第四章 §4.3 4.3.2 對(duì)數(shù)的運(yùn)算-高中數(shù)學(xué)人教A版必修一 課件（共47張PPT）

4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算第四章

§4.3對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立的條件.(重點(diǎn))2.掌握換底公式及其推論.(難點(diǎn))3.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.(重難點(diǎn))導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展可謂是貫穿了整個(gè)人類進(jìn)化史，人類的祖先，從數(shù)手指開始，逐漸積累經(jīng)驗(yàn)，堆石子、數(shù)貝殼、樹枝、竹片，而后有刻痕計(jì)數(shù)、結(jié)繩計(jì)數(shù)等，后來創(chuàng)造文字、數(shù)字及計(jì)數(shù)用具，如算盤、計(jì)算器等.從人們對(duì)天文、航天、航海感興趣開始，發(fā)現(xiàn)數(shù)太大了，再多的手指頭也算不過來了，怎么辦？比如天文學(xué)家開普勒利用他的對(duì)數(shù)表簡(jiǎn)化了行星軌道的復(fù)雜計(jì)算，對(duì)數(shù)被譽(yù)為“用縮短計(jì)算時(shí)間而使天文學(xué)家延長(zhǎng)壽命”，對(duì)整個(gè)科學(xué)的發(fā)展起了重要作用.一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)二、對(duì)數(shù)的換底公式三、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用四、實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算隨堂演練內(nèi)容索引對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

一問題1將指數(shù)式M＝ap，N＝aq化為對(duì)數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)MN＝apaq＝ap＋q能否將其化為對(duì)數(shù)式？它們之間有何聯(lián)系(用一個(gè)等式表示)?提示由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).從而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).問題3結(jié)合問題1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何結(jié)果？提示由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a＞0，且a≠1，n∈R).知識(shí)梳理如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝

.(2)＝

.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaN注意點(diǎn)：(1)性質(zhì)的逆運(yùn)算仍然成立.(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意義，而log2(－2)與log2(－3)都沒有意義.(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.例1

計(jì)算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值(1)“收”：將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)合并為積(商)的對(duì)數(shù)，即公式逆用；(2)“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)，即公式的正用；(3)“湊”：將同底數(shù)的對(duì)數(shù)湊成特殊值，如利用lg2＋lg5＝1，進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn).跟蹤訓(xùn)練1

計(jì)算下列各式的值：原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.對(duì)數(shù)的換底公式

二問題4前邊我們學(xué)習(xí)了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，但對(duì)于一些式子，比如log48，log927等式子的化簡(jiǎn)求值問題還不能做到，你能解決這個(gè)問題嗎？提示設(shè)log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，問題5是否任意的logab都可以表示成logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？說出你的理由.提示是.依據(jù)當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ax＝N?logaN＝x推導(dǎo)得出.知識(shí)梳理2.對(duì)數(shù)換底公式的重要推論(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).注意點(diǎn)：(1)公式成立的條件要使每一個(gè)對(duì)數(shù)式都有意義.(2)在具體運(yùn)算中，可根據(jù)需要換底，比如我們習(xí)慣換成常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，即logab＝

或logab＝

.例2(1)計(jì)算：(log43＋log83)(log32＋log92)；(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.方法一∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.方法二∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.延伸探究若本例(2)條件不變，求log915(用a，b表示).因?yàn)?8b＝5，所以log185＝b.反思感悟利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的原則和技巧跟蹤訓(xùn)練2√方法一將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)，方法二將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對(duì)數(shù)，＝

＝對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用

三例3方法一由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，方法二由3a＝4b＝36，兩邊取以6為底的對(duì)數(shù)，得alog63＝blog64＝log636＝2，令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.反思感悟利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的互化運(yùn)算中，要注意靈活運(yùn)用定義、性質(zhì)和運(yùn)算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行正確的相互轉(zhuǎn)化.(2)對(duì)于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對(duì)數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)，從而使問題得解.跟蹤訓(xùn)練3(1)用lgx，lgy，lgz表示下列各式：①lg(xyz)；lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.＝lgx＋2lgy－lgz.∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝log3c，b＝log5c，由logc15＝2得c2＝15，實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算

四

某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場(chǎng)需求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初始時(shí)含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少

，要使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求，則至少應(yīng)過濾(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.6次 B.7次 C.8次 D.9次√例4設(shè)至少需要過濾n次，又lg2－lg3<0，又n∈N，所以n≥8.所以至少過濾8次才能使產(chǎn)品達(dá)到市場(chǎng)要求.反思感悟關(guān)于對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)在與對(duì)數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，先將題目中數(shù)量關(guān)系理清，再將相關(guān)數(shù)據(jù)代入，最后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式進(jìn)行計(jì)算.(2)在與指數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，可將指數(shù)式利用取對(duì)數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算.

標(biāo)準(zhǔn)的圍棋棋盤共19行19列，361個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不同的情況.而我國(guó)北宋學(xué)者沈括在他的著作《夢(mèng)溪筆談》中，也討論過這個(gè)問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬(wàn)字五十二”種，即1000052，下列數(shù)據(jù)最接近

的是(lg3≈0.477)A.10－37 B.10－36 C.10－35