《向量的線性運算》示范公開課教學設計

《向量的線性運算》教學設計教學目標教學目標（1）掌握向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算，提升學生的直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng)．（2）了解向量線性運算的性質及其幾何意義，借助向量線性運算及其應用，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．教學重難點教學重難點教學重點：掌握向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算．教學難點：向量線性運算的性質及其幾何意義．課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、整體概覽問題1：閱讀課本第147－150頁，回答下列問題：（1）本節(jié)將要研究哪類問題？（2）本節(jié)要研究的對象在高中的地位是怎樣的？師生活動：學生帶著問題閱讀課本，老師指導學生概括總結章引言的內容．預設的答案：（1）本節(jié)主要研究向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算及向量的線性運算．（2）本小節(jié)教材設置了兩個內容，先給出了向量加法與數(shù)乘向量的混合運算，然后給出了向量加法、減法與數(shù)乘向量的混合運算．之所以安排第一個內容，一方面是為了使知識學習簡單、直觀，從而有利于問題的研究解決，另一方面也是因為向量的減法可以轉化為向量的加法理清楚本節(jié)和上節(jié)的關系，為后面后續(xù)學習打好基礎，做好鋪墊．設計意圖：通過章引言內容的預習，讓學生明晰下一階段的學習目標，初步搭建學習內容的框架．二、探索新知1、形成定義問題2：之前我們學習了向量的數(shù)乘運算及加減法運算，其結果都是向量，那么是否可以進行混合運算，如果可以的話，其結果如何呢？又是遵循什么運算法則呢？試舉例說明？師生活動：學生回顧之前學習的向量加減法運算及數(shù)乘運算，回答問題，并舉例．預設的答案：向量的加法運算、數(shù)乘向量運算，它們的結果都是向量，這就是說，這兩者可以進行混合運算．例如，對于任意向量，式子是有意義的．一個含有向量加法、數(shù)乘向量運算的式子，總是規(guī)定要先算數(shù)乘向量，再算向量加法．因此，可以簡寫成．另外，不難看出．設計意圖：通過學生自己挖掘數(shù)乘運算及加法運算的混合運算，發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律，提高學習興趣，引出混合運算法則．引語：而本節(jié)要講的內容即為向量的線性運算．（板書：向量的線性運算）教師講解：一般地，對于實數(shù)λ與，以及向量，有．問題3：與是否相等？如何理解兩者之間的這種關系？師生活動：學生自己做出向量，并進行運算，得出結論，教師總結發(fā)言．預設的答案：注意到，所以，因此，，從而有即．設計意圖：通過學生自己挖掘數(shù)乘運算及加法運算的混合運算，發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律，提高學習興趣，引出混合運算法則．教師講解：一般地，對于任意實數(shù)，以及向量與，有．三、初步應用例1化簡：師生活動：學生通過學習上述運算法則，自己嘗試解答問題．預設的答案：原式=．設計意圖：通過實際例子加強對公式的理解和鞏固．問題4：嘗試解決如下運算：、？師生活動：學生自己做出向量，并進行運算，得出結論．預設的答案：設計意圖：通過學生自己挖掘數(shù)乘運算及加減法運算的混合運算，發(fā)現(xiàn)運算規(guī)律，提高學習興趣，引出混合運算法則．教師講解：向量的減法也能與向量的加法、數(shù)乘向量進行混合運算．向量的加法、減法、數(shù)乘向量以及它們的混合運算，統(tǒng)稱為向量的線性運算，總規(guī)定要先計算數(shù)乘向量，再按從左往右的順序進行計算，若有括號，要先算括號內各項．由于向量的加法滿足交換律與結合律，減去個向量可以看成加上這個向量的相反向量．事實上，當一個向量的線性運算中含有括號時，我們可以用類似多項式運算中拆括號的方式來去掉其中的括號．初步應用例2：化簡下列各式：師生活動：學生根據(jù)學習的公式自己進行運算．預設的答案：（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=原式==設計意圖：與向量有關的運算化簡，教師可帶領學生分別作圖作出各向量，驗證所得結果是否相等．培養(yǎng)學生利用幾何求解相關向量的問題，進一步滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想．例3如圖6－1－23所示，已知求證：．師生活動：先讓學生利用初中的平面幾何知識進行解決（要用到相似三角形的知識，學生對此應該是比較熟悉的），然后再呈現(xiàn)教材中的向量證明方法，最后再讓學生把兩種方法進行對比，讓學生發(fā)現(xiàn)利用向量解決問題的優(yōu)勢．預設的答案：由已知得設計意圖：引導學生注意到向量表達式所蘊含的內容有時更豐富一些，比如中，既體現(xiàn)了線段AD和AB的位置關系，又體現(xiàn)了它們的長度之間的關系實際教學時，即要求學生證明初中學過的中位線定理，然后再與初中的證明方法進行類比．例4已知M為線段AB的中點，且O為任意一點，求證：師生活動：學生自行解答，由老師指定學生回答．預設的答案：由M為線段AB的中點可知因此從而有，即設計意圖：利用向量的混合運算進行命題的證明．例5已知，求證：M為線段AB的中點．師生活動：學生自行解答，由老師指定學生回答．預設的答案：由可知，因此，從而有，即M為線段AB的中點．設計意圖：引導學生運用例4的方法解決問題，最后得到M為線段中點的充要條件，這樣的處理也能培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)．這一充要條件是高中階段平面向量中最重要的內容之一，教師一定要讓學生高度重視．教師講解：重要結論：M為線段AB的中點的充要條件是．例6已知A，B，C是三個不同的點，，求證：A，B，C三點共線．師生活動：學生自行解答，由老師指定學生回答．預設的答案：因為所以因此A，B，C三點共線．設計意圖：引導學生運用本節(jié)知識證明三點共線的方法，但是注意選擇的向量不同，給出來的答案可能會不同．鞏固練習1、（1）化簡：（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）＝________．（2）已知向量a，b，x，且（x－a）－（b－x）＝x－（a＋b），則x＝________．師生活動：（1）可類比實數(shù)運算中的合并同類項方法化簡；（2）可類比解方程方法求解．預設的答案：（1）－a＋5b－2c（2）0[（1）（2a＋3b－c）－（3a－2b＋c）＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－2c．（2）因為（x－a）－（b－x）＝x－（a＋b），所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0．]設計意圖：通過鞏固訓練的設置，加深概念的理解和應用．四、歸納小結，布置作業(yè)問題5：（1）向量的加法與數(shù)乘向量的混合運算是什么？（2）什么是向量的線性運算？師生活動：學生嘗試總結，老師適當補充．預設的答案：（1）一般地，對于實數(shù)λ與，以及向量，有．（2）向量的減法也能與