線代課及歷年卷課件行列式

1.1

二階與三階行列式1.2

n

階行列式行列式的性質(zhì)行列式按行（列）展開克萊默法則第一章

行列式基本要求:熟練掌握二、三階行列式的定義與計算方法;了解n階行列式的定義,理解和熟練掌握行列式的基本運算性質(zhì),會計算簡單的n階行列式;3 理解和掌握克拉默法則（Cramer’s

rule).行列式——determinant21

x1

+

a22

x2

=

b2

.用消元法解二元線性方程組aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,1)2)a11a22

x1

+

a12a22

x2

=

b1a22

,·a22:·a12

:a12a21

x1

+

a12a22

x2

=

b2a12

,一、二階行列式的引入第一節(jié)二階與三階行列式兩式相減消去x2，得（a11a22

-

a12a21）x1

=

b1a22

-

a12b2;（a11a22

-

a12a21）x1

=

b1a22

-

a12b2;類似地，消去x1，得（a11a22

-

a12a21）x2

=

a11b2

-

b1a21

,當a11a22

-a12a21

?0

時，方程組的解為11

22

12

211a

a

-

a

ab1a22

-

a12b2x

=.

（3）11

22

12

212，

xa

a

-

a

a=

a11b2

-

b1a21由方程組的四個系數(shù)確定.由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表(4)a11

a12a21

a22(5)a11

a12a21

a22行列式，并記作表達式a11a22

-a12a21稱為數(shù)表（4）所確定的二階即aa12

2111

22a11

a1221

22-

a

a

.=

a

aa11a12a22a21主對角線副對角線對角線法則=

a11a22

-

a12a21

.二階行列式的計算若記a

aD

=

11 12

,a21

a2221x1

+

a22

x2

=

b2

.a11

x1

+

a12

x2

=

b1

,對于二元線性方程組a系數(shù)行列式21

x1

+

a22

x2

=

b2

.aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,2221b

a1

a12

,bD

=21

x1

+

a22

x2

=

b2

.aa11

x1

+

a12

x2

=

b1

,112a21

b2a b1

.D

=則二元線性方程組的解為,11a11

a12a21

a22ba122

a22b1DD=x

=注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式..12112a21

a22a

ab1b2a11Dx=

D2

=

a21例11

22

x

+

x

3

x1

-

2

x

2

=

12

,=

1.求解二元線性方程組解3

-

2D

=2

1=

3

-

(-4)

=

7

?

0,1

1112D

=-

2=

14,23

12D

=2

1=

-21,11\

x

=D

7D

14D= =

2,

x2=

D27=

-

21

=

-3.二、三階行列式(5)a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33設有9個數(shù)排成3行3列的數(shù)表(6)-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a3231

32

33232221a

aa

aaa記a11

a12

a13（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.列標行標對角線法則a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33元素的乘積冠以負號．說明1

對角線法則只適用于二階與三階行列式．=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-

a13a22a31

-

a12a21a33

-

a11a23a32

.注意

紅線上三元素的乘積冠以正號，藍線上三a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,如果三元線性方程組a的系數(shù)行列式a11

a12

a13a22

a23a31

a32

a33D

=

a21?

0,三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.利用三階行列式求解三元線性方程組

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,b3b1D1

=

b2若記232221a31

a32

a33a12

a13a22

a23

,a32

a33a11

a12

a13D

=

a

a

a或

1

2

b

b

b1

a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a23

,b1D1

=

b2記b3a23

,a12

a13a22a32

a33a12

a13a22a32

a33b3b1D1

=

b2即a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a11

a12

a13a22

a23a31

a32

a33D

=

a21a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a33a31a13a11b1D2

=

a21

b2

a23

,b3得a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,232221a31

a32

a33a11

a12

a13D

=

a

a

aa31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;21

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,a33a31a13a11b1D2

=

a21

b2

a23

,b3得a31

x1

+

a32

x2

+

a33

x3

=

b3

;a

a11

x1

+

a12

x2

+

a13

x3

=

b1

,22212b3a31

a32b1a11

a1221

x1

+

a22

x2

+

a23

x3

=

b2

,

D3

=

a

a

b

.則三元線性方程組的解為:,DD11x

=2Dx

=

D2

,3Dx

=

D3

.a11D

=

a21a31a12a22a32a13a23a33D1b1=

b2b3a12a22a32a13a23

,a33a11b1a13a11a12b1D2

=

a21b2a23

,D3=

a21a22b2

.a31b3a33a31a32b31

2 -

4D

=

-

2

2

1-

3

4 -

2計算三階行列式例２解

按對角線法則，有D

=

1

·

2

·(-2)

+

2

·1

·(-3)

+

(-4)

·(-2)

·

4-

1

·1

·

4

-

2

·(-2)

·(-2)

-

(-4)

·

2

·(-3)=

-4

-

6

+

32

-

4

-

8

-

24=

-14.x21

1

1例3

求解方程

2

3

x

=

0.4

9解

方程左端D

=

3

x2

+

4

x

+

18

-

9

x

-

2

x2

-

12=

x2

-

5

x

+

6,由x2

-5x

+6

=0

解得x

=2

或x

=3.例4

解線性方程組1

2

32

x

+

x

+

-3

x

=

1,

x1

-

2

x2

+

x3

=

-2,

-

x1

+

x2

-

x3

=

0.解

由于方程組的系數(shù)行列式1

-

2

1D

=

2

1-

1

1

-

1-

3

=

1·1·

-

1)+

-

2)·

-

3)·

-

1)+

1·

2

·1

-

1·1·

-

1)-

-

2)·

2

·

-

1)-

1·

-

3)·1=

-5

?

0,同理可得-

2

-

2

11

-

2

12

1-

1

0

-

1-

3

=

-5,

D2

=-

3

=

-10,D1

=

1

10

1

-

11

-

2

-

2D3

=

2

1

1-

1

1

0=

-5,故方程組的解為:11DDx

=2D=

1,

x

=

D2

=

2,3Dx

=

D3

=

1.二階和三階行列式是由解二元和三元線性方程組引入的.二階與三階行列式的計算

對角線法則.21

22a

aa11

a12=

a11a22

-

a12a21=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,a11

a12

a13a21

a22

a23a31

a32

a33三、小結(jié)一、全排列及其逆序數(shù)引例解用1、2、3三個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？1

2

31

2

3百位3種放法十位31

2

1個位1

232種放法1種放法種放法.共有3

·

2

·1

=

6第二節(jié)n階行列式問題定義1把n

個不同的元素排成一列，共有幾種不同的排法？由n

個不同地正整數(shù)組成的一個有序數(shù)n

組，稱為一個n元排列。n

個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn表示.P3

=

3

2 1

=

6.(n

-

1)

(n

-

2)

3

2 1

=

n!.由引例同理

Pn

=

n在一個排列i1

i2

it

is

in

)中，若數(shù)it>is

則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.定義2我們規(guī)定各元素之間有一個標準次序,

n個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標準排列或自然排列.一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).例如

排列32514

中，逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.方法1分別計算出排在1,2,

,n

-1,n前面比它大的數(shù)碼之和即分別算出1,2,

,n

-1,n

這n個元素的逆序數(shù)，這個元素的逆序數(shù)的總和即為所求排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.計算排列逆序數(shù)的方法排列的奇偶性方法2分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和，即算出排列中每個元素的逆序數(shù)，這每個元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆序數(shù).例1

求排列32514的逆序數(shù).解

在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;3

2

5

1

40

1

0

3

1于是排列32514的逆序數(shù)為t

=

0

+

1

+

0

+

3

+

1=

5.定義3

將一個n元排列中某兩個數(shù)的位置互換，而其余數(shù)不動，就得到另一個排列，這樣的變換稱為對換。4213

t

=

0

+1+

2

+1

=

41243

t

=

0

+

0

+

0

+1

=1對換會改變排列的奇偶性？定理1

對換一次改變排列的奇偶性。證明：（1）對換的兩數(shù)相鄰。設n元排列為當i>j

時，當i<j

時，a1a2

alijb1b2

bm其逆序數(shù)為t1

，將相鄰兩數(shù)i，j對換，得到新排列a1a2

al

jib1b2

bm其逆序數(shù)為t2

，于是t2

=t1

-1t2

=t1

+1所以，一次相鄰對換改變排列的奇偶性。（2）一般情況。設n元排列為a1a2

alib1b2

bm

jc1c2

cp將兩數(shù)i，j對換，得到新排列a1a2

al

jb1b2

bmic1c2

cpb1

,b2

,,bm

對換，后，再將（3）中的j依次和 作m＋1次對換而得。這樣由（1）經(jīng)2m＋1次相鄰對換可得到排列（2），由前面證明可知，排列（2）和（1）奇偶性不同。

證畢i,

b1

,

b2

,,

bm（2）可看作是由（1）把i依次和即作了m次相鄰對換得到的排列a1a2

al

b1b2

bmijc1c2

cp全排列及其逆序數(shù)小結(jié)n

個不同的元素的所有排列種數(shù)為n!.排列具有奇偶性.計算排列逆序數(shù)常用的方法有2

種.對換一次改變排列的奇偶性二、n階行列式的定義三階行列式a11

a12

a13a22a31

a32

a33D

=

a21a23

=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a32-a13a22a31

-a11a23a32

-a12a21a33說明三階行列式共有6

項，即3!項．每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．（3）每項的正負號都取決于位于不同行不同列的三個元素的下標排列．a(chǎn)13

a21a32例如 列標排列的逆序數(shù)為t

312)=1+1

=

2,a11a23

a32列標排列的逆序數(shù)為t

132)=1+0

=1,偶排列+正號奇排列

-

負號,21

22

23-=\1

p1

2

p2

3

p3ta

a

.( 1)

aa31

a32

a33aa

aa11

a12

a13ta2nanna1na

a

.1

p1

2

p2

npn(-1)

aa11

a12a

a

D

=

21

22

an1

an

2記作的代數(shù)和由n2

個數(shù)組成的n

階行列式等于所有取自不同行不同列的n

個元素的乘積定義4數(shù)

aij

稱為行列式

det(aij

)

的元素．簡記作det(aij

).或aijnnpna

a

at

(p

p

p

)p1

p2pn1

21

p1

2

p2an1

an2

ann(-1)=其中p1

p2

pn

為自然數(shù)1，2，，n

的一個排列t

為這個排列的逆序數(shù)．a(chǎn)11

a12

a1na

a

aD

=

21

22

2n說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;2、n

階行列式是n!項的代數(shù)和;3、n階行列式的每項都是位于不同行、不同列n

個元素的乘積;4、一階行列式a

=a

不要與絕對值記號相混淆;nanp5、a1

p

a2

p1

2的符號為(-1)t

(p1

p2

pn

)例2

計算行列式0001002003004000a1

p

a2

p

a3

p

a4

p1

2

3

4若p1

?411

p

a

=

0,從而這個項為零，所以

p1只能等于4,

同理可得p2

=

3,

p3

=

2,

p4

=

1解

分析展開式中項的一般形式是0001002003004000=

(-

1)t

(4321)1

2

3

4

=

24..即行列式中不為零的項為a14

a23

a32

a41例3

計算上三角行列式ann0

0

a11

a12

a1n0

a22

a2na1

p

a2

p

anp

.1

2

npn

=

n,

pn-1

=

n

-

1,

pn-3

=

n

-

3,

p2

=

2,

p1

=

1,所以不為零的項只有a11a22

ann

.ann0

0

a11

a12

a1n0

a22

a2n\nna

a

a11

22t

(12n

)=

(-

1)=

a11a22

ann

.解

分析展開式中項的一般形式是例41234042100560008=

?D

=11

22

33

441234042100560008=

a

a

a

aD

==

1

4

5 8

=

160.同理可得下三角行列式anna11a210

0

0a22

0

0an1

an

2

an

3=

a11a22

ann

.lnl22l1l2

ln

.n(n-1)=

(-

1)=

l1l2

ln

;lnl1l2例5

證明對角行列式（主對角線以外全為0的行列式）和次對角行列式l1lnl

2l1n1a

a1n

2,n-1=

(-

1)t

n

n-1)21]a2l1l2

ln

.n(n-1)=

(-

1)證明若記第一式是顯然的,下面證第二式.li

=ai

,n-i

+1

,

則依行列式定義an

1a1

na

2

,n

-1=證畢定理2

n階行列式的一般項可以記為a

ijD

=in

j

na

ai2

j

2i1

j1(-1)

t

(

i1i2in

)+t

(

j1

j2

jn

)

ainni1i2

ini11

i2

2(-1)

a

a

at

(

i1i2in

)證明略，見書上Page31推論

n階行列式也可以定義為1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個數(shù)和未知量個數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.2、n

階行列式共有n!項，每項都是位于不同行、不同列的n個元素的乘積,正負號由下標排列的逆序數(shù)決定.三、小結(jié)性質(zhì)1定義：行列式DT

稱為行列式D

的轉(zhuǎn)置行列式.a1na2nan2

anna11

a12a21

a22an1=設D第三節(jié)行列式的性質(zhì)an1an2

anna11

a21a12

a22a1n

a2nDT

=DT

=

D一、行列式的性質(zhì)證明DTbn1

bn

2

bnnb1nb2n令bij

=

a

ji

,

記

D

=

det(

aij

)的轉(zhuǎn)置行列式b11

b12b21

b22=npnb

b

b1

2

n1

p1

2

p2(-1)=t(

p

p

p

)=

(-1)t

(

p1

p2

pn

)

a

a

ap11

p2

2

pnn(根據(jù)上節(jié)定理2的推論)=D.性質(zhì)1

DT

=

D性質(zhì)1說明：行列式的行與列的地位是對稱的，即凡對行成立的的性質(zhì)對列也成立。因此，我們下面著重以行來介紹行列式的性質(zhì)。D

=

det(aij

)n

=性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號.證明由行列式定義

ai1

ai

2

ain

,ak1

ak

2

akn

an1

an

2

anna11

a12

a1nD1交換D的i,k行，得D112111nannan1

an

2ainai1

ai

2aknak1

ak

2a

a

a

=

,

(

)nnjnijkkjia

a

a

a1

i

k1

j1-1=t(

j

j

j

j

)njnkjiijka

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)njna

aij

akj

ak

i1

k

i

n

_1

j1+(-1)=t(

j

j

j

j

)

1t

(

j1

jk

ji

jn

)=

-(-1)t

(

j1

ji

jk

jn

)(-1)根據(jù)定理一，對換一次改變行列式得奇偶性，即：njn1

k

i

na1

j

aij

akj

a1

k

i(-1)t(

j

j

j

j

)上式=－＝－D即：D1＝－D

。任意互換行列式的兩行（列），行列式變號！證畢！njnkjiijka

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)njnijkkjia

a

a

a1

i

k

n1

j1(-1)=t(

j

j

j

j

)例如證明1

0

12

1

23

7

4互換相同的兩行，有

D

=

-D,

\D

=

0.1c

?

c32r

?

r1

0

1-

3

7 4

,2

1

20

1

12

-

1

2 2

.7

3

4推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.1

0

12

1

23

7

4an1

an2

annai

2

ain

.推論1

用數(shù)k乘行列式D等于D中某一行（列）所有元同乘以數(shù)k。npnipi(ka

)a1

p1左=

(-1)t

aaip

ai

npn1

p1=

k

(-

1)t

a=右.annan1

an2i1

i

2

in

i1

性質(zhì)3行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符號的外面，即：a11

a12

a1n

a11

a12

a1nk

aka

ka=

k

a證明0-

3-

3628-

1207-

134180-

92例：0

-

3

-

3

62

1

4

-

6

07

-

1

3

418

0

-

9

20

-

3

-

3

31

4

-

6

02

·

2

·7

-

1

3

218

0

-

9

10

-

3

-

1

34

·

3

·

1

4

-

2 0

=

7

-

1

1

218

0

-

3

1r2

?

2c4

?

2c3

?

3an1

an2

annkai1

kai

2

kainai1

ai

2

aina1n證明a11

a12annainaink

an1

an2ai1

ai

2ai1

ai

2a1na11

a12根據(jù)性質(zhì)2的推論，=0.rj

?

k推論2

行列式中如果有兩行（列）對應元素成比例,則此行列式為零．性質(zhì)4若行列式的第i行（列）的每一個元素都可以表示為兩數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個行列式之和，即：=a1na2nannani

ann

an1

a1n

a2na1ia2ia11

a12a21

a22

an1

an2a11a21an1a11

ann

a2n

.

a1n

(a1i

+

a1i

)

(a2i

+

a2￠i

)

(ani

+

an￠i

)

a￠nia1ia2￠ia21+(1):(2):=a1nain

+

ai￠nanna11

a12

ai1

+

ai￠1

ai

2

+

ai￠2

an1

an2a11a12a1na11a12a1nai1ai

2ain+

ai￠1ai￠2ai￠n

.an1an2annan1an2ann性質(zhì)5

把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的對應元上，行列式的值不變，即：

a2

ja1

ja1ia2iania11a21an1jia2n

;aa1na2nanna1nannanja1

ja2

janja1121an1

(a1i

+ka1

j

)

(a2i

+ka2

j

)

(ani

+kanj

)

c

+kck

·

ji(1)

:

c

+

k

·cannaina

jnan1

an2a

j1

a

j

2

ai1

ai

2a1na11

a12

×k+ri

+krja1na12a11ai1

+

ka

j1

ai

2

+

ka

j

2

ain

+

ka

jn

a

j1

a

j

2

a

jn

an1

an2

ann(2)

:

ri

+

k

·

rj說明：使用行列式性質(zhì)時，為了使過程清晰醒目，約定如下記號：ri

?

rj

(ci

?

c

j

)kri

(kci

)ri

+

krj

(ci

+

kcj

)例１1-

12-

31-

33-

79-

5計算D

=204-

213-

57-

1464-

410-

102計算行列式的基本方法:ri

+

krj

.二、行列式性質(zhì)應用舉例三角化.計算行列式的主要手段:·

3ˉ解r2

+

3r11-

12-

31-

33-

79-

5例１計算D

=204-

213-

57-

1464-

410-

1021

-

1

2

-

3

1D0

0

-

1

0

-

22

0

4

-

2

13

-

5

7

-

14

64

-

4

10

-

10

2·

-

2)ˉ·

-

2)ˉ3)ˉr3

-

2r1解r2

+

3r1D1-

12-

3100-

10-

2204-

213-

57-

1464-

410-

1021-12-

31·

-00-10-

20204-13-

57-1464-

410-102

4

1r

-

3r·

-

4)3)ˉr3

-

2r11-12-

31·

-00-10-

20204-13-

57-1464-

410-1021-12-

3100-10-

20204-1ˉ0-

21-

534-

410-102

4

1r

-

3r·

-

4)1-12-

3100-10-

20204-1ˉ0

-

2

1

-

5

34

-

4

10

-10

2r5

-

4r11-12-

3100-10-

20204-10-

21-

530022-

2r

?

r1-12-310-21-530204-100-10-20022-2

2 4

-ˉr5

-

4r11-12-

3100-10-

20204-10-

21-

530022-

20

0

-1

0

-20

0

2

2

-21

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3

3

2

-r

+

rˉr

?

r1-12-310-21-530204-100-10-20022-2

2 4

-ˉ0

01

-12r4+

r3·

-

2)ˉ0

0

-1

0

-20

0

2

2

-21

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3

3

2

-r

+

rˉ0

01

-121

-1

2

-3

10

-2

1

-5

30

0

1

-1

2-0

0

0

-1

00

0

2

2

-2r5

-

2r3·4ˉr4+

r3·

-

2)ˉ0

-2

1

-5

30

0

1

-1

21

-1

2

-3

1-0

0

0

-1

00

0

2

2

-201

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3-

0

0

1

-1

20

0

0

-1

00

0 4

-6

5 4

-r

+

4r=

-

-

2)-1)-

6)

=

12.1

-1

2

-3

10

-2

1

-5

3-

0

0

1

-1

2r5

-

2r3·4ˉ00

0

0

-1

00

0 4

-61-12-

310-

21-

53001-12000-100000-

6a

+

n

-

1

)bbb

ba

+

(n

-

1

)bab

ba

+

(n

-

1

)bba

b

a

+

(n

-

1

)bbb

aD

=abb

bbab

b例2

計算

n

階行列式

D

=

bba

b

bbb

a解

將第2,3,,

n

列都加到第一列得

1

b

b

a1

b

b

b1

a

b

b=

[a

+

(n

-

1)b]

1

b

a

b1

01

01

a

-

b======

[a

+

(n

-

1

)b]1

0

a

-

bc

j

-

bc1

0

a

-

b0

0j

=

2,,n

=[a+(n-1)b](a-b)n-1.例3,0a1ka11b1nbnnc11cn1akkc1k

b11

cnk

bn1設D

=ak1akka1ka11D1

=

ak1bnnb1n

,b11

,

D2

=

bn1D

=

D1

D2

.證明問題：是不是所有的行列式都可以化為三角行列式？證明pkk0p11設為

D1

=

pk1對D1

作運算ri

+krj

,把D1

化為下三角形行列式對D2

作運算ri

+krj

,把D2

化為下三角形行列式qnn0q11設為

D2

=

qn1=

p11

pkk

;=

q11

qnn

.,0qnnpkkd1k

q11

dnk

qn1d11dn1p11

D

=

pk1對

D

的前

k

行作運算

ri

+

krj，再對后

n

列作運算

ci

+

kc

j

,把

D

化為下三角形行列式q11

qnn故

D

=

p11

pkk=

D1

D2

..960001/

20000ab-

227cd031ef04-

1例4

計算D5

=解:9

6D5

=

1/

2

00

3

10

4

-

1-

2

2

7=

-33

14

-

1-

2=

(-3) (-2) (-7)

=

-42.◆行列式的5個性質(zhì)3個推論注意:

行列式中行與列具有同等的地位,

行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.◆計算行列式常用方法：利用定義;利用性質(zhì).三、小結(jié)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2

任意互換行列式的兩行（列），行列式變號。

推論如果行列式有兩行（列）完全相同，行列式為0。性質(zhì)3行列式某行（列）的公因子可以提到行列式符號的外面。推論用數(shù)k乘以行列式D等于D中某一行（列）所有元素同乘以數(shù)k。推論若行列式的任意兩行（列）對應元成比例，則行列式為0。性質(zhì)4

若行列式的第i行（列）的每一個元都可表示為兩數(shù)之和，則該行列式可表示為兩個行列式之和。性質(zhì)5把行列式的第j行（列）元的k倍加到第i行（列）的對應元上，行列式的值不變。-

a11a23a32

-

a12a21a33

-

a13a22a31,=

a11a22a33

+

a12a23a31

+

a13a21a3232

333122

2321a11

a12

a13例如

a

a

aa

a

aa22a33

-

a23a32=

a11a23a31

-

a21a33

)+

a12a21a32

-

a22a31

)+

a1332

33a11

aa22

a23=

a第四節(jié)

行列式按行（列）展開一、余子式與代數(shù)余子式=

a11

A11

+

a12

A12

+

a13

A13

.3331a12

aa21

a23-

a3231a13

aa21

a22+

a階行列式叫做元素

a

ij

的余子式，記作

M

.ij(

)ijijM

，i

+

j記

A

=

-

1叫做元素的代數(shù)余子式．ija例如24232221a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a

a

a

aa11

a12

a13

a14D

=41

42

44a

a

aa11

a12

a14M

23

=

a31

a32

a342323A=

(-

1)2+3

M23=

-M

.定義5：在n

階行列式中，把元素a

ij

所在的第

i

行和第

j列劃去后，留下來的元按原來的次序構(gòu)成n

-1代數(shù)余子式的乘積，即D

=

aij

A．ij引理

一個

n

階行列式，如果其中第

i

行所有元素除

aij外都為零，那末這行列式等于aij

與它的a11

a12

a13

a14a

a

a

aD

=

21

22

23

240

0

a33

0a41

a42

a43

a44=

a33

A33例如a11

a12

a14=

(-

1)3+3

a

a

a

a

.33

21

22

24a41

a42

a44二、行列式按行(列)展開證當

aij

位于第一行第一列時,

ann

an1

an22n2221a110

0a

a

aD

=即有D

=

a11

M11

.又111111A

=

(-

1)1+1

M

=

M

,從而D

=

a11

A11

.對于一般情形,njnnjnnjnaa

aj1

j2

jn2

nj1

j2

jn2

j211a11a2

j

a21

j1

2

j2=

a(-1)==(-1)t(

j2

jn

)aj1

j2

jnt(1

j

j

)(-1)t(j1

j2

jn

)a把D的第i行依次與第i

-1行,第i

-2行,第1行對調(diào),

D

=a11

a1

j

a1n

0

aaiijj

0

an1

anj

ann0aaiijj0得D

=

(-

1)i

-1

ai

-1,1ai

-1,

jai

-1,nan1anjann對于一般情形,設再把D的第j列依次與第j

-1列,第j

-2列,第1列對調(diào),

得

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

anj

an,

j-1

ann(-

1)j-1

ai

-1,

jD

=

(-

1)i

-1aaiijj0aaiijj0得D

=

(-

1)i

-1

ai

-1,1ai

-1,

jai

-1,nan1anjannanj

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

an,

j-1

ann=

(-

1)i

+

j-2

ai

-1,

jaaiijjanj

0

0

ai

-1,

j-1

ai

-1,n

an,

j-1

ann(-

1)j-1

ai

-1,

jD

=

(-

1)i

-1aaiijjaaiijj00=

(-

1)i

+

j-2

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1annaaiijj00=

(-

1)i

+

j

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1annaaiijj00=

(-

1)i

+

j

ai

-1,

jai

-1,

j-1ai

-1,nanjan,

j-1ann=

(-

1)i

+

jaij

Mij=

aij

Aij

.定理３n階行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，即n(i

=

1,2,,

n),證anna1na11

a12

D

=

ai1

+

0

++

0 0

+

ai

2

++

0

0

++

0

+

ain

an1

an2

D

=

aij

Aij

=

ai1

Ai1

+

ai

2

Ai

2

+

+

ain

Ainj

=1n(

j

=

1,2,,

n).D

=

aij

Aij

=

a1

j

A1

j

+

a2

j

A2

j

+

+

anj

Anji

=1an1

an2a11

a12=

ai1ann

ann

an1

an2ai

2a1na1n

a11

a12

0

0

+

0

0

nnainn2n1a1na11

a12

++

0

0

a

a

a=

ai1

Ai1

+

ai

2

Ai

2

+

+

ain

Ain

.i

=

1,2,,

n)說明：計算行列式時，直接利用定理3展開行列式，通常并不能減少計算量，除非某一行（列）含有較多的零元，因此計算行列式時，應先運用行列式性質(zhì)，將某一行（列）盡可能多得化為零，然后使用行列式的展開。例1-

5

1

32

0

1

-

11

-

5

3

-

33

1

-

1

2D

=-

5

-

5

3

05

1

-

1

1-

11

1

3

-

10

0

1

0-

4

c1

+

-

2)c34

3c

+

c511-

11

1

-

1-

5-

50=

(-1)3+35

1

12

0-

5

-

5

02-

5

-

5=

(-1)1+3

-

6=

40.

2

1

-

6r

+

r定理4

n階行列式任一行（列）的各元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即jnj

1naaa

nna

n

1a

1

na

in

,a

11a

i

1+

+

a

jn

A

jn

=

=

a

j

1

A

j

1D

=

a

jk

A

jkk

=

1i

?

j;i

?

j.ai1

Aj1

+

ai

2

Aj

2

+

+

ain

Ajn

=

0,a1iA1

j

+

a2i

A2

j

+

+

ani

Anj

=

0,證

當

i

?

j

時,

把行列式

D

=

det(aij

)

按第

j

行展開,有ia

nna

aa

n

1a

1

na

11a

n

1

a

nna

1

na

11

a

+a

+

aj====a

i

1

a

in

r

+

r

a

i

1

a

in

j

1

jn i

1

j

1

ina

jnnk

=1=

(aik

+

a

jk

)Ajkn

nn=

aik

Ajk

+

ajk

Ajkk

=1

k

=1k

=1按j

行展開：=

(aik

+

a

jk

)Ajkn所以：aik

Ajk

=

0k

=1另一條同理可證。證畢！★關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì):nn

aik

Ajk

=

Ddijk

=1ij0,當i

?j.d

=1,當i

=j，

aki

Akj

=

Ddij

,k

=1證

用數(shù)學歸納法1

1x1

x2

D2

==

x2

-

x1=

(

xi

-

x

j

),2?i

>

j?1\

當n

=2

時（1）式成立．例2證明范德蒙德(Vandermonde)行列式=1

2n?i

>

j?1i

jnn(

x

-

x

).xn-1xn-1

xn-1x

2x

2x

2D

=n211

1

1x1

x2

xn(1)1n

n-

x

)xn-2

(

xxn-2

(

x

-

x

)2

2

1xn-2

(

x

-

x

)

3

3

1