第二講-函數(shù)的極限典型例題

PAGEPAGE4第二講函數(shù)的極限一內(nèi)容提要1.函數(shù)在一點(diǎn)處的定義使得，有.右極限使得，有.左極限使得，有.注1同數(shù)列極限一樣，函數(shù)極限中的同樣具有雙重性．注2的存在性（以為例）：在數(shù)列的“”定義中，我們?cè)?jīng)提到過(guò)，的存在性重在“存在”，而對(duì)于如何去找以及是否能找到最小的無(wú)關(guān)緊要；對(duì)也是如此，只要對(duì)給定的，能找到某一個(gè)，能使時(shí)，有即可．注3討論函數(shù)在某點(diǎn)的極限，重在局部，即在此點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)研究是否無(wú)限趨近于．注4．注５，有，稱為歸結(jié)原則――海涅（Heine）定理．它是溝通數(shù)列極限與函數(shù)極限之間的橋梁．說(shuō)明在一定條件下函數(shù)極限與數(shù)列極限可以相互轉(zhuǎn)化．因此，利用定理必要性的逆否命題，可以方便地驗(yàn)證某些函數(shù)極限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用數(shù)列極限的現(xiàn)成結(jié)果來(lái)論證函數(shù)極限問(wèn)題．（會(huì)敘述，證明，特別充分性的證明．）注6，，有．2函數(shù)在無(wú)窮處的極限設(shè)在上有定義，則使得，有．使得，有．使得，有．注１．注２，有．３函數(shù)的有界設(shè)在上有定義，若存在一常數(shù)，使得，有，則稱在上有界．４無(wú)窮大量使得，有．使得，有．類似地，可定義，，，等．注若，且和，使得，有，則．特別的，若，，則．５無(wú)窮小量若，則稱當(dāng)時(shí)為無(wú)窮量．注1可將改為其它逼近過(guò)程．注2，其中．由于有這種可以互逆的表達(dá)關(guān)系，所以極限方法與無(wú)窮小分析方法在許多場(chǎng)合中可以相互取代．注3，在的某空心鄰域內(nèi)有界，則．注4，且當(dāng)足夠大時(shí)，有界，則．注5在某一極限過(guò)程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量．6函數(shù)極限的性質(zhì)以下以為例，其他極限過(guò)程類似．（1），則極限唯一．（2），則，使得，有．（3），，且，則，使得，有例，證明：（1）若，則有；（2）．例設(shè)是上的嚴(yán)格嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，又若對(duì)（），有，試證明：．例函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，且對(duì)（），且（），有，證明：．例設(shè)函數(shù)，，滿足（），且（）則（）問(wèn)：在題設(shè)條件下，是否有？答：否．如．例設(shè)函數(shù)在上滿足議程，且，則（）．例求下列函數(shù)極限（1）（）；（2）（）；（3）．例求下列極限（1）；（2）；（3）．例求下列極限：（1）；（2）．例求下列極限：（1