高中數(shù)學(xué)必修一第一章知識點總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修第一章知識點總結(jié)第一章 集合與函數(shù)概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含義與表示集合的概念集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.常用數(shù)集及其記法N

表示自然數(shù)集，

N

或

N

表示正整數(shù)集，

Z

表示整數(shù)集，

Q

表示有理數(shù)集，

R

表示實數(shù)集.集合與元素間的關(guān)系對象

a

與集合

M

的關(guān)系是

a

M

，或者

a

M

，兩者必居其一.集合的表示法①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{

x

|

x

具有的性質(zhì)}，其中

x

為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.集合的分類①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(

).【1.1.2】集合間的基本關(guān)系子集、真子集、集合相等名稱記號意義性質(zhì)示意圖子集A

B（或B

A)A

中的任一元素都屬于B(1)A

A(2)

A若

A

B

且

B

C

，則

A

C若

A

B

且

B

A

，則

A

BA(B) B或AA

BA

B

，

且

B

中至少有一元素不屬于A（1）

A

（A

為非空子集）真子集（或

B

A）(2)若

A

B

且

B

C

，則

A

C

B A集合相等A

BA

中的任一元素都屬于B，B

中的任一元素都屬于AA

BB

AA(B)1（7）已知集合

A

有

n(n

1)

個元素，則它有

2n

個子集，它有

2n

1個真子集，它有

2n

1個非空子集，它有

2n

2

非空真子集.（8）交集、并集、補(bǔ)集【1.1.3】集合的基本運算名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集A

B{x

|

x

A,

且x

B}（1）

A

A

A（2）

A

（3）

A

B

AA

B

B并集A

B{x

|

x

A,

或x

B}（1）

A

A

A（2）

A

A（3）

A

B

AA

B

B補(bǔ)集eU

A{x

|

x

U

,且x

A}1

A

(eU

A)

2A

(eU

A)

U痧U

(

A

B)

(

U

A)

(

U

B)痧U

(

A

B)

(

U

A)

(

U

B)A【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法（1）含絕對值的不等式的解法不等式解集|x|

a(a

0){x|a

x

a}|x|

a(a

0)x

|

x

a

或

x

a}|

ax

b

|

c,|

ax

b

|

c(c

0)把

ax

b

看

成

一

個

整

體

，

化

成

|

x

|

a

，|

x

|

a(a

0)

型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法判別式

b2

4ac

0

0

0二次函數(shù)y

ax2

bx

c(a

0)的圖象OO L

=O一元二次方程ax2

bx

c

0(a

0)的根b

b2

4acx1,2

2a（其中

x1

x2

)x

x

b1 2 2a無實根ax2

bx

c

0(a

0){x|x

x1或

x

x2}{x|x

b

}2aR2的解集ax2

bx

c

0(a

0)的解集{x|x1

x

x2}〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念函數(shù)的概念①設(shè)

A

、B

是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則

f

，對于集合

A

中任何一個數(shù)

x

，在集合

B中都有唯一確定的數(shù)

f

(x)

和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

A

，B

以及

A

到

B

的對應(yīng)法則

f

）叫做集合

A

到

B

的一個函數(shù)，記作

f

:

A

B

．②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．區(qū)間的概念及表示法①設(shè)

a,

b

是兩個實數(shù)，且

a

b

，滿足

a

x

b

的實數(shù)

x

的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,

b]；滿足a

x

b

的實數(shù)

x

的集合叫做開區(qū)間，記做(a,

b)

；滿足

a

x

b

，或

a

x

b

的實數(shù)

x

的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做[a,

b)

，

(a,

b]

；滿足

x

a,

x

a,

x

b,

x

b

的實數(shù)

x

的集合分別記做[a,

),(a,

),(,

b],

(,

b)

．注意：對于集合{x

|

a

x

b}

與區(qū)間(a,

b)

，前者

a

可以大于或等于b

，而后者必須a

b

．求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①

f

(x)

是整式時，定義域是全體實數(shù)．②

f

(x)

是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù)．③

f

(x)

是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實數(shù)的集合．④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于

1．3⑤

y

tan

x

中，

x

k

(k

Z

)

．2⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若

f

(x)

是由有限個基本初等函數(shù)的四則運算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集．⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知

f

(x)

的定義域為[a,

b]

，其復(fù)合函數(shù)

f

[g

(x)]的定義域應(yīng)由不等式

a

g(x)

b

解出．4⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實際意義．求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最?。ù螅?shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最?。ù螅┲担虼饲蠛瘮?shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)

y

f

(x)

可以化成一個系數(shù)含有

y

的關(guān)于

x

的二次方程a(

y)x2

b(

y)x

c(

y)

0

，則在

a(

y)

0

時，由于

x,

y

為實數(shù)，故必須有

b2

(

y)

4a(

y)

c(

y)

0

，從而確定函數(shù)的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．【1.2.2】函數(shù)的表示法函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．映射的概念①設(shè)

A

、B

是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則

f

，對于集合

A

中任何一個元素，在集合

B

中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合

A

，B

以及

A

到

B

的對應(yīng)法則

f

）叫做集合

A

到B

的映射，記作

f

:

A

B

．②給定一個集合

A

到集合

B

的映射，且

a

A,

b

B

．如果元素

a

和元素b

對應(yīng)，那么我們把元素b

叫做元素

a

的象，元素

a

叫做元素b

的原象．xo〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大（?。┲担?）函數(shù)的單調(diào)性①定義及判定方法函數(shù)的性

質(zhì)定義圖象判定方法如果對于屬于定義域

I

內(nèi)某y

y=f(X)f(x2)f(x1)o x

1 x

2x利用定義利用已知函數(shù)的單調(diào)性利用函數(shù)圖象（在某個區(qū)間圖象上升為增）利用復(fù)合函數(shù)個區(qū)間上的任意兩個自變量的值

x1

、x2,當(dāng)

x．1．<．x．2．時，都有

f．(．x．1．)．<．f．(．x．2．)．，

那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增．函．?dāng)?shù)．．函數(shù)的單調(diào)性y y=f(X)f(x

1)f(x2

)o x

1 x

2x（1）利用定義如果對于屬于定義域

I

內(nèi)某（2）利用已知函數(shù)的個區(qū)間上的任意兩個自變量單調(diào)性的值

x1、x2，當(dāng)

x．1．<．x．2．時，都（3）利用函數(shù)圖象（在有

f．(．x．1．)．>．f．(．x．2．)．，

那么就說某個區(qū)間圖f(x)在這個區(qū)間上是減．函．?dāng)?shù)．．象下降為減）（4）利用復(fù)合函數(shù)②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函數(shù)為減函數(shù)．③

對于復(fù)合函數(shù)

y

f

[g(x)]

，

令

u

g

(x)

，

若

y

f

(u)

為增，

u

g

(x)

為增，

則y

f

[g(x)]

為增；若

y

f

(u)

為減，

u

g

(x)

為減，則

y

f

[g(x)]

為增；若

y

f

(u)

為增，

u

g

(x)

為減，

則

y

f

[g(x)]

為減；

若

y

f

(u)

為減，

u

g

(x)

為增，

則yy

f

[g(x)]

為減．a(chǎn)（2）打“√”函數(shù)

f

(x)

x

(a

0)

的圖象與性質(zhì)xf

(x)

分別在(,

a

]、[

a

,

)

上為增函數(shù)，分別在[

a

,

0)

、(0,

a

]

上為減函數(shù)．（3）最大（?。┲刀x①一般地，設(shè)函數(shù)

y

f

(x)

的定義域為

I

，如果存在實數(shù)

M

滿足：（1）對于任意的

x

I

，都有

f

(x)

M

；5（2）存在

x0

I

，使得

f

(x0

)

M

．那么，我們稱

M

是函數(shù)

f

(x)的最大值，記作fmax(x)

M

．②一般地，設(shè)函數(shù)

y

f

(x)

的定義域為

I

，如果存在實數(shù)

m

滿足：（1）對于任意的

x

I

，都有f

(x)

m

；（2）存在

x0

I

，使得

f

(x0

)

m

．那么，我們稱

m

是函數(shù)

f

(x)

的最小值，記作fmax(x)

m

．【1.3.2】奇偶性（4）函數(shù)的奇偶性①定義及判定方法函數(shù)的性

質(zhì)定義圖象判定方法如果對于函數(shù)

f(x)定義域內(nèi)（1）利用定義（要先任意一個

x，都有

．f．(－．x．．)=．－．f．(．x．)．,那么函數(shù)

f(x)叫做奇．函．判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）數(shù)．．（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點對稱）函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)

f(x)定義域內(nèi)（1）利用定義（要先任意一個x，都有．f．(－．x．．)=．f．(．x．)．,那么函數(shù)

f(x)叫做偶．函．?dāng)?shù)．．判斷定義域是否關(guān)于原點對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于

y

軸對稱）②若函數(shù)

f

(x)

為奇函數(shù)，且在

x

0

處有定義，則

f

(0)

0

．③奇函數(shù)在

y

軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在

y

軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．〖補(bǔ)充知識〗函數(shù)的圖象（1）作圖利用描點法作圖：6②化解函數(shù)解析式；④畫出函數(shù)的圖象．①確定函數(shù)的定義域；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換y

f

(x)

h0,左移h個單位

y

f

(x

h)h0,右移|h|個單