條件概率與獨(dú)立性詳解演示文稿

條件概率與獨(dú)立性詳解演示文稿當(dāng)前第1頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)1（優(yōu)選）條件概率與獨(dú)立性當(dāng)前第2頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)2條件概率P(A)=85/100,P(B)=40/100,P(AB)=35/100,P(A|B)=35/40=P(AB)/P(B),且P(AB)≠P(A|B),P(A)≠P(A|B).定義;對于兩個事件A,B.如果P(A)>0.稱

P(B|A)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率.當(dāng)前第3頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)3注見教材P15末的說明:當(dāng)前第4頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)4條件概率的計算公式如下：

例設(shè)袋中有7個黑球，3個白球，不放回摸取兩次，如果已知第一次摸到白球，求第二次也摸到白球的概率.若改為放回摸取，結(jié)果如何？解

設(shè)A,B分別表示第一、二次摸到白球,則不放回:放回:當(dāng)前第5頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)5不難驗證條件概率具有以下三個基本性質(zhì)：

(1)非負(fù)性(2)規(guī)范性(3)可列可加性并由此推出條件概率的其他性質(zhì)：

當(dāng)前第6頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)6二、乘法公式由條件概率的定義：即若P(B)>0,則

P(AB)=P(B)P(A|B)若已知P(B),P(A|B)時,可以反求P(AB).若P(A)>0,則

P(AB)=P(A)P(B|A)推廣到三個事件：

P

(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1)一般,與次序無關(guān).乘法公式當(dāng)前第7頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)7設(shè)A表示某人感染禽流感病毒，B表示死亡，則P(B|A)表示在感染病毒的條件下某人死亡的概率．若該人身體好抵抗力強(qiáng)，則P(B|A)就比較小，否則就比較大．

P(A)表示禽流感病毒的感染率，如果衛(wèi)生部門的預(yù)防工作做得好，則它就比較小．P(AB)表示感染禽流感病毒并導(dǎo)致死亡的概率.當(dāng)前第8頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)8例1

解當(dāng)前第9頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)9例2某廠產(chǎn)品的廢品率為4%,而合格品中有75%是一等品,求一等品率.解記A：合格品；B：一等品，即一等品率為72%.當(dāng)前第10頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)10例3一場精彩的足球賽將要舉行，5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大.”后抽比先抽的確吃虧嗎？

當(dāng)前第11頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)11

到底誰說得對呢？讓我們用概率論的知識來計算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大。”當(dāng)前第12頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)12用Ai表示“第i個人抽到入場券”

，i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5.則表示“第i個人未抽到入場券”.因為若第2個人抽到了入場券，第1個人肯定沒抽到.由于由乘法公式

=(4/5)(1/4)

同理，第3個人要抽到“入場券”，必須第1、第2個人都沒有抽到.因此=1/5.當(dāng)前第13頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)13這就是有關(guān)抽簽順序問題的正確解答.

=(4/5)(3/4)(1/3)=1/5.

繼續(xù)做下去就會發(fā)現(xiàn),每個人抽到“入場券”的概率都是1/5.抽簽不必爭先恐后.也就是說，

所以以后在現(xiàn)實生活中需要抽簽時,大家盡可以表現(xiàn)出君子風(fēng)度,讓人家先抽,這樣做并不會失去任何機(jī)會,同時卻又表現(xiàn)了禮讓的美德.當(dāng)前第14頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)14例4

在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)行還擊，擊落乙機(jī)的概率為0.4．求在這幾個回合中，甲機(jī)和乙機(jī)被擊落的概率分別為多少？解記Ai=“乙機(jī)在第i次被擊落”i=1,2；A=“乙機(jī)被擊落”,

B=“甲機(jī)被擊落”；顯然A１與A２不相容．且Ａ＝Ａ１＋Ａ２，由題意知

則甲機(jī)被擊落的概率為

當(dāng)前第15頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)15例4

在空戰(zhàn)中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為0.2；若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲機(jī)的概率為0.3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)行還擊，擊落乙機(jī)的概率為0.4．求在這幾個回合中，甲機(jī)和乙機(jī)被擊落的概率分別為多少？解乙機(jī)被擊落的概率為

當(dāng)前第16頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)16設(shè)有兩個事件A,B,一般來說,P(A|B)與P(A)是有差異的，但有時事件B的發(fā)生與否并不影響事件A發(fā)生的概率，即P(A|B)=P(A).

顯然P(A|B)=P(A)

這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時稱事件A、B獨(dú)立.A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，例如,將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)三、事件的獨(dú)立性當(dāng)前第17頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)17

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)

更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約,且體現(xiàn)對稱性.P(AB)=P(B)P(A|B)若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B獨(dú)立，或稱A、B相互獨(dú)立.定義當(dāng)前第18頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)18推論1設(shè)A,B為兩個事件,P(B)>0,則A與B獨(dú)立的充分必要條件是

P(A|B)=P(A)當(dāng)前第19頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)19A、B獨(dú)立證明由獨(dú)立的對稱性,可得其余結(jié)論.

當(dāng)前第20頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)20請問：如圖的兩個事件是獨(dú)立的嗎？

即:若A、B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B相容.而P(A)≠0,P(B)≠0,故A、B不獨(dú)立.由于互不相容,P(AB)=0，即P(AB)≠P(A)P(B)獨(dú)立與互不相容的關(guān)系當(dāng)前第21頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)21設(shè)A、B為互不相容事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：前面我們看到獨(dú)立與互不相容的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請你做個小練習(xí).當(dāng)前第22頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)22見教材Ｐ２０的例９Ａ，Ｂ，Ｃ中任意兩個均獨(dú)立，但０．５＝Ｐ（Ｃ）≠Ｐ（Ｃ|ＡＢ）＝１表明事件Ｃ發(fā)生的概率受到其余兩個事件同時發(fā)生的影響．當(dāng)前第23頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)23下面來定義三個事件的獨(dú)立性.P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)定義對三個事件A,B,C，如果下列四個等式同時成立，

則稱A,B,C相互獨(dú)立.

由定義可知，三個事件相互獨(dú)立必保證兩兩獨(dú)立.但兩兩獨(dú)立不一定保證相互獨(dú)立.

當(dāng)前第24頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)24

推廣到n個事件的獨(dú)立性定義,可類似寫出：等式總數(shù)為：需要說明的是，我們一般不是根據(jù)定義來判斷事件的獨(dú)立性，而是從實際問題出發(fā)，如果事件之間無甚關(guān)聯(lián)，則假定事件之間的獨(dú)立性，然后利用獨(dú)立性的公式來計算概率.

設(shè)A1,A2,…,An是

n個事件，如果對任意k(1<k

n),任意1i1<i2<…<ik

n,具有等式則稱A1,A2,…,An為相互獨(dú)立的事件.當(dāng)前第25頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)25推論設(shè)n個事件Ａ１，Ａ２，Ａ3，…Ａn獨(dú)立,則他們中任何一部分換成各自的對立事件后，所得的n個事件也是相互獨(dú)立的．當(dāng)前第26頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)26對獨(dú)立事件，許多概率計算可得到簡化.利用事件的獨(dú)立性計算概率當(dāng)前第27頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)27例6三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

將三人編號為1，2，3，所求概率為記Ai={第i個人破譯出密碼}

i=1,2,3解123“三個臭皮匠，頂個諸葛亮.”當(dāng)前第28頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)28請看演示“諸葛亮和臭皮匠”當(dāng)前第29頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)29例7假定人群中血清帶肝炎病毒的概率為0.004，混合100個人的血清，求此血清帶肝炎病毒的概率.

解當(dāng)前第30頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)30（在可靠性理論中的應(yīng)用）對于一個元件或系統(tǒng)，它能正常工作的概率稱為可靠性.……當(dāng)前第31頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)31為了提高以上線路的可靠性，用以下兩種方法附加n個元件，比較系統(tǒng)的可靠性大小.方法一：

………方法二：

…當(dāng)前第32頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)32…每對并聯(lián)元件的可靠性為比較當(dāng)前第33頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)33課外讀物賭徒的謬誤

M：瓊斯先生和瓊斯太太有5個孩子，都是女兒.瓊斯太太：我希望我們下一個孩子不是女孩.瓊斯先生：我親愛的，在生了5個女兒之后，下一個肯定是兒子.M：瓊斯先生對嗎？M：很多玩輪盤賭的賭徒以為，他們在盤子轉(zhuǎn)過很多紅色數(shù)字之后，就會落在黑的上，他們就可以贏了.事情將是這樣進(jìn)行的嗎？M：有人堅持認(rèn)為，如果你在一輪擲骰子中已擲出5次兩點(diǎn)，你下次再擲出兩點(diǎn)的機(jī)會就要小于1/6了.他說得對不對呢？

當(dāng)前第34頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)34M：瓊斯先生和瓊斯太太第6個孩子是女孩的概率仍然是1/2。輪盤賭的下一次賭數(shù)是紅色的概率仍然是1/2.擲骰子時，下一次擲出2的概率仍然是1/6.M：為了讓問題更明朗，假定一個男孩扔硬幣，扔了5次國徽向上.這時再扔一次，國徽向上的概率還是完全與以前一樣：一半對一半，錢幣對于它過去的結(jié)果是沒有記憶的.

M：如果你對任何這類問題回答說“對”，你就陷入了所謂“賭徒的謬誤”之中.在擲骰子時，每擲一次都與以前擲出的點(diǎn)數(shù)完全無關(guān).當(dāng)前第35頁\共有38頁\編于星期五\2點(diǎn)35如果事件A的結(jié)果影響到事件B，那么就說B是“依賴”于A的.例如，你在明天穿雨衣的概率依賴于明天是否下雨的概率.在日常生活中所說的“彼此沒有關(guān)系”的事件稱為“獨(dú)立”事件.你明天穿雨衣的概率是和美國總統(tǒng)明天早餐吃雞蛋的概率無關(guān)的.大多數(shù)人很難相信一個獨(dú)立事件的概率由于某種原因會不受臨近的同類獨(dú)立事件的影響.比如，第一次世界大戰(zhàn)期間，前