2023年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第七章　平面向量及其應(yīng)用

2023年高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：第七章

平面向量及其應(yīng)用

贏在考情菽有

嬴在考點5r砥

章東綜合測試

導(dǎo)航

--------------------------------

考點課標(biāo)解讀

平面向量的概念及線性運算1.平面向量的實際背景及基本概念

平面向量的基本定理及坐標(biāo)表7K(1)了解向量的實際背景.

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義.

(3)理解向量的幾何表示.

2.向量的線性運算

(1)掌握向量加法、減法的運算,并理解其幾何意義.

⑵掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義.

(3)了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.

正余弦定理及解三角形

3.平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示

⑴了解平面向量的基本定理及其意義.

⑵掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

⑶會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.

(4)理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.

導(dǎo)航

考點課標(biāo)解讀

平面向量的概念及線性運算4.平面向量的數(shù)量積

平面向量的基本定理及坐標(biāo)⑴理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.

表示⑵了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用⑶掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進行平面向量數(shù)量積的運算.

(4)能運用數(shù)量積表不兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量

的垂直關(guān)系.

5.向量的應(yīng)用

⑴會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.

⑵會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題.

正余弦定理及解三角形6.正余弦定理及解三角形

⑴正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.

⑵應(yīng)用

能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何

計算有關(guān)的實際問題.

導(dǎo)航

贏在考點洌練

考點1平面向量的概念與線性運算

■■7夯實基二二二二二礎(chǔ)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的

向量平面向量是自由向量

大小叫做向量的長度（或稱模）

零長度為零的向量;其方向是任意

記作0

向量的

導(dǎo)航

名稱定義備注

非零向量〃的單位

單位向量

長度等于1個單位的向量向量為土工

|a|

方向相同或相反的

平行向量

非零向量0與任一向量

方向相同或相反的非零向量又叫平行或共線

共線向量

做共線向量

導(dǎo)航

名稱定義備注

長度相等且方向相同兩向量只有相等或

相等向量

的向量不等,不能比較大小

長度相等且方向相反的

相反向量0的相反向量為0

向量

導(dǎo)航

2.向量的線性運算

向量

定義法則（或幾何意義）運算律

運算

(1)交換律：

a

求兩個向量a+b=b+a____.

加法三角形法則

和的運算(2)結(jié)合律：

a(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

導(dǎo)航

向量

■一定義法則（或幾何意義）運算律

運算

求Q與分的

相反向量一b

的和的運算，

減法XaVa—b=a+(—b)

其結(jié)果叫做三角形法則

〃與〃的差

導(dǎo)航

向量

■一定義法則(或幾何意義)運算律

運算

⑴1M=囚同；

求實數(shù)

(2)當(dāng)尢>0時，q的方向與a

2與向

的方向相同；當(dāng)

數(shù)乘量〃的a+")a=7〃+"〃;

2<0時，〃的方向與a的方

積的運k(a+b)=2a+2b____

向相反；當(dāng)2=0

算

時，〃=0______.

導(dǎo)航

3.共線向量定理

向量”（存0）與力共線的充要條件是存在唯個實數(shù)^使得

b=Aa.

導(dǎo)航

■■■提二二二二二升二二二二二能二二二二二力

考向1平面向量的概念

°典型例題1。

下列說法中：

①兩個有共同起點且相等的向量，其終點可能不同；

②若非零向量而與而是共線向量，則,c,o四點共線;

③若非零向量〃與〃共線,則〃=力；

④若〃=仇則回=瓦

其中正確的個數(shù)為（)

A.OC.2D.3

導(dǎo)航

【解析】①顯然是錯誤的;②是錯誤的,如平行四邊形4BCD中，說

與無共線，但46,。,。四點不共線;③是錯誤的,兩個非零向量共線,

說明這兩個向量方向相同或相反，而兩個向量相等是說這兩

個向量長度相等，方向相同,因而共線向量不一定是相等向量，

但相等向量卻一定是共線向量;④是正確的，向量相等,即長度

相等、方向相同.

【答案】B

導(dǎo)航

【名師點撥】平面向量的概念要注意:

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量,它們均與起點無關(guān).

⑶向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.

(4)非零向量。與9的關(guān)系號是與a同方向的單位向量.

冏1?1

導(dǎo)航

°針對訓(xùn)練14

1.已知非零向量”與〃的方向相同，下列等式成立的是（A）

A.|〃+〃=同+回B.\a+b\=\a-b\

C.\a\—\b\=\a—b\D.同+回=|〃一b\

導(dǎo)航

-----

2.若”為任一非零向量仍為單位向量，下列各式：

①同＞團；②。〃力;③同＞0；④團=±1；⑤百=6.

其中正確的是（B）

A.①④⑤B.③

C.①②③⑤D.②③⑤

【解析】“為任一非零向量,所以間＞0,故③正確;由向量、單

位向量、平行向量的概念易判斷其他式子均錯誤.故選B.

導(dǎo)航

3.如圖，四邊形/5CD為正方形,△5CE為等腰直角三角形，則

(1)圖中與南共線的向量有7個;1)c

(2)圖中與近相等的向量有2個;\\

(3)圖中與布模相等的向量有9個;\\

(4)圖中與前相等的向量是前ABE

導(dǎo)航

【解析】⑴??1/〃CA

/.與通共線的向量有而,DC,BAf^BEtEBfAEfEl,共7個.

⑵由正方形4BCD和等腰直角三角形BCE知，同=DC=就，有

2個.

⑶與邊長相等的線段有4D,OC,C5/&45每一條線段可

以產(chǎn)生兩個模相等的向量，除去向量同，共有2X5—1=9（個）.

導(dǎo)航

(4),?泗邊形4BCD為正方形,

.\DCaAB.

1?DC/BE.

又?：DC=CB=BE,

二四邊形CD5E是平行四邊形,

：.ECBD.J^EC=BD.

導(dǎo)航

e典型例題2e

設(shè)M為平行四邊形Z6CD對角線的交點,O為平行四邊形

ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則瓦？+OB+OC+前等于（）

A.OMB.20M

C.30MD.40M

【解析】依題意知，點M是線段XC的中點，也是線段BO的中點,

所以面+^C=20MfOB+0D=20M,

所以耐+OC+OB+彷=4而，故選D.

【答案】D

導(dǎo)航

-0^

【名師點撥】向量的線性運算的解題策略

⑴進行向量運算時,要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中,

選用從同一頂點出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量,運用向

量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.

(2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，

有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等

平面幾何的性質(zhì),把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系

的向量來求解.

導(dǎo)航

4針對訓(xùn)練2e

1.如圖，點P為口的邊5C的中點，記同=/前=力,則（A）

A.AP=a+-b

2

B.AP=^a+b

2

C.AP=a--b

2

D.AP=--a+b

2

【解析】AP=AB+BP=AB+-BC=a+-b.

22

導(dǎo)航

2.（2020?廣東汕頭校級學(xué)業(yè)考試）。中3/是5c邊的中點，則向

量彳而等于（D）

-->-->1-->-->

A.A3-ACB.；（43-AC）

C.4B+ACD.|（4F+AC）

【解析】根據(jù)平行四邊形法則以及平行四邊形的性質(zhì)，

有加=-（AB+就）.故選D.

2

導(dǎo)航

3.在△力與。中，如果AD.BE分別為5cHe上的中線，且而=即朝=

〃，那么8C=(A)

A.2〃+%BAZ一%

3333

Cr-a--bT).--a+-b

3333

【解析】由題意，得前二雇+前=力己而=。+!（而+反）

22

=。+|〃+^BC,

艮|］就=力+|〃廿就.

解得前=|〃+|4

導(dǎo)航

考向3共線向量定理的應(yīng)用

。典型例題3。

設(shè)兩個非零向量4與〃不共履

⑴若初=白+仇前=2a+8"R=3(〃一外求證：4國0三點共線;

(2)試確定實數(shù)用使版+力和〃+筋共線.

--導(dǎo)航

【解析】(1)證明：???赤=1+8前=2a+8〃,而=3(〃一〃).

J.BD-BC+CD=2q+8〃+3(a—〃)=2a+8〃+3q—3〃=5(a+〃尸54R

???南,85共線，又它們有公共點B,

星。三點共線.

(2)?.?4〃+力與〃+助共線，?二存在實數(shù)小

^ka+b=A(a+kb\ka+b=Aa+Akb.

：?(k—l)a=(ak—l)b.

???〃乃是不共線的兩個非零向量，

:.k—A=Ak—l=0,??.A2—i=o,.?.Q±i.

導(dǎo)航

【名師點撥】1.證明或判斷三點共線的方法

(I)一般來說，要判定/應(yīng)C三點是否共線，只需看是否存在實

數(shù)Z使得通=2前(或就=24等)即可.

(2)利用結(jié)論:若4B,C三點共線,O為直線外一點今存在實數(shù)三%使

OA=xOB+yOCx+y=l.

導(dǎo)航

2.利用向量共線求參數(shù)的方法

判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯

一的實數(shù)4使得〃=幼（厚0）.而已知向量共線求人常根據(jù)向量共

線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解.若兩向量不共線，必

有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求

得;I的值.

導(dǎo)航

口針對訓(xùn)練3e

1.設(shè)立必是不共線的兩個向量，下列四組向量：

①〃=?]一02力=-2c1+2?2；

②〃=勺+。2乃=2勺-2?2；

11

③Q=2?I--e,b=ei--e；

3262

④〃=2?通=—3修.

其中q與〃共線的組數(shù)為（C）

A.lB.2C.3D.4

3

【解析】①中〃=—2〃;③中〃=2〃;④中〃=一萬〃;②中〃與。不存

在實數(shù)人使〃=乃/與〃不共線.

導(dǎo)航

2.(2020-r東珠海期中)設(shè)團與々是兩個不共線向量，同=3d+2c2,

―?—?_9

CB=kei+e2^CD=3ei—2ke2^A^BJD三點共線，貝!Jk=4

【解析】因為/乃⑷三點共線，

故存在一個實數(shù)Z使得通=2前，

又4B=3?I+2?2,C3=〃?I+?2,CD=3?I—2〃《2,

所以BD=CD—CB=30i—Ikei—尸(3—k)ei—(2。+1)及，

所以3/+2c2=7(3—k)ei—2(24+1)%

所以｛之”3%)解得T?

一二學(xué)二二二二二業(yè)二二二二二達(dá)二二二二二標(biāo)

1.（2019?廣東河源學(xué)業(yè)水平模擬）如圖，向量為必必的起點與終

點均在正方形網(wǎng)格的格點上，則向量〃用基底為必表示為（C）

A.ex+e2B.2?i—e2

C.-2e1+e2D.2e1+e2

【解析】如圖,〃=而+而=一2團+及,故選C

導(dǎo)航

2.設(shè)僅片產(chǎn)分別為△/5C的三邊BC.CA^B的中點，則四+FC

=(A)

A.4DB.-AD

2

C.BCD」就

2

【解析】如圖，麗+麗=—；(瓦5+前)—“麗+市)

-->-->1-->-->-->

=--(BA+CA)=^(AB+AC)=AD.

22

導(dǎo)航

3.（2018?1月廣東學(xué)業(yè)水平測試）如圖0是平行四邊形48co的

兩條對角線的交點，則下列等式正確的是（D）

A^DA-^C=AC

B.D4+^C=D0

-------->-------->-------->-------->

C.OA-0B+AD=DB

D.40+0B+^C=AC

【解析】對于A項,而一灰二刀,錯誤；

對于B項，府+沆=2說,錯誤；

對于C項，萬?一說+AD=BA+AD=萬反錯誤；

對于D項，而+0B+^C=AB+BC=前，正確，故選D.

導(dǎo)航

-----

4.設(shè)她均為非零向量，則%〃產(chǎn)是“"與〃的方向相同”的（C）

A.充要條件

B.充分不必要條件

C必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

【解析】均為非零向量，

則“〃〃廣時廣〃與力的方向相同或相反”，充分性不成立；

“〃與〃的方向相同”時IIn必要性成立.

所以是必要不充分條件.

導(dǎo)航

5.(2019?廣東湛江高一檢測)四邊形4BCD中，設(shè)同=〃,前=4那么

AC+BD=(B)

A.a—bB.a+b

C.b-aD.不能確定

【解析】9：AC=AB+BCAB+b,

BD=BA+AD=—AB+a.

..AC+BD=4B+A+(—48+〃)=〃+A.

導(dǎo)航

6.（2020?廣東江門期末）下列命題中，正確的個數(shù)是（A）

①單位向量都相等；

②模相等的兩個平行向量是相等向量；

③若火力滿足同〉回且〃與力同向,則〃＞力；

④若兩個向量相等，則它們的起點和終點分別重合；

⑤若4〃方八%,則0%.

A.OB.1

C.2D.3

導(dǎo)航

【解析】對于①，單位向量的大小相等，但方向不一定相同，故

①錯誤;

對于②，模相等的兩個平行向量是相等向量或相反向量，故②

錯誤；

對于③，向量是有方向的量，不能比較大小，故③錯誤;

對于④，向量是可以平移的矢量,當(dāng)兩個向量相等時,

它們的起點和終點不一定相同，故④錯誤；

對于⑤乃=0時皿/%〃%,則〃與c不一定平行.

綜上,以上正確的命題個數(shù)是0.

故選A.

導(dǎo)航

7.（2019?廣東湛江學(xué)空杏步模擬）已知k（5J2）,則與不方向相

同的單位向量是（石，石）.

【解析】設(shè)與幾方向相同的單位向量是見

貝!貝!|同=日磯

即1=1川.52+122=13回,

即可=2,則右土卷由方向相同可得

KJ工JLKJ

則/T（5，12）=島部

導(dǎo)航

8.如圖，在平行四邊形4BCD中,對角線4C與交于點。，彳石+

而亂前，貝!J2=2

【解析】由平行四邊形法則有同+AD=AC=2A0,

已知幅+而=2前，所以2=2.

導(dǎo)航

考點2平面向量的基本定理與坐標(biāo)表示

一二二夯-.-.--.7實基二二二二二礎(chǔ)

1.平面向量的基本定理

如果40是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于

這一平面內(nèi)的任意向量出有且只有一對實數(shù)Z4,使

U—九￡1+幺2?2?

其中,不共線的向量修必叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一

組基底.

導(dǎo)航

2.平面向量的正交分解

把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正

交分解.

3.平面向量的坐標(biāo)運算

（1）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)4=3加工力=（/通工則a+b=（a+勺Ji+必）M—b=

（為一勺死一力）（忒1/71），⑷=、卜；+比.

導(dǎo)航

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)4巧Jl)/(*2仍卜則而=(*2一刀曲一71),

I荏1=J(冗2—%1)2+卬2—丫1)2.

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)〃=(為.0)/=(?/)則〃〃/<=>”逮2一*田=。.

導(dǎo)航

-二二提二二二二二升.二二二二二.能.二二二二二.力二--

考向1平面向量基本定理的應(yīng)用

4典型例題1e

如圖所示,在平行四邊形4BCD中,設(shè)對角線前=〃,前=力,試用基底

a,b表亦AB,BC.

DC

0

AB

導(dǎo)航

【解析】方法一:設(shè)ZGBD交于點。，

則有而=oc=IAC=la,BO=0D=^BD=

所以說=AO+OB=AO-^d=*—gb,

=^0+0C=++|〃.

方法二:設(shè)則4。=BC=y,

(AB+BC=ACf,(x+y=af

(AD-AB=^Dfly-x=b.

所以x=^a—%少工"/仇即A3=-a--b^BC=-a+^b.

22122922’22

導(dǎo)航

-0^

【名師點撥】用基底表示向量的方法

將兩個不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩

種:一種是運用向量的線性運算法則對待求向量不斷轉(zhuǎn)化，直

到用基底表示為止;另一種是通過列向量方程,利用基底表示

向量的唯一性求解.

導(dǎo)航

拉）

。針對訓(xùn)練1。

1.設(shè)向量勺與。2不共線港3x?i+（10—7）e2=（4丁—7）?1+2*6則實

數(shù)xj的值分別為（D）

A.0,0B.1,1

C.3,0D.3,4

【解析】??響量勺與《2不共線,

.(3%=4y-7‘解瞰：4：

?,(10-y=2x,

導(dǎo)航

2.在梯形4BCD中4B〃CDHB=2CDM7V分別為CD出C的中點,

若標(biāo)=2詢+"而，則2+"等于（D）

B1

Ae-5

4

C-D5

【解析】因為同=AN+1^B=AN+CN=AN+（CA+AN）

=2AN+CM+1^LA=2AN--AB~AM.

4

所以布=IAN-g詢，所以2+"=g.

KJ口KJ

導(dǎo)航

3.在三角形4BC中，點E是48邊的中點，點尸在/。邊上，且

C尸=2E4,AF交CE于點拉,設(shè)詢=乂而抄加，則(D)

3234

A?，J=g

D<=1

C.x=|ty=|

5'5

【解析】因為點與空/三點共線,則存在實數(shù)。

使得品=(1一。而+雙氏由題意知四=24瓦衣=河,

則詢=2(1—。?荏+：前,因為點CME三點共線，

所以2(1—。+|=1,/=|,所以x=%=|.

導(dǎo)航

考向2平面向量的坐標(biāo)及運算

e典型例題2e

已知/(一2,4)1(3,—1),C(—3,—4),設(shè)C=b,CA=c^a=mb+nc

(m^n￡R),貝I]m+n=?

【解析】由已知得4=(5「5)乃=(—6「3)?=(1,8).

mb+nc={—6m+n^—3m+8n)^

?.廠"：廠5'〈解得產(chǎn)=學(xué)

(—3m+Sn=-5,Ln=—1.

?\m+n=-2.

【答案】-2

導(dǎo)航

-0^

【名師點撥】平面向量坐標(biāo)運算的技巧

(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法

則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向

量的坐標(biāo).

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過

列方程(組)來進行求解.

導(dǎo)航

°々十又寸訓(xùn)I練24

1.(2020?廣東中山月考)已知〃=(1,3)力=(2；),則1〃+2川=(C)

A.V14B.V34

C.V41D.2V6

【解析】因為”=(1,3),6=(2,》

所以。+2A=(5,4),

貝！!|〃+2臼=|(5,4)|=，52+42=故選C.

導(dǎo)航

2.已知點/(0,1)/(3,2),向量前=(—4,—3),則向量就=(A)

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(—1,4)D.(l,4)

【解析】⑴由題意得近=(3,1),

所以BC=4C—ZB=(—4,—3)—(3,1戶(一7,—4).故選A.

導(dǎo)航

3

3.已知"(3,—2),N(—5,—1),而=，則P點坐標(biāo)為」T—5

【解析】設(shè)尸(w),則加=(*—3產(chǎn)2),加=(—8,1),

???加=^MN=|(-84)=(-4,|).

%―3=—4,X=-1

1

.?y+2

一2

導(dǎo)航

考向3平面向量共線的坐標(biāo)表示

。典型例題34

已知4=(2,0)乃=(1,2).

(1)求4+3生

(2)當(dāng)A為何實數(shù)時,。一〃與a+3〃平行，平行時它們是同向還是

反向？

導(dǎo)航

【解析】(1)〃+3〃=(2,0)+3(1,2)=(16).

(2)而一力=網(wǎng)2,0)—(1,2)=(2A—1,一2).

ka—b與a+3b平行，則6(2〃-1)一5乂(-2)=0,解得〃=一9.

當(dāng)1時，有一,一力=-*+3力)，

故當(dāng)仁一工時，兩向量平行，此時它們是反向的.

3

【名師點撥】如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利

用“若〃=(巧Ji)乃=(*2仍卜則〃〃。的充要條件是對2=*W解題

比較方便.

導(dǎo)航

拉）

e針對訓(xùn)練3e

1.已知向量〃=（1㈤乃=（孫2）,若〃H4則實數(shù)股等于（C）

A.-V2B.V2

C—VI或/D.0

導(dǎo)航

2.已知向量勵=（3,—4）,0萬=（6,—3）,沆=（加,加+1）,若而||沆，則實

數(shù)m的值為（A）

A.--B.--

24

C-D1

【解析】VAB=亦一瓦?=（3,1）,沆=（陽,陽+1）,

若四||泥，則陽=3（加+1）,解得m=--.

2

導(dǎo)航

3.已知向量瓦石(〃,12),麗=(4,5),沆=(一用10),且A,B,C三點共線，則

〃的值是(D)

【解析】AB=OB-OA=(4-k-7\

AC=OC-OA=(-2k-2).

9

：A^C三點共線,???ABf前共線，

—2x(4—〃)=—7x(—2。)，解得A=—|.

導(dǎo)航

二學(xué)二二二二二業(yè).二二二二二達(dá)標(biāo)

1.(2019?廣東惠州學(xué)業(yè)水平模擬)已知向量〃=(2」)建+2力=(8,7),

則力=(c)

A.(l,3)B.(2,3)

C.(3,3)D.(4,3)

［解析】???2A=(8,7)-〃=(8,7)-(2,1)=(6,6),

???〃=(3,3).

導(dǎo)航

2.(20171月廣東學(xué)業(yè)水平測試)已知三點/(—3,3)1(0,1)和。(1,0),

則通+麗=(A)

A.5B.4

C.V13+V2D.V13-V2

【解析】???麗=(3,—2),或=(1,—1),

：.AB+前=(4,—3),：.\AB+前|="2+(—3)2=5.

導(dǎo)航

-----

3.(2020?廣東東莞學(xué)業(yè)水平模擬)已知四邊形48co為平行四

邊形，其中4(5,—1),5(—1,7),C(l,2),則頂點O的坐標(biāo)為(D)

A.(-7,0)B.(7,6)

C.(6,7)D.(7,-6)

【解析】設(shè)O(w),因為而=前,

所以(x—5j+l)=(2「5),

所以x=7/=—6?

所以刀(7,一6).

匚瞥

4.在△46C中3/是48邊所在直線上任意一點，若國=一2襦+

沅瓦則2=(C)

A.lB.2C.3D.4

【解析】■:△4BC中網(wǎng)是4B邊所在直線上任意一點，

???存在實數(shù)"，使得彳而=〃祈瓦即加一石＜="(屈一麗5.

化簡得由=—CA+上-而，

1+〃1+〃

VCM=-2CA+2CB,

二結(jié)合平面向量基本定理，得I-2’解得加3,〃=—李

1+〃

5.設(shè)向量〃=(1,3)乃=(-2內(nèi)上若。H〃，則陽=—6.

【解析】〃〃。=1義陽—3X(—2)=0,則陽=—6.

6.(2019?廣東惠州學(xué)業(yè)水平模擬)已知AC為平行四邊形4BCD的

一條對角線，且孤⑵4),市=(1,3),則|而|=魚.

【解析】由ZC為平行四邊形ZKCZ)的一條對角線，

：.AB+AD=AC,

即而=前一四=(1,3)—(2,4尸(一1,—1),

貝?。輡而尸J(-l)2+(—1)2=V2.

導(dǎo)航

7.（2020?廣東梅州月考）設(shè)D為AABC所在平面內(nèi)一點，前=4而，若

79

AD=^AB+與記則X+u=2

Z4f

導(dǎo)航

【解析】如圖所示，由前=4而可知乃,CO三點在同一直線上，圖形

如下：

根據(jù)題意及圖形，可得

AD=AC+TD=AC+-^C

?.?赤至希+2就，?.?%

‘解得

(4

則為〃=(-0+5=|.

導(dǎo)航

8.（2020?廣東韶關(guān)期末）已知在平行四邊形4BCD中，前=）前,

3

一一一小_Z

則x—y=3.

【解析】9：AE=AB+^E=AB+-BC,

3

AB=^C=就一前，

----->----->------>1----->------>4------>

：.AE=BC-BD+-BC=-BD+-BC,

33

?,I—?4

由4E=W?￡H^BC,得尸一1/=-，

3

考點3平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

■￡■夯■：￡■■■實三三三三基三三三礎(chǔ)

1.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念

⑴向量的夾角:已知兩個非零向量〃和仇記瓦?演九則

AAOB=Q(0°W0^180°)叫做向量〃與力

的夾角.

(2)數(shù)量積的定義:已知兩個非零向量〃與仇它們的夾角為仇

則數(shù)量同回cos夕叫做〃與力的數(shù)量積(或內(nèi)積工記作〃也即

a?b=同回cos，，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即

0?〃=0.

導(dǎo)航

(3)數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積〃力等于〃的長度同與〃在〃的方

向上的投影回cose的乘積.

(4)向量的投影

10cos，叫做向量〃在力方向上的投影.

回cos，叫做向量力在〃方向上的投影.

導(dǎo)航

1

2.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示

設(shè)向量〃=(修J。步=(*2科卜，為向量〃步的夾角.

⑴數(shù)量積:〃力=同|xix2+yiyi

(2)模:|C=，a?a=卜：+筠?

—+丫1，2

(3)夾角:cos，=黑=J*+%，］的+於.

同網(wǎng)-----------------

(4)兩非零向量a±b的充要條件“力=00阿*2要逮2=0.

(5)|〃?臼W同(當(dāng)且僅當(dāng)a//b時等號成立)=聞*2打。2反

xl+yj-xj+yl

導(dǎo)航

拉）

3.平面向量數(shù)量積的運算律

力〃（交換律）.

（2）Xab=X（a?b）=a?（勸）（結(jié)合律）.

（3）（〃+〃）?c=a?c+b?c（分配律）.

導(dǎo)航

提二二二二二升.二二二二二能二二二二二力

考向1平面向量數(shù)量積的運算

.典型例題1.

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形4BCD是平行四邊形，同=

(1,—2),同=(2,1),則而-AC=()

A.5B.4C.3D.2

導(dǎo)航

【解析】:四邊形4BCD為平行四邊形,

：.AC=AB+而=(1,一2)+(2/)=(3,—1).

：.AD?前=(2,1)?(3,一l)=2x3+lx(—1)=5.

【答案】A

【名師點撥】求兩個向量的數(shù)量積有三種方法

(1)利用定義刈協(xié)=10回cos0.

(2)利用向量的坐標(biāo)運算必仍書必+為處

(3)利用數(shù)量積的幾何意義.

導(dǎo)航

4針對訓(xùn)練14

1.向量〃=(1,—1)乃=(—1,2),則(2〃+力)?a=(C)

A.-lB.0

C.lD.2

【解析】因為2什〃=2(1,—1)+(—1,2)=(2,—2)+(—1,2)=(1,0),

所以(2a+/0?a=(L0)(L-D=lXl+0X(-l)=L

導(dǎo)航

2.如圖,AA6C中HC=3乃。=4,NC=90。。是BC的中點，則瓦＜?

AD=（D）

A.0

B.5V13

C.17

D.-17

【解析】BA-AD=（BC+CA）（AC+CD）

=BCAC+^C^CD+CAAC+CATD

=0+4X2Xcos7i+3X3Xcos7t+0=—17.

導(dǎo)航

考向2用數(shù)量積解決向量的垂直、夾角問題

e典型例題2e

⑴設(shè)〃=（1,2）斤（1/）/=〃+也若〃-LG則實數(shù)A的值等于（）

_3

B.--

23

5D.2

32

（2）（2019?廣東潮州學(xué)業(yè)水平模擬）非零向量*b滿足同=迎向，且（a—

力）_1_（2。+3〃）,則a與b夾角的大小為（）

B.-

34

C.—D.-

34

導(dǎo)航

［解析］(1)打=(1,2)乃=(1/)?=〃+1力=(1+1,2+1)，

2

由〃_LG可得力?-1+〃+2+仁0,，仁一-.

2

(2)若(a(2〃+3〃),貝可(a—by(2〃+3〃)=0,即有2a2—3b2+a,〃=0,

由同=\。鳳可得〃2=2%即有〃?〃=—%

ab—b2V2

cos<^bf>=——=產(chǎn)——,

'\a\-\b\y［2b22,

由OWvqQWTT,可得〃與力夾角的大小為史.

4

【答案】(1)A(2)D

導(dǎo)航

【名師點撥】用數(shù)量積解決向量垂直、夾角問題的策略

⑴根據(jù)平面向量數(shù)量積的性質(zhì):若〃，分為非零向量,cosA照(夾角

回網(wǎng)

公式),〃_1〃=。m=0等,可知平面向量的數(shù)量積可以用來解決有關(guān)角

度、垂直的問題.

(2)關(guān)于坐標(biāo)的運算乃=(*2/2),則a_L力U2=0.

cosv心=戶多,向量夾角范圍是［0川.

Jxi+yiJx2+y2

導(dǎo)航

4針對訓(xùn)練24

1.已知向量瓦i=(py),FC=(黑)則N/5c=(A)

A.30°B.45°

C.60°D.120°

【解析】???/BC=,而|=1,|就|=1,

4

?“s4BC饋翻=*，N"C=30。

導(dǎo)航

2.已知向量〃乃,其中同=魚,|臼=2,且(a—A)_L〃，則向量a與b的夾角

是(B)

TI

A■B.-

64

n

?_

2

【解析】'.*(a—6)±—6),a=0,

2ab

/.a*b=a=2^os<a^b>=i'Ui=-^==—.

''|葉網(wǎng)2V22

TT

V<a^b>￡[OR],，vq,A>=).

導(dǎo)航

3.(2018?廣東廣州學(xué)業(yè)水平)已知向量〃=(2,—3)乃=(叫一2),且

a_L仇貝！|陽=-3.

【解析】根據(jù)題意晌量。=(2,—3)m=(叫一2),

若QJL4則有?b=2m+(—3)X(—2)=0,

解可得陽=—3.

導(dǎo)航

考向3平面向量的模及其應(yīng)用

。典型例題3。

設(shè)平面向量?=(cosa,sin”)(0Wav2初力=(—|,亨)，且a與b不共線.

若兩個向量行a+力與a—43b的模相等，求角a.

導(dǎo)航

【解析】V\y/3a+b\=\a-y/3b\y

/.(y/3a+b)2=(a—V3Z>)2,

即3a2+2V3a?b+b2=a2—2V3a,b+3b2.

又|?|=Vcos2a+sin2a=1,|A|=^j|+|

?力=0,

?1IV3?八日口V3

??—cosa+—sina=0和tana=-.

22’3

又0W〃v27t,a=-或—.

66

導(dǎo)航

【名師點撥】求向量的模的兩種基本策略

⑴字母表示下的運算:利用回2=〃2，將向量的模的運算轉(zhuǎn)化為

向量與向量的數(shù)量積的問題.______

(2)坐標(biāo)表示下的運算:若貝?。萃?y2.

導(dǎo)航

e針對訓(xùn)練3e

1.已知單位向量q,仇其夾角為三,則|什"=(B)

A.3B.V3

C.2D.V2

［解析］|a+b\=y/a2+2a-b+b2

=Jl+2xlxlxcos+1=V3.

導(dǎo)航

2.設(shè)x三R,向量〃=(x2),且〃±4則|〃+力|=(B)

A.V5B.V10

C.2V5D.10

【解析】JL仇?”=2.

：.\a+b\=\(3-l)\=V10.

3.(2019?廣東潮州學(xué)業(yè)水平模擬)已知向量〃=(1,-1功=(2,1),

向量c=2〃+4貝！||c|=V17

【解析】c=(4,—l),，|c|=g.

導(dǎo)航

考向4平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用

。典型例題4。

如圖，在正方形ABCD中，已知AB=2M為6c的中點，若N為正方

形內(nèi)（含邊界）任意一點，則翁-麗的最大值為.

AB

導(dǎo)航

【解析】如圖，建立直角坐標(biāo)系.

^?AM-AN=(x^y),(2J)=2x+y.

??0WxW2,0W/W2,

/.當(dāng)x=2,y=2時，彳祈?麗的最大值為

【答案】6

【名師點撥】對于一些比較復(fù)雜的平面向量的數(shù)量積，通過

建立平面直角坐標(biāo)系將向量“坐標(biāo)化”來解決,是一種很簡捷

的做法.

導(dǎo)航

e針對訓(xùn)練49

1.已知向量〃=(1,b),力=(0,1),則當(dāng)后[一b,2]時,|4—力4的取值范

圍是.

【解析】???，￡[—g,2],

/.|a-/-A|=|(l,V3)-(0,/)|=|(l,V3-Z)|=1+(V3-t)2e[l,V13].

導(dǎo)航

2.已知正方形ABCD的邊長為1,點E是48邊上的動點，則波?CB

的值為1?灰的最大值為1?

【解析】以。為坐標(biāo)原點，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示.

則力(O,O)M(1,O)乃(1,1),C(O,1),斗

設(shè)頤lw)(OW〃Wl).C-------------

所以萬萬?麗=(1,〃)?(1,0)=1,

"DE反=(1,〃)?(O,1)=〃W1,

——-------?

故加?前的最大值為1.DAx

導(dǎo)航

拉）

一二學(xué)二二二二二業(yè)二二二二二達(dá)二二二二二標(biāo)---

1.（2019?廣東陽江學(xué)業(yè)水平模擬）若正方形4BCD的邊長為1,則

前?前等于（B）

A"

ATB.1

C.V2D.2

【解析】正方形4BC。的邊長為1,

則前前=|前|?|前Icosv前,前＞=V^X1X0=1.故選B.

2

導(dǎo)航

拉)

2.(2020?廣東惠州月考)已知平面內(nèi)三點4(2,1)乃(6,4),C(l,16),則向

量同在前的方向上的投影為(C)

1633

【解析】???麗=(4,3),前=(—5,12),

：.AB前=—20+36=16質(zhì)|=13,

???福在前方向上的投影為AB:BC卷故選c

\BC\

導(dǎo)航

3.（2019?廣東汕頭學(xué)業(yè)水平模擬）設(shè)非零向量〃仍滿足|〃+力|=|〃

一〃,則（A）

A.a-LbB.同=回

C.a/lbD.\a\>\b\

【解析】■:設(shè)非零向量?滿足|a+A|=|"一方|,

.'-|a+6|2=|a—

a2+b2+2a-b=a2+b2—2〃?A,

?二4〃?方=0/?a?方

導(dǎo)航

4.(2018?1月廣東學(xué)業(yè)水平測試)已知向量〃=(1,1)乃=(0,2),則下

列結(jié)論正確的是(B)

A.aIIbB.(2〃-b)工b

C.\a\=\b\D.a-b=3

【解析】對于A項,1X2-0XI和滯誤；

對于B項,2〃一〃=(2,0)斤(0,2),貝!|2X0+0X2=0=(2〃-A)，仇正

確；

對于C項,|。|=短|b|=2,錯誤;

對于D項/力=1X0+1X2=2,錯誤.故選B.

導(dǎo)航

5.(2020?廣東汕尾月考)已知向量。與b的夾角為!，且同=2|臼=2,則

O

a-b=(A)

A.V3B.l

C.2V3D.2

【解析】由已知，可得同=2加|=17

貝1]〃?力=|〃||A|cosvq/>=2xlxco§7—值,故選A.

6

導(dǎo)航

6.（2020?廣東梅州模擬）在八46。中，同=（遮,3）,而=（一6,3）,則

CACB=6

【解析】因為方=TB+BA=CB-AB=（-V3,3）-（V33）

=（-2V3,0）,

所以諭?）=（—271,0）?（一71,3尸6.故答案為6.

7.（2019?廣東佛山學(xué)業(yè)水平模擬）已知同=2,回=3必力的夾角為

120°，則|2〃+"=.

【解析】同=2,網(wǎng)=3必〃的夾角為120°廁

|2tz+A|=V4a2+4ab+b2=116+4x2x3x（一|）+9=V13.

導(dǎo)航

8.（2019?廣東惠州學(xué)業(yè)水平模擬）在△/EC中前|=3,|而|=50是

邊的中點,