第四章 §4.3 4.3.2 對數(shù)的運算-高中數(shù)學人教A版必修一 課件（共47張PPT）

4.3.2對數(shù)的運算第四章

§4.3對數(shù)學習目標1.掌握積、商、冪的對數(shù)運算性質(zhì)，理解其推導過程和成立的條件.(重點)2.掌握換底公式及其推論.(難點)3.能熟練運用對數(shù)的運算性質(zhì)進行化簡求值.(重難點)導語同學們，數(shù)學運算的發(fā)展可謂是貫穿了整個人類進化史，人類的祖先，從數(shù)手指開始，逐漸積累經(jīng)驗，堆石子、數(shù)貝殼、樹枝、竹片，而后有刻痕計數(shù)、結(jié)繩計數(shù)等，后來創(chuàng)造文字、數(shù)字及計數(shù)用具，如算盤、計算器等.從人們對天文、航天、航海感興趣開始，發(fā)現(xiàn)數(shù)太大了，再多的手指頭也算不過來了，怎么辦？比如天文學家開普勒利用他的對數(shù)表簡化了行星軌道的復雜計算，對數(shù)被譽為“用縮短計算時間而使天文學家延長壽命”，對整個科學的發(fā)展起了重要作用.一、對數(shù)的運算性質(zhì)二、對數(shù)的換底公式三、對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用四、實際問題中的對數(shù)運算隨堂演練內(nèi)容索引對數(shù)的運算性質(zhì)

一問題1將指數(shù)式M＝ap，N＝aq化為對數(shù)式，結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)MN＝apaq＝ap＋q能否將其化為對數(shù)式？它們之間有何聯(lián)系(用一個等式表示)?提示由M＝ap，N＝aq得p＝logaM，q＝logaN.由MN＝ap＋q得p＋q＝loga(MN).從而得出loga(MN)＝logaM＋logaN(a>0，且a≠1，M>0，N>0).問題3結(jié)合問題1，若Mn＝(ap)n＝anp(n∈R)，又能有何結(jié)果？提示由Mn＝anp，得logaMn＝np＝nlogaM(a＞0，且a≠1，n∈R).知識梳理如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝

.(2)＝

.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).logaM＋logaNlogaM－logaN注意點：(1)性質(zhì)的逆運算仍然成立.(2)公式成立的條件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意義，而log2(－2)與log2(－3)都沒有意義.(3)性質(zhì)(1)可以推廣為：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.例1

計算下列各式的值：(1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2；原式＝(lg5)2＋(2－lg2)lg2＝(lg5)2＋(1＋lg5)lg2＝(lg5)2＋lg2·lg5＋lg2＝(lg5＋lg2)·lg5＋lg2＝lg5＋lg2＝1.＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2log55＝2.反思感悟利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡求值(1)“收”：將同底的兩個對數(shù)的和(差)合并為積(商)的對數(shù)，即公式逆用；(2)“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成同底的兩個對數(shù)的和(差)，即公式的正用；(3)“湊”：將同底數(shù)的對數(shù)湊成特殊值，如利用lg2＋lg5＝1，進行計算或化簡.跟蹤訓練1

計算下列各式的值：原式＝2lg5＋2lg2＋lg5×(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.對數(shù)的換底公式

二問題4前邊我們學習了對數(shù)的運算性質(zhì)，但對于一些式子，比如log48，log927等式子的化簡求值問題還不能做到，你能解決這個問題嗎？提示設(shè)log48＝x，故有4x＝8，即22x＝23，問題5是否任意的logab都可以表示成logab＝

(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)？說出你的理由.提示是.依據(jù)當a>0，且a≠1時，ax＝N?logaN＝x推導得出.知識梳理2.對數(shù)換底公式的重要推論(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1).注意點：(1)公式成立的條件要使每一個對數(shù)式都有意義.(2)在具體運算中，可根據(jù)需要換底，比如我們習慣換成常用對數(shù)或自然對數(shù)，即logab＝

或logab＝

.例2(1)計算：(log43＋log83)(log32＋log92)；(2)已知log189＝a,18b＝5，用a，b表示log3645的值.方法一∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.方法二∵log189＝a,18b＝5，∴l(xiāng)og185＝b.延伸探究若本例(2)條件不變，求log915(用a，b表示).因為18b＝5，所以log185＝b.反思感悟利用換底公式進行化簡求值的原則和技巧跟蹤訓練2√方法一將分子、分母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對數(shù)，方法二將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對數(shù)，＝

＝對數(shù)運算性質(zhì)的綜合運用

三例3方法一由3a＝4b＝36，得a＝log336，b＝log436，方法二由3a＝4b＝36，兩邊取以6為底的對數(shù)，得alog63＝blog64＝log636＝2，令2x＝3y＝5z＝k(k>0)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k，得logk2＋logk3＋logk5＝logk30＝1，∴k＝30，∴x＝log230＝1＋log215，y＝log330＝1＋log310，z＝log530＝1＋log56.反思感悟利用對數(shù)式與指數(shù)式互化求值的方法(1)在對數(shù)式、指數(shù)式的互化運算中，要注意靈活運用定義、性質(zhì)和運算法則，尤其要注意條件和結(jié)論之間的關(guān)系，進行正確的相互轉(zhuǎn)化.(2)對于連等式可令其等于k(k>0)，然后將指數(shù)式用對數(shù)式表示，再由換底公式可將指數(shù)的倒數(shù)化為同底的對數(shù)，從而使問題得解.跟蹤訓練3(1)用lgx，lgy，lgz表示下列各式：①lg(xyz)；lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.＝lgx＋2lgy－lgz.∵3a＝5b＝c，∴c>0，∴a＝log3c，b＝log5c，由logc15＝2得c2＝15，實際問題中的對數(shù)運算

四

某化工廠生產(chǎn)一種溶液，按市場需求，雜質(zhì)含量不能超過0.1%.若初始時含雜質(zhì)2%，每過濾一次可使雜質(zhì)含量減少

，要使產(chǎn)品達到市場要求，則至少應(yīng)過濾(已知：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)A.6次 B.7次 C.8次 D.9次√例4設(shè)至少需要過濾n次，又lg2－lg3<0，又n∈N，所以n≥8.所以至少過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.反思感悟關(guān)于對數(shù)運算在實際問題中的應(yīng)用(1)在與對數(shù)相關(guān)的實際問題中，先將題目中數(shù)量關(guān)系理清，再將相關(guān)數(shù)據(jù)代入，最后利用對數(shù)運算性質(zhì)、換底公式進行計算.(2)在與指數(shù)相關(guān)的實際問題中，可將指數(shù)式利用取對數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為對數(shù)運算，從而簡化復雜的指數(shù)運算.

標準的圍棋棋盤共19行19列，361個格點，每個格點上可能出現(xiàn)“黑”“白”“空”三種情況，因此有3361種不同的情況.而我國北宋學者沈括在他的著作《夢溪筆談》中，也討論過這個問題，他分析得出一局圍棋不同的變化大約有“連書萬字五十二”種，即1000052，下列數(shù)據(jù)最接近

的是(lg3≈0.477)A.10－37 B.10－36 C.10－35