新教材2023版高中數(shù)學(xué)第一章數(shù)列1數(shù)列的概念及其函數(shù)特性1.2數(shù)列的函數(shù)特性學(xué)案北師大版選擇性必修第二冊(cè)

1．2數(shù)列的函數(shù)特性[教材要點(diǎn)]要點(diǎn)一數(shù)列與函數(shù)可以把一個(gè)數(shù)列視作定義在________集(或其子集)上的函數(shù)，因此可以用圖象(平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一串點(diǎn))來(lái)表示數(shù)列，圖象中每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______，k＝1，2，3，….狀元隨筆(1)數(shù)列是以正整數(shù)作為自變量的特殊函數(shù)，因此在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，要善于利用函數(shù)的知識(shí)、函數(shù)的觀點(diǎn)、函數(shù)的思想方法，即用共性來(lái)解決特殊問(wèn)題．(2)要注意數(shù)列的特殊性(離散型)．因?yàn)閿?shù)列的定義域是N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})，所以數(shù)列的值域是一系列孤立的實(shí)數(shù)組成的集合．要點(diǎn)二數(shù)列的增減性1．遞增數(shù)列：一般地，一個(gè)數(shù)列{an}，如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即________，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞增數(shù)列．2．遞減數(shù)列：如果從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都________它的前一項(xiàng)，即________，那么這個(gè)數(shù)列叫作遞減數(shù)列．3．常數(shù)列：如果數(shù)列{an}的各項(xiàng)都________，那么這個(gè)數(shù)列叫作常數(shù)列．狀元隨筆數(shù)列增減性與函數(shù)增減性的區(qū)別數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其定義域是N＋(或N＋的有限子集)，自變量的取值是離散的，而函數(shù)的定義域通常是連續(xù)的，所以數(shù)列與函數(shù)的增減性有所不同．例如，函數(shù)f(x)＝x2－2x在其定義域上沒(méi)有增減性．只能說(shuō)f(x)在(－∞，1)上減少，在(1，＋∞)上增加，但對(duì)于數(shù)列{an}，若an＝n2－2n，則其一定是遞增數(shù)列．[基礎(chǔ)自測(cè)]1．判斷正誤(正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)數(shù)列若用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).()(2)在數(shù)列{an}中，若存在m，n∈N＋，當(dāng)m<n時(shí)有am<an成立，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.()(3)如果函數(shù)y＝f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則數(shù)列an＝f(n)為單調(diào)遞增數(shù)列．()(4)數(shù)列1，3，5，7，…，2n－1可以看作函數(shù)y＝2x－1，當(dāng)x取1，2，3，…，n時(shí)，對(duì)應(yīng)函數(shù)值的集合.()2．若數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝2n，則數(shù)列{an}是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．?dāng)[動(dòng)數(shù)列3．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無(wú)窮數(shù)列的是()A．1，12，B．－1，－2，－3，－4，…C．－1，－12，－14，－1D．1，2，3，…4．有下列數(shù)列：①1，2，22，23，…；②1，0.5，0.52，0.53，…；③7，7，7，7，….其中遞增數(shù)列是________，遞減數(shù)列是________，常數(shù)列是________．(填序號(hào))題型一根據(jù)圖象判斷數(shù)列的增減性例1已知數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.(1)畫(huà)出{an}的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出數(shù)列{an}的增減性.方法歸納畫(huà)數(shù)列圖象通常用描點(diǎn)法，與畫(huà)函數(shù)圖象的描點(diǎn)法有類(lèi)似之處，其步驟是：(1)列表；(2)描點(diǎn)．但要注意描點(diǎn)后不能連線，這是由于數(shù)列的定義域是N＋.跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n題型二判斷數(shù)列的增減性例2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝3n-12n，試判斷數(shù)列{a方法歸納判斷數(shù)列增減性的方法(1)根據(jù)給出的通項(xiàng)公式畫(huà)出圖象，觀察圖象的變化趨勢(shì)；(2)作差法：用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)，an－an－1(n≥2，n∈N＋)或an＋1－an，若結(jié)果為正，則是遞增數(shù)列，若結(jié)果為負(fù)，則是遞減數(shù)列；(3)作商法：在確定an為正或?yàn)樨?fù)的情況下，作商，比較商值與1的關(guān)系，從而確定數(shù)列的單調(diào)性；(4)借助數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝nn2+1(n∈N題型三數(shù)列中的最值例3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)，試問(wèn)數(shù)列{an方法歸納1．?dāng)?shù)列{an}中，若存在m∈N＋，對(duì)任意n∈N＋都有am≥an恒成立，則am為數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)；若存在t∈N＋，對(duì)任意n∈N＋都有at≤an恒成立，則at為數(shù)列{an}中的最小項(xiàng).2．求數(shù)列的最大(小)項(xiàng)，其實(shí)質(zhì)就是求相應(yīng)函數(shù)的最大(小)值，但要注意數(shù)列中的n∈N＋.3．求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法主要有兩種：(1)根據(jù)數(shù)列{an}的增減性求最大(小)項(xiàng)；(2)利用不等式組an-1跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝－2n2＋9n＋3.求{an}中的最大項(xiàng)．易錯(cuò)辨析忽視數(shù)列中的n∈N*致錯(cuò)例4已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－5n＋4，則an的最小值為_(kāi)_______．解析：∵an＝n2－5n＋4＝n-52可知對(duì)稱(chēng)軸方程為n＝52又n∈N*，故n＝2或3時(shí)，an有最小值，且a2＝a3＝－2.答案：－2【易錯(cuò)警示】出錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得在求出an＝n-522－94時(shí)，忘記n∈N數(shù)列的定義域是正整數(shù)集，是特殊的函數(shù)，所以解題時(shí)一定不要忘記n∈N*這一條件．[課堂十分鐘]1．(多選題)下列說(shuō)法中正確的是()A．?dāng)?shù)列a，a，a，…是無(wú)窮數(shù)列B．?dāng)?shù)列{f(n)}就是定義在正整數(shù)集N＋或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)值C．?dāng)?shù)列0，－1，－2，－3，…不一定是遞減數(shù)列D．已知數(shù)列{an}，則{an＋1－an}也是一個(gè)數(shù)列2．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1<0，an+1an＝12，則數(shù)列{an}A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不確定3．在遞減數(shù)列{an}中，an＝kn(k為常數(shù))，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－2n2＋4n－33，則數(shù)列{an}中最大值是__________.5．根據(jù)下面兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別作出它們的圖象，并判斷數(shù)列的增減性.(1)an＝－14n(2)bn＝13·2n狀元筆記由遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式類(lèi)型一形如an＋1＝an＋f(n)的遞推關(guān)系式當(dāng)已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的差的遞推關(guān)系式，即an＋1－an＝f(n)(n∈N*)時(shí)，通常采用累加法求通項(xiàng)，其方法是利用恒等式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求解．例1已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n＋1，則an＝________.解析：∵an＋1＝an＋n＋1，a1＝1，∴an＋1－an＝n＋1，∴an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a2－a1＝2(n≥2且n∈N*)以上式子相加得：an－a1＝2＋3＋…＋n∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝nn+12(n≥2且n∈N*當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合上式，∴an＝nn+12答案：n狀元隨筆變形為：an＋1－an＝n＋1，照此遞推關(guān)系寫(xiě)出前n項(xiàng)中任意相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，這些式子兩邊分別相加可求．類(lèi)型二形如an＋1＝f(n)an的遞推關(guān)系式當(dāng)已知數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的積的遞推關(guān)系式，即an+1an＝f(n)(n∈N*)時(shí)，通常采用累乘法求通項(xiàng)，其方法是利用恒等式an＝anan-1·例2已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝nn+1an，求an解析：∵an＋1＝nn+1an，a1＝∴an+1a∴anan-1＝n-1n，an-1an-2＝以上式子兩邊分別相乘得：ana1＝n-1n×n-2n-1∴an＝1na1＝1n.(n≥2且n∈N當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1符合上式，∴an＝1n(n∈N*1．2數(shù)列的函數(shù)特性新知初探·課前預(yù)習(xí)要點(diǎn)一正整數(shù)(k，ak)要點(diǎn)二1．大于an＋1>an2．小于an＋1<an3．相等[基礎(chǔ)自測(cè)]1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是遞增數(shù)列．故選A.答案：A3．解析：A、B是遞減數(shù)列，D是有窮數(shù)列，故C正確．故選C.答案：C4．答案：①②③題型探究·課堂解透題型一例1解析：(1)列表如下.n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點(diǎn)即得數(shù)列{an}的圖象.(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8，0)，(9，9)，…圖象如圖.(2)數(shù)列{an}的圖象既不是上升的，也不是下降的，所以{an}既不是遞增數(shù)列，也不是遞減數(shù)列.跟蹤訓(xùn)練1解析：圖象如圖所示，該數(shù)列在{1，2，3，4}上是遞減的，在{5，6，…}上也是遞減的．題型二例2解析：解法一因?yàn)閍n＝3n-12n(n∈N所以an＋1＝3n+22n+2于是an＋1－an＝3n+22n+2-3n-所以an＋1>an，故{an}是遞增數(shù)列．解法二因?yàn)閍n＝3n-12n，所以an＋1當(dāng)n∈N＋時(shí)，an>0，an＋1>0，于是an+1an＝＝3n+2·2n2n+23n所以an+1an>1，從而an＋1>故{an}是遞增數(shù)列．解法三令f(x)＝3x-12x因?yàn)楫?dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，y＝12x是遞減的，所以f(x)＝3從而數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．跟蹤訓(xùn)練2解析：{an}為遞減數(shù)列，理由如下：an＋1－an＝n+1＝n+1＝-＝-n+∵f(x)＝－x+122＋54在[1∴當(dāng)n≥1時(shí)，f(n)≤f(1)＝－1<0.又∵(n＋1)2＋1>0，n2＋1>0，∴an＋1－an<0，∴{an}是遞減數(shù)列．題型三例3解析：數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，設(shè)an為最大項(xiàng)，則a即n解得9≤n≤10.又∵n∈N＋，∴n＝9或n＝10.∴該數(shù)列中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)，且a9＝a10＝10×10119＝跟蹤訓(xùn)練3解析：由an＝－2n2＋9n＋3＝－2n-94∵n為正整數(shù)，∴當(dāng)n＝2時(shí)，an取得最大值，a2＝－2×22＋9×2＋3＝13.即數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a2＝13.[課堂十分鐘]1．解析：A，D顯然正確；因?yàn)閿?shù)列{f(n)}是定義在正整數(shù)集N＋上或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函數(shù)an＝f(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的是一列函數(shù)值，所以B項(xiàng)不正確；對(duì)于C，數(shù)列只給出前四項(xiàng)，后面的項(xiàng)不確定，所以不一定是遞減數(shù)列．故選ACD.