考前導(dǎo)數(shù)解答題(教師版)

考前導(dǎo)數(shù)解答題（教師版）1.（本小題滿分15分）已知函數(shù)，，（）．（1）求函數(shù)的極值；（2）已知，函數(shù)，，判斷并證明的單調(diào)性；（3）設(shè)，試比較與，并加以證明．解析：（1），令，得．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．∴當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值．（2）==，由（1）知在上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即，∴，即在上是增函數(shù)． （3），由（2）知，在上是增函數(shù)，則，令得，．2.（本小題滿分16分）已知函數(shù)（不同時(shí)為零的常數(shù)），導(dǎo)函數(shù)為.（1）當(dāng)時(shí)，若存在使得成立，求的取值范圍；（2）求證：函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；（3）若函數(shù)為奇函數(shù)，且在處的切線垂直于直線，關(guān)于的方程在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：（1）當(dāng)時(shí)，==，其對(duì)稱軸為直線，當(dāng)，解得，當(dāng)，無(wú)解，所以的的取值范圍為．（2）因?yàn)?，法一：?dāng)時(shí)，適合題意當(dāng)時(shí)，，令，則，令，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)有零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，所以在（內(nèi)有零點(diǎn)．因此，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，函數(shù)在內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．法二：，，．由于不同時(shí)為零，所以，故結(jié)論成立．(3)因?yàn)?為奇函數(shù)，所以,所以，又在處的切線垂直于直線，所以，即．（3）設(shè)，，則，設(shè)，∴，∴，即在上單調(diào)遞增，又，故在上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為，則，因此，當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，因此，由于，∴，則．設(shè)，則，令，則，∴，故．5．（本小題滿分12分）設(shè)（），曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）(1)求、的值；(2)設(shè)集合，集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：(1)，由題設(shè)，∴，又切點(diǎn)為在切線上，∴(2)，∵，∴，，即，設(shè)，即，，①若，在上為增函數(shù)，，這與題設(shè)矛盾；②若方程的判別式，當(dāng)，即時(shí)，.在上單調(diào)遞減，，即不等式成立，當(dāng)時(shí)，方程，設(shè)兩根為，，，當(dāng),單調(diào)遞增，，與題設(shè)矛盾，綜上所述，．6．(本小題滿分15分)已知函數(shù)（為常數(shù)），其圖象是曲線．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若存在唯一的實(shí)數(shù)，使得與同時(shí)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線與曲線交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處作曲線的切線，設(shè)切線的斜率分別為．問(wèn)：是否存在常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)當(dāng)時(shí)，.令f(x)<0，解得，所以f(x)的單調(diào)減區(qū)間為．(2)，由題意知消去，得有唯一解．令，則，所以在區(qū)間，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又，，故實(shí)數(shù)的取值范圍是．(3)設(shè)，則點(diǎn)處切線方程為與曲線：聯(lián)立方程組，得，即，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)．由題意知，，，若存在常數(shù)，使得，則，即存在常數(shù)，使得，所以解得，．故時(shí)，存在常數(shù)，使；時(shí)，不存在常數(shù)，使．7．(本小題滿分14分)已知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：，且（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）解析：（I）的定義域?yàn)椋鋵?dǎo)數(shù)．①當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上是增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，．所以在是增函數(shù)，在是減函數(shù).（II）①由（I）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，在是增函數(shù)，在是減函數(shù)，此時(shí)為函數(shù)的最大值，當(dāng)時(shí)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，此時(shí)，，且，令，則，所以在，上單調(diào)遞增，所以，即所以的取值范圍是，②證法一：.設(shè)..當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù).最大值為.由于，且，所以，所以.下面證明：當(dāng)時(shí)，.設(shè)，則.在上是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，由得.所以.所以，即，，.又，所以，.所以.即.由，得.所以，.②證法二：由（II）①可知函數(shù)在是增函數(shù)，在是減函數(shù).所以.故第二部分:分析:因?yàn)?所以.只要證明:就可以得出結(jié)論下面給出證明：構(gòu)造函數(shù)：則：所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù).,則,又于是.又由(1)可知.即8．(本小題滿分15分)已知函數(shù)，.（1）設(shè).①若函數(shù)在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)，且，求證：當(dāng)時(shí)，.解析：（1）由題意，得，所以函數(shù)在處的切線斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程，將點(diǎn)代入，得.（2）方法一：當(dāng)，可得，因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以只需，解得，從而.②當(dāng)時(shí)，由，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以函數(shù)在上有最小值為，令，解得，所以.綜上所述，.方法二：當(dāng)，①當(dāng)時(shí)，顯然不成立；②當(dāng)且時(shí)，，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，，由題意知.（3）由題意，，而等價(jià)于，令，則，且，，令，則，因，所以，所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，從而函數(shù)在上單調(diào)遞增，即.(本小題滿分12分)已知函數(shù)()．（1）求函數(shù)的極值;（2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解析：函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，解得，列表－?+單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增由表得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為；所以極小值為＝，無(wú)極大值.（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，不等式恒成立；當(dāng)時(shí)，在兩邊取自然對(duì)數(shù)，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，不等式恒成立；如果，，，不等式等價(jià)于，由(1)得，此時(shí)，不等式不恒成立.當(dāng)時(shí)，，則,不等式等價(jià)于,由(1)得，此時(shí)的最小值為，得.綜上：的取值范圍是.10.(本小題滿分12分)已知函數(shù)和（其中），，．（1）求的取值范圍；（2）方程有幾個(gè)實(shí)根？為什么？解析：（1）∵，，∴，∴．，即，∴．①當(dāng)，即時(shí)，上式不成立．②當(dāng)，即時(shí)，．由條件，得到．由，解得或．由，解得或．m的取值范圍是或．（2）有一個(gè)實(shí)根．，即．記，則．∵，，．∴△＞0，故有相異兩實(shí)根．易知，x1，x2分別是函數(shù)Q（x）的極大值和極小值點(diǎn)，，∴顯然，，∴，∴，∴．于是．而為三次函數(shù)的極小值點(diǎn)，故與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)．∴方程只有一個(gè)實(shí)根．11．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極大值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足：且，，求證：．解析：函數(shù)的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，，令得．列表：x+0↗極大值↘所以的極大值為．（2）．令，得，記．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以單調(diào)減區(qū)間為；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由得，①若，則，由，得，；由，得．所以，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為；②若，由（1）知單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；③若，則，由，得；由，得．的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為．（3）（）．由得．∵，∴(舍)，或．∵，∴．由得，因?yàn)?，所以?）式可化為，即．令，則，整理，得，從而，即．記．，令得（舍），，列表：+↘↗所以，在單調(diào)減，在單調(diào)增，又因?yàn)?，所以，從而?2．（本小題滿分14分）已知函數(shù)，對(duì)一切正整數(shù)，數(shù)列定義如下：，且，前項(xiàng)和為.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求值域；（2）證明；（3）對(duì)一切正整數(shù)，證明：eq\o\ac(○,1)；eq\o\ac(○,2).解析：（1）定義域R，，，．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為法一：，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，為減函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，；函數(shù)的值域?yàn)椋ǘ寒?dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,,,函數(shù)的值域?yàn)榉ㄈ号袆e式法（略）（2）設(shè),設(shè)，則，則，.當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由（１）,當(dāng)時(shí)，無(wú)解時(shí)，，當(dāng)時(shí)，在無(wú)解．綜上，除外，方程無(wú)解，．（3）eq\o\ac(○,1)顯然,又,，，所以，若，則矛盾.所以eq\o\ac(○,2)法一：法二：，13．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)f(x)＝(x+1)lnx－a(x－1)在x＝e處的切線與y軸相交于點(diǎn)(0，2－e)．（1）求a的值；（2）函數(shù)f(x)能否在x＝1處取得極值？若能取得，求此極值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）當(dāng)1<x<2時(shí)，試比較EQ\F(2,x－1)與大小．解析：（1）＝lnx+EQ\F(1,x)+1－a依題設(shè)得EQ\F(f

(e)－(2－e),e－0)＝(e)，即e+1－a(e－1)－(2－e)＝e，解得a＝2．（2）不能．因?yàn)椋絣nx+EQ\F(1,x)－1，記g(x)＝lnx+EQ\F(1,x)－1，則g′(x)＝EQ\F(x－1,x2)．①當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)>0，所以g(x)在(1，+∞)是增函數(shù)，所以g(x)>g(1)＝0，所以>0；②當(dāng)0<x<1時(shí)，g′(x)<0，所以g(x)在(0，1)是減函數(shù)，所以g(x)>g(1)＝0，所以>0．由①②得f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù)，所以x＝1不是函數(shù)f(x)極值點(diǎn)．（3）當(dāng)1<x<2