簡單多面體與球(第5課時(shí)) 高二數(shù)學(xué)下學(xué)期簡單多面體 第五課時(shí) 人教版

歐拉歐拉公式著名的數(shù)學(xué)家，瑞士人，大部分時(shí)間在俄國和法國度過．他16歲獲得碩士學(xué)位，早年在數(shù)學(xué)天才貝努里賞識(shí)下開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，畢業(yè)后研究數(shù)學(xué)，是數(shù)學(xué)史上最高產(chǎn)的作家．在世發(fā)表論文700多篇，去世后還留下100多篇待發(fā)表．其論著幾乎涉及所有數(shù)學(xué)分支．他首先使用f(x)表示函數(shù)，首先用∑表示連加，首先用i表示虛數(shù)單位．在立體幾何中多面體研究中，首先發(fā)現(xiàn)并證明歐拉公式．.多面體多面體的定義若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體（1）（2）（3）(4)多面體的有關(guān)概念多面體的面棱頂點(diǎn)凸多面體把多面體的任何一個(gè)面延伸為平面,如果所有其他各面都在這個(gè)平面的同側(cè),這樣的多面體叫做凸多面體多面體的分類四多面體五多面體六多面體等.多面體正多面體每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形,且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體,叫正多面體.（1）（2）（3）正四面體正六面體正八面體正十二面體正二十面體.

每個(gè)面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都有相同數(shù)目的棱的凸多面體，叫做正多面體。正四面體及其展開圖正八面體及其展開圖正二十面體及其展開圖正十二面體及其展開圖正六面體及其展開圖正多面體：.多面體（6）(7)(8)簡單多面體表面經(jīng)過連續(xù)變形能變成一個(gè)球面的多面體(5).討論問題1：（1）數(shù)出下列四個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表（1）（2）（3）（4）圖形編號(hào)頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E(1)（2）（3）（4）規(guī)律：V+F-E=2464861268129815（歐拉公式）.(7)(8)(5)5851212247812問題1：（2）數(shù)出下列四個(gè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E并填表圖形編號(hào)頂點(diǎn)數(shù)V面數(shù)F棱數(shù)E（5）（7）（6）V+F-E=2（歐拉公式）簡單多面體討論.以上發(fā)現(xiàn)讓我們體會(huì)了數(shù)學(xué)家歐拉的發(fā)現(xiàn)過程,問題1.但這并沒有證明,不過讓我們先記住這個(gè)結(jié)論吧,并用它來解決一些問題.先用三棱柱、四棱錐來驗(yàn)證歐拉公式是否正確？都滿足歐拉公式.問題2.一個(gè)簡單多面體的各個(gè)面都是三角形,證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有F=2V-4的關(guān)系.分析:每個(gè)面都是三角形,有三條邊,則F個(gè)面共有3F條邊,又每條邊是兩相鄰面的公共邊,即每兩條邊合為一條棱,所以E=,代入即得..例1、簡單多面體的每個(gè)面都是五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)的一端都有三條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)和棱數(shù)及頂點(diǎn)數(shù).分析:關(guān)健是尋找V,F.E關(guān)系.事實(shí)上:設(shè)面數(shù)為F,頂點(diǎn)數(shù)為V,棱數(shù)為E,因?yàn)槊總€(gè)面都是五邊形,所以共有5F條邊,而每兩條邊合成一條棱,共有條棱,所以有E=另一方面:每一頂點(diǎn)處有三條邊,共有3V條邊,每兩條邊合成一條棱,所以E=代入可求V=20,F=12,E=30..定義:正多面體的每個(gè)面是全等的多邊形,每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有相同數(shù)目的棱.設(shè)正多面體有F個(gè)面,每個(gè)面都是n邊形,每一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有m條棱.其中m≥3,n≥3。那么:得到:代入歐拉公式得到:因此:m和n不可能都大于3,必定有一個(gè)等于3!為什么?推導(dǎo)正多面體的種類..小結(jié):簡單多面體V,F,E之間關(guān)系為:E=V+F-2(2)E=各面多邊形邊數(shù)之和的一半(3)E=頂點(diǎn)數(shù)V與共頂點(diǎn)的棱數(shù)之積的一半.問題2：如何證明歐拉公式ABCDEA1B1C1D1E1ABCDEA1B1C1D1E1討論.圖1圖2計(jì)算多邊形的內(nèi)角和(1)設(shè)圖1中多面體的F個(gè)面分別是n1，n2，...，nF邊形，各面的內(nèi)角總和是多少？(3)設(shè)圖2中最大的多邊形（即多邊形ABCDE）是m邊形，則它的內(nèi)角和是多少？(2)n1+n2+...+nF和多面體的棱數(shù)E有什么關(guān)系？說出理由.上述內(nèi)角和是否等于（E-F)×?它的內(nèi)部包含的其他多邊形的頂點(diǎn)數(shù)（不同多邊形的公共頂點(diǎn)只計(jì)一次）是多少？所有其他多邊形的內(nèi)角和是多少？n1+n2+...+nF=2E(m-2)×180。V-m(V-m)×360+(m-2)×180。。(n1+n2+...+nF-2F)×180。(n1-2)×180+(n2-2)×180+...+(nF-2)×180=。。。.圖1圖2(4)圖2中全體多邊形的內(nèi)角和是多少？用這個(gè)關(guān)系式能導(dǎo)出歐拉公式嗎？之間什么關(guān)系？說出理由，利(5)(E-F)×與(V-2)×(V-m)×360+2(m-2)×180=(V-2)×360。。。(E-F)×360=(V-2)×360。。V+F-E=2(3)設(shè)圖2中最大的多邊形（即多邊形ABCDE）是m邊形，則所有其他多邊形的內(nèi)角和是多少？(V-m)×360+(m-2)×180。。.總結(jié)多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)過程（1）從具體的實(shí)物提出問題，多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E之間有什么關(guān)系？（2）從簡單的幾個(gè)多面體去猜測他們的關(guān)系。（3）嘗試證明猜測的結(jié)論。這體現(xiàn)了發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理的一種重要的思路，問題來源于我們的現(xiàn)實(shí)生活，結(jié)論可以先猜再證。鏈接.問題3:歐拉公式的應(yīng)用例21996年的諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)授予對(duì)發(fā)現(xiàn)C60有重大貢獻(xiàn)的三位科學(xué)家．C60是有60個(gè)C原子組成的分子，它結(jié)構(gòu)為簡單多面體形狀．這個(gè)多面體有60個(gè)頂點(diǎn)，從每個(gè)頂點(diǎn)都引出3條棱，各面的形狀分別為五邊形或六邊形兩種．計(jì)算C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有多少？解：設(shè)C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有x個(gè)和y個(gè)．由題意有頂點(diǎn)數(shù)V=60，面數(shù)=x+y，棱數(shù)E=（3×60）根據(jù)歐拉公式，可得60+（x+y)－（3×60）=2另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示，即（5x+6y)=（3×60）由以上兩個(gè)方程可解出x=12,y=20答：C60分子中形狀為五邊形和六邊形的面各有12個(gè)和20個(gè)．.例3、有沒有棱數(shù)是7的簡單多面體？解：假設(shè)有一個(gè)簡單多面體的棱數(shù)E=7．根據(jù)歐拉公式得V+F=E+2=9因?yàn)槎嗝骟w的頂點(diǎn)數(shù)V≥4，面數(shù)F≥4，所以只有兩種情形：V=4，F(xiàn)=5或V=5，F(xiàn)=4．但是，有4個(gè)頂點(diǎn)的多面體只有4個(gè)面，而四面體也只有四個(gè)頂點(diǎn)．所以假設(shè)不成立，沒有棱數(shù)是7的簡單多面體問題3:歐拉公式的應(yīng)用.1、（1）一個(gè)簡單多面體的各面都是三角形，證明它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F有F=2V－4的關(guān)系．練習(xí)（2）若簡單多面體的各面都是四邊形，則它的頂點(diǎn)數(shù)V和面數(shù)F又有怎樣的關(guān)系？2、簡單多面體的每個(gè)面都是五邊形，且每個(gè)頂點(diǎn)的一端都有三條棱，求這個(gè)多面體的面數(shù)和棱數(shù)．.例4、足球可以看成由12個(gè)五邊形和20個(gè)六邊形相間圍成的多面體，問這個(gè)多面體有多少條棱？多少個(gè)頂點(diǎn)？.1.求證:(1)如果一個(gè)簡單多面體的面都是三角形,那么:F=2V-4.(2)如果一個(gè)簡單多面體的面都是四邊形,那么:F=V-2.2.C20分子有與C60分子類似的球狀結(jié)構(gòu),它有70個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)處有3條棱,各面都是五邊形或者六邊形,試求C20分子中五邊形