變形及剛度計算

變形及剛度計算第一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日§8—1軸向拉伸桿的變形§8—2圓軸扭轉時的變形和剛度計算§8—3梁的變形及剛度計算§8—4簡單超靜定問題目錄第二章軸向拉伸和壓縮第二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日§8-1軸向拉壓桿的變形§8-1軸向拉壓桿的變形FF一、軸向拉壓的變形分析FF軸向拉伸：縱向伸長、橫向縮短縱向伸長量：橫向縮短量：軸向壓縮：縱向縮短、橫向伸長縱向縮短量：橫向伸長量：注：絕對變形量不足以描述變形的程度，尤其對于長度不一的桿件，因此引入應變的概念。第三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日FFFF1、縱（軸）向變形量：2、橫向變形量：二、線應變軸向線應變：線應變：將絕對伸長量除以桿件的初始尺寸，即得單位伸長，稱之為線應變。橫向線應變：3、線應變的符號約定：與變形量的正負號一致，即拉應變?yōu)檎瑝簯優(yōu)樨?。?-1軸向拉壓桿的變形第四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日

上式表明，在線彈性范圍內軸向拉、壓桿件的伸長或縮短量

l，與軸力

FN和桿長

l成正比,與EA成反比。EA——抗拉（壓）剛度§8-1軸向拉壓桿的變形由胡克定律且軸向線應變：第五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日E——彈性模量EA——抗拉（壓）剛度l表示長為

l的桿件在軸力

FN的作用下的伸長量或縮短量條件：桿件在

l長范圍內EA和FN均為常數(shù)。當EA和FN在桿長范圍內分段為常數(shù)時–++FN圖當EA和FN在桿長范圍內為位置的函數(shù)時§8-1軸向拉壓桿的變形第六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日三、泊松比

當桿件受拉伸沿縱向伸長時，橫向則縮短；當桿件受壓縮沿縱向縮短時，橫向則伸長。FFbh橫向線應變：縱向線應變：實驗表明，對于同一種線彈性材料，存在如下關系：——稱為泊松比，量綱為一——負號表示縱向與橫向變形的方向總是相反§8-1軸向拉壓桿的變形第七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖分析：多力作用下，整個桿長范圍內軸力分段為常數(shù)，只能分段求變形，再求和。

又因為BD段內雖然軸力為常數(shù)，但截面面積又分兩段，所以要分4段求變形。FN圖§8-1軸向拉壓桿的變形第八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖FN圖§8-1軸向拉壓桿的變形第九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日40KN20KN10KN–+–50kN20kN30kNABCDE1m2m3m1m解：用直接法畫軸力圖FN圖即桿被壓短了1.572mm§8-1軸向拉壓桿的變形第十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日解：把自重簡化為沿著軸線均勻分布的線荷載，集度q＝γA任意取一個截面1－1，畫受力圖。軸力在1－1截面處取出一微段dy作為研究對象，受力如圖。由于取的是微段，dFN(y)可以忽略，認為在微段dy上軸力均勻分布（常數(shù)）§8-1軸向拉壓桿的變形第十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日§8-1軸向拉壓桿的變形第十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日結論：等直桿由自重引起的變形量等于把自重當作集中力作用在桿端所引起的變形量的一半。G令取一根相同的桿件，把它的自重作為一個集中力作用在自由端，此時桿件的伸長量為§8-1軸向拉壓桿的變形第十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日§8—2圓桿扭轉時的變形和剛度計算一、扭轉變形——扭轉角——抗扭剛度扭率：單位長度扭轉角（扭率）描述了扭轉變形的劇烈程度扭轉角：單位：rad第十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日一、扭轉變形——扭轉角扭轉角：當在桿長l內扭率為常數(shù)時單位：rad當在桿長l內扭率分段為常數(shù)時，用求和公式§8—2圓桿扭轉時的變形和剛度計算第十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日二、剛度條件以度每米為單位時以弧度每米為單位時許用單位長度扭轉角三、剛度條件的應用（1）校核剛度（2）設計截面（3）確定荷載§8—2圓桿扭轉時的變形和剛度計算第十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：圓軸如圖所示。已知d1=75mm，d2=110mm。材料的許用切應力[]=40MPa，軸的許用單位扭轉角

[]=0.8°/m，剪切彈性模量G=80GPa。試校核該軸的扭轉強度和剛度。d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m第十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日d2d1ABC8KN.m5KN.m3KN.m+8KN.m3KN.m解：強度校核MT圖12滿足強度條件分析：雖然MTAB<MTBC，但BC段的截面面積也大于AB段的截面面積，所以要分段分別校核。[]=40MPa第十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日+8KN.m3KN.m剛度校核MT圖滿足剛度條件[]=40MPa，[]=0.8°/m，G=80GPa第十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例：實心圓軸受扭，若將軸的直徑減小一半時，橫截面的最大切應力是原來的

倍？圓軸的扭轉角是原來的

倍？816第二十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例：一空心圓軸，內外徑之比為α=0.5，兩端受扭轉力偶矩作用，最大許可扭矩為Ｔ，若將軸的橫截面面積增加一倍，內外徑之比仍保持不變，則其最大許可扭矩為Ｔ的多少倍？（按強度計算）。解：設空心圓軸的內、外徑原分別為d、D，面積增大一倍后內外徑分別變?yōu)閐1、

D1，最大許可扭矩為Ｔ1第二十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日一、基本概念（撓度、轉角、撓曲線）取梁的左端點為坐標原點，梁變形前的軸線為x軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y軸，xy平面為縱向對稱平面§8—3梁的變形及剛度計算BxyA第二十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日yABx1、撓度（

y）:橫截面形心C(即軸線上的點)在垂直于x軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。y撓度度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量C'C一、基本概念（撓度、轉角、撓曲線）撓度方程：一般各橫截面的撓度是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為撓度方程，記做y=y（x）第二十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日yABx2、轉角（）：橫截面對其原來位置的角位移（橫截面繞中性軸轉動的角度）,稱為該截面的轉角。轉角y撓度C'C度量梁變形后橫截面位移的兩個基本量一、基本概念（撓度、轉角、撓曲線）轉角方程：一般各橫截面的轉角是不相同的，是位置x的函數(shù)，稱為轉角方程，記做=

（x）第二十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日3、撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程為式中，x為梁變形前軸線上任一點的橫坐標，y為該點的撓度。yABx轉角y撓度C'C撓曲線一、基本概念（撓度、轉角、撓曲線）——撓度方程第二十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日yABx轉角y撓度C'C撓曲線4、撓度和轉角的關系即該式表明，某截面的轉角等于撓曲線在該截面處的一階導數(shù)第二十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日撓度：向下為正，向上為負。轉角：自x轉至切線方向，順時針轉為正，逆時針轉為負。yABx轉角y撓度C'C撓曲線5、撓度和轉角的符號約定第二十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日剪力彎曲時,M和都是x的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則推導公式純彎曲時曲率與彎矩的關系為二、撓曲線的近似微分方程由幾何關系知,平面曲線的曲率可寫作由以上兩式，得第二十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日MMoxyMMM>0M<0在規(guī)定的坐標系中,x軸水平向右為正,

y軸豎直向下為正；而彎矩是下側受拉為正。曲線向上凸時：y''>0,M<0曲線向下凸時：

y''<0,M>0因此,

M

與

y''的正負號相反oxy推導公式二、撓曲線的近似微分方程第二十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日此式稱為梁的撓曲線近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了

y'2

項。與1相比十分微小而可以忽略不計,故上式可近似為推導公式二、撓曲線的近似微分方程第三十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日三、用積分法求梁的變形梁的撓曲線近似微分方程（一）、公式推導再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉角方程式中C、D稱為積分常數(shù)，可通過梁撓曲線的位移邊界條件和變形連續(xù)光滑條件來確定。第三十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日ABAB在簡支梁中，左右兩鉸支座處的撓度yA和yB都應等于零（邊界）；C左、C右截面的饒度、轉角相等（變形連續(xù)光滑）。在懸臂梁中，固定端處的撓度yA和轉角A都應等于零。（二）、位移邊界條件和變形連續(xù)條件位移邊界條件：yA＝0，yB＝0位移邊界條件：yA＝0，A＝0注意：位移邊界條件在支座處變形連續(xù)條件中間在分段點變形連續(xù)條件：CyC1＝y(tǒng)C2

，C1＝C2三、用積分法求梁的變形第三十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日注意

當梁上的外力將梁分為數(shù)段時，由于各段梁的彎矩方程不同，因而梁的撓曲線近似微分方程需分段列出。相應地各段梁的轉角方程和撓曲線方程也隨之而異。ABFDab三、用積分法求梁的變形第三十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日1、正確分段，分別列彎矩方程；2、分段列近似微分方程，一次積分得轉角方程，再此積分得撓度方程；3、由位移邊界條件和變形連續(xù)條件求得積分常數(shù)。步驟注意：1、位移邊界條件在支座處，變形連續(xù)條件在中間分段點處；2、分n段，就要列n個彎矩方程，就有n個轉角方程和n個撓度方程，因此就有2n個積分常數(shù)，就必須列出2n個補充方程（邊界條件和變形連續(xù)條件）三、用積分法求梁的變形第三十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日CDAFB例題：用積分法求位移時，圖示梁應分幾段來列撓曲線的近似微分方程？試分別列出確定積分常數(shù)時需用的邊界條件和變形連續(xù)條件。3m3m2mq解：分AC、CB、BD三段1位移邊界條件：變形連續(xù)條件：yA＝0yC1＝y(tǒng)C2

，C1＝C223應該列6個補充方程yB2＝y(tǒng)B3

，B2＝B3A截面：x1=0時，C截面：x1=x2=3m時，B截面：x2=x3=6m時，B截面：x2=x3=6m時，yB＝0x第三十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：圖示一抗彎剛度為EI

的懸臂梁,在自由端受一集中力P

作用。試求梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度ymax

和最大轉角max。yABxP第三十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日彎矩方程為解：撓曲線的近似微分方程為xyABxP對撓曲線近似微分方程進行積分第三十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日邊界條件為：C1=0C2=0將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得xyABxP第三十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日C1=0C2=0梁的轉角方程和撓度方程分別為xyABxP第三十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日max及ymax都發(fā)生在自由端截面處（）yABxP（）ymax第四十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程,并確定其最大撓度ymax和最大轉角max。ABq第四十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日ABq解:由對稱性可知，梁的兩個支反力為FRAFRB彎矩方程為撓曲線的近似微分方程為xx第四十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日ABqFRAFRB撓曲線的近似微分方程為對撓曲線近似微分方程進行積分x(c)(d)x第四十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日ABqFRAFRBx邊界條件為：x

梁的轉角方程和撓度方程分別為第四十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日

xABq在x=0

和x=l處轉角的絕對值相等且都是最大值，AFRAFRB

梁的轉角方程和撓度方程分別為第四十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日由對稱，在梁跨中點l/2

處有最大撓度值

xABqA

梁的轉角方程和撓度方程分別為FRAFRB第四十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點處受一集中力P的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉角方程，并求D截面的撓度和A、B截面的轉角ABPDab第四十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日解：梁的兩個支反力為ABPDabFRAFRB12xx1、分兩段分別列彎矩方程第四十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日2、兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉角方程撓度方程(0xa)(ax)可見，梁分兩段，就有4個積分常數(shù)第四十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日D點的連續(xù)條件：在x1＝x2=a處邊界條件在處，在X=0

處，ABPDab12FRAFRB3、邊界條件和變形連續(xù)條件第五十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日代入方程可解得：12撓曲線方程轉角方程撓度方程(0xa)(ax)在處，在X=0

處，在x1＝x2=a處第五十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日12撓曲線方程轉角方程撓度方程(0xa)(ax)12第五十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日12將x=0

和x=l

分別代入轉角方程，左右兩支座處截面的轉角當a>b

時,右支座處截面的轉角絕對值為最大ABPDab12FRAFRB第五十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日12ABPDab12FRAFRBD截面的撓度：把x=a代入y1或者y2，得第五十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日疊加原理：梁在小變形、彈性范圍內工作時，梁在幾項荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）同時作用下的撓度和轉角，就分別等于每一荷載單獨作用下該截面的撓度和轉角的疊加。

當每一項荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y軸方向),其轉角是在同一平面內(如均在xy平面內)時,則疊加就是代數(shù)和。四、用疊加法求梁的變形力的獨立作用原理——在線彈性及小變形條件下，梁的變形（撓度y和轉角θ）與荷載始終保持線性關系，而且每個荷載引起的變形與其他同時作用的荷載無關。第五十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日疊加法的分類直接疊加——梁上荷載可以化成若干個典型荷載，每個典型荷載都可以直接查表求出位移，然后直接疊加；間接疊加——梁上荷載不能化成直接查表的若干個典型荷載，需將梁進行適當轉換后才能利用表中結果進行疊加計算。四、用疊加法求梁的變形第五十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖所示。試按疊加原理求梁跨中點的撓度yC和支座處橫截面的轉角A、B

。ABmCq第五十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日解：將梁上荷載分為兩項簡單的荷載，如圖b、c所示(b)ABmCqBACqBAmC(C)第五十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日ABmCqACqAmC()()查表，得第五十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：試利用疊加法，求圖所示抗彎剛度為EI

的簡支梁跨中點的撓度yC

和兩端截面的轉角A,B

。ABCq第六十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日解：可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。ABCqABCq/2CAB第六十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日（1）正對稱荷載作用下ABCq/2第六十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日（2）反對稱荷載作用下可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l/2

的簡支梁在跨中C截面處，撓度yc

等于零

，但轉角不等于零且該截面的彎矩也等于零CAB第六十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日CABCAB（2）反對稱荷載作用下第六十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日將相應的位移進行疊加,即得ABCq（）（）第六十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日例題：一抗彎剛度為EI

的外伸梁受荷載如圖所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉角B

以及A端和BC中點D的撓度yA

和yD

。

ABCDaa2a2qq第六十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日解：將外伸梁沿B截面截成兩段，將AB段看成B端固定的懸臂梁，BC段看成簡支梁。ABCDaa2a2qq第六十七頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日2qABB截面兩側的相互作用力為：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq第六十八頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日2qaBCDq簡支梁BC

的受力情況與外伸梁AC的BC

段的受力情況相同由簡支梁

BC求得的B，yD，就是外伸梁AC的

B，yDABCDaa2a2qq第六十九頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日2qaBCDq簡支梁BC的變形就是MB和均布荷載q分別引起變形的疊加。qBCDBCD第七十頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日(1)求B，yDqBCDBCD由疊加原理得第七十一頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日2qAB(2)求yA由于簡支梁上B截面的轉動，代動AB段一起作剛體運動，使A端產生撓度y1

懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產生撓度y22qa2qaABCDqABCDq第七十二頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日因此，A端的總撓度應為查表，得2qAB2qa2qaABCDqABCDq第七十三頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日式中：ymax

為梁上最大的撓度；l為梁的跨長；[f/l]

為梁的許可撓度與的跨長比值。五、梁的剛度校核剛度條件（一般只校核撓度）注意：1、建筑結構即要滿足強度條件，同時也要滿足剛度條件；2、一般情況下，強度條件起控制作用，所以，在設計梁的截面時，用強度條件選擇梁的截面，選好后再代入剛度條件進行校核。第七十四頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日一、超靜定的概念§8-4簡單超靜定問題§8-4簡單超靜定問題靜定問題：單個物體或物體系未知量的數(shù)目正好等于它的獨立的平衡方程的數(shù)目，全部未知量均可求出，這樣的問題稱為靜定問題，相應的結構稱為靜定結構。

超靜定或靜不定：未知量的數(shù)目多于獨立的平衡方程的數(shù)目，未知量不可全部求出，這樣的問題稱為超靜定問題，相應的結構稱為超靜定結構。超出幾個未知量，就是幾次超靜定問題。通常超靜定問題需要建立補充方程，方可求解。在超靜定結構中，若不考慮強度和剛度而僅針對維持結構的平衡而言，有些約束是可以去掉的，這些約束稱為多余約束，與其相應的支座反力稱為多余支反力。第七十五頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日獨立的平衡方程數(shù)：2×3＝6未知力數(shù)：2+1+2+1＝6獨立的平衡方程數(shù)=未知力數(shù)獨立的平衡方程數(shù)：2×3＝6未知力數(shù)：3+1+2+1＝7未知力數(shù)>獨立的平衡方程數(shù)靜定問題超靜定問題§8-4簡單超靜定問題第七十六頁，共八十五頁，編輯于2023年，星期日

例題：兩端固定