a2a3a3a4ann+l

注：如果選擇多個方案分別解答，按第一個方案計分.

【解答】解：（1）選①②，設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

VSi，S2,S4成等比數(shù)列,44=242+2,

a[(4aj+6d)=(2a?+d)2

解得ai=2,d=4,

aJ+3d=2(a1+d)+2

Aan=2+4Cn-1）=4〃-2；

選①③，設(shè)等差數(shù)列僅〃｝的公差為d,

VS1，S2,S4成等比數(shù)列,Sg=S4+Si-2,

ai(4ai+6d)=(2ai+d)2

111，解得m=2,d=4,

8aj+28d=4a]+6d+7a1+2Id-2

?=2+4(n-1)=4〃-2；

選②③，設(shè)等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,

?.,。4=2。2+2,S8—S4+S7-2,

'a1+3d=2(a1+d)+2

?Y,解得〃i=2,d=4,

8aj+28d=4a|+6d+7aj+21d~2

???斯=2+4(〃-1)=4〃-2；

(2)由(1)得加=4幾-2,

則1=________1________J_________1_______」______」)，

ananH(4n-2)(4n+2)4(2n~l)(2n+l)8、2n-l2n+l

---+~--+???+-----L+…+一-_―—)=

a]a2a2a3anan+l83352n-l2n+l

1(1_1、1二n

8'2n+l；-4(2n+l),

18.(12分)第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽(F/E4WbHdC〃pQaSr2022)決賽中，阿根廷

隊通過扣人心弦的點球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊.某校為了豐富學生課余生活，組建了足球社

團.足球社團為了解學生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機抽取了男、女同學各100名進

行調(diào)查，部分數(shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生40

女生30

合計

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別

有關(guān)？

(2)社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學生中抽取了2名男生和1名女生示范點球射門.己知

男生進球的概率為2,女生進球的概率為工，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨立，

32

求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

2________n(ad-bc)?_______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(片女)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【解答】解：(1)2義2列聯(lián)表如下：

喜歡足球不喜歡足球合計

男生6040100

女生3070100

合計90110200

2-20QX(60X70-40X30)2>

K100X10QX90X11018?18210.828

故有99.9%的把握認為該校學生喜歡足球與性別有關(guān).

(2)3人進球總次數(shù)彳的所有可能取值為0,1,2,3,

P?=0)=(WP^=1)=CHT4+2X(3)24,

2

P(&=2)=C；|-||+(f)2P(^3)=(1)X|=|，

故孑的分布列如下:

0123

P152

IsIsg-9

故E的數(shù)學期望，E(g)=ix*+2X扛X看唱.

19.(12分)在△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c,acosB-2acosC=(2c-/?)cosA.

(1)若c=Y§〃，求cos3的值；

(2)若人=1,N84C的平分線AO交3c于點。，求AO長度的取值范圍.

【解答】解：(1)VacosB-2acosC=(2c-b)cosA,

???在△ABC中，由正弦定理得sinAcosB-2sirk4cosC=(2sinC-sinB)cosA,

...sinAcos8+cosAsin8=2sinAcosC+2cosAsinC,sin(A+8)=2sin(A+C),

；.sinC=2sin8,即c=2b,C=M

24232

.“a2+c2-b2a+3a逐次

?c°sB=2ac=2a芯aFT

(2)由(1)得c=2b,b=l,則c=2,

??S△軸c,2sin20=-^-2ADsin01-AD-sin^，

?e,AD^cos0，8￡(0,?

o乙

?"?AD€(o,-1-).

o

20.(12分)如圖，在△ABC中，AO是BC邊上的高，以AZ)為折痕，將△AC。折至

的位置，使得PBLAB.

(1)證明：P8_L平面A8O；

(2)若A￡?=PB=4,BD=2,求二面角B-刑-。的正弦值.

P

【解答】(1)證明：..工。是BC邊上的高，

：.PD±AD,AD1.BD,

,：PDC\BD=D,PD,BOu平面PBZ),PBD,

?.,P2u平面PBO,：.ADVPB,

又AD,ABu平面AB。，ADDAB^A,

，PB_L平面AB。；

(2)解：以。為坐標原點，D4所在直線為x軸，08所在直線為y軸，垂直AOB平面

為Z軸，建立空間直角坐標系,

AD=PB=4,BD=2,

則8(0,2,0),P(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0)，

設(shè)平面BPA與平面PAD的一個法向量分別為

rij=(xj?yt,Z[),n2=(x2>y2?z2)，

f?.

n.-BP=4z<=0

故｛_?,一>,,解得：zi=0,令xi=l,得：yi—2,

nj-PA=4xJ-2YJ-4zl=0

f?.

n2PA=4x2-2y2-4z2=0

則7i7=(1,2,0),I——，解得：*2=0，令22=1，則y2=-

n「DA=4x2=0

2,

故式=(0,-2,1)，

設(shè)二面角B-也-Q平面角為。，顯然。為銳角,

用「叼I二|(1,2,0)-(0,-2,1)I=4=±

￡11至1-YI+4XW+4WT7T一百

2

,,sin?=V1-cos6年,

b

即二面角B-PA-D的正弦值為3.

5

21.(12分)已知雙曲線C：號_%=1(a>0,b>0)的左頂點為4,過左焦點尸的直線

與C交于P,Q兩點.當尸。_Lx軸時，|%|=/而，△外。的面積為3.

(1)求C的方程;

(2)證明：以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點.

【解答】解：(1)當PQ_Lx軸時，P,。兩點的橫坐標均為-c,

i2,2i2

代入雙曲線方程，可得了「二2—?y。二一—，即|PF|=—，

(,2

(―)2+(c-a)2=(V10)2

a

由題意，可得上.他：(c-a)=3，

2a

c2=.a2+-b2

解得。=1，b=V3，c=2,

2

...雙曲線C的方程為：2-^-=l；

x3

(2)證明：設(shè)P。方程為-2,P(xi，yi),。(犯，”)，

=-

xiny222222

聯(lián)立方程＜9^3(my-4my+4)-y=3^(3m-l)y-12iny+9=0,

I3x-y=3

以PQ為直徑的圓的方程為(1-xi)(x-X2)+(y-yi)(y-”)=0,

22

x-(X[+X.)x+X]Xq+y-(丫產(chǎn)2)丫+丫逐2=0'

由對稱性知以P0為直徑的圓必過x軸上的定點，令y=0,可得/-(xi+%2)x+xix2+y\y2

=0,

*/、，12m2,4

而x+x=m(y+y)-4--2--4=—2—，

12123m-13m-1

2—31rl2-4

xx=(my「2)(my-2)=myy-2m(y1+y)+4=-----萬---，

1221223m-1

2

x2-—1—x+丹——+——=0^(3m2-l)x2-4x+5-3m2=0^[(3川-1)

3m-13m-13m-1

X+3“2-5](x-1)=0對V〃?WR恒成立,

??x=

???以尸。為直徑的圓經(jīng)過定點(1,0).

22.(12分)已知函數(shù)f(x)*二和g(x)=a+lnx有相同的最大值.

X-iY

ae$

(1)求實數(shù)。;

(2)設(shè)直線y=人與兩條曲線y=/(x)和y=g(x)共有四個不同的交點，其橫坐標分

別為XI，X2?X3，X4(XIVx2Vx3Vx4)，證明：X1X4=X2%3?

x-1x-1r-

e-e-xv11-x

【解答】解：(1)f，(x)小?，令/(x)=0=>x=l.

ax-12ax-1

e)?e

V/(x)有最大值,

???々>0且/(尤)在(0,1)上單調(diào)遞增;(1,+8)上單調(diào)遞減,

1-a-lnx-lnx

'?f(x)=f⑴a=l時，g(x)

111axx2x2

當OVkVI時，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增；當x>l時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,

:?g(X)max=g(1)=〃，

即a=l；

a

⑵由f(x)=b=士_b=0?由g(x)=b=>1lnx_b=o，

eX

X

令F(x)=-b,F'(x)T

X-1

ee

當0<x<l時，F(xiàn)(%)>0,當x>l時，F(xiàn)(x)<0,

所以尸(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+8)上單調(diào)遞減，.?.尸(x)至多兩個零點,

區(qū)c/\1+lnx,2,、-lnx

令G(x)=------------b,G(X)=_5-

*YX4

當0<x<l時，G'(%)>0,當x>l時，G'(x)<0,

所以G(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；(1,+8)上單調(diào)遞減；，G(x)至多兩個零點.

令F(x)=G(x)士』,

x-1x

eA

1+lnx

當x€(0,工］時，InxW-1,所以\>0；

eex-1x

當(1,+°°)時,由吃。lnexln