計量經(jīng)濟(jì)學(xué)第四章序列相關(guān)性

§4.2序列相關(guān)性一、序列相關(guān)性的概念二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的序列相關(guān)性三、序列相關(guān)性的后果四、序列相關(guān)性的檢驗五、序列相關(guān)性的補(bǔ)救六、案例當(dāng)前第1頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)一、序列相關(guān)性的概念如果對于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)誤差項之間不再是不相關(guān)的，而是存在某種相關(guān)性，即：Cov(i

,j)≠0ij,i,j=1,2,…,n則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)性（serialcorrelation）。對于模型：

Yi=0+1X1i+2X2i+…+kXki+i

i=1,2,…,n當(dāng)前第2頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)#序列相關(guān)性下的方差－協(xié)方差陣此時，隨機(jī)誤差項之間的方差－協(xié)方差陣為：當(dāng)前第3頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)#自相關(guān)（autocorrelation）序列相關(guān)經(jīng)常出現(xiàn)在以時間序列數(shù)據(jù)為樣本的模型中，此時，不同樣本點(diǎn)的區(qū)別僅在于時間的不同這意味著，此時的序列相關(guān)性表現(xiàn)為不同時間上的隨機(jī)誤差項存在相關(guān)，這一情形下的序列相關(guān)也通常稱之為自相關(guān)為此，本節(jié)將表示不同樣本點(diǎn)的下標(biāo)i

改為t。當(dāng)前第4頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)如果僅存在：cov(t,t－1)=E(tt－1)0t=2,…,n即：隨機(jī)誤差項只與其前一期值有關(guān)（或者說，僅是相鄰的隨機(jī)誤差項之間存在相關(guān)），則稱為一階自相關(guān)。一階序列相關(guān)時，隨機(jī)誤差項可以表示為：t=t-1+t-1<<1

稱為一階自回歸形式，記為AR(1)，其中：

：被稱為一階自相關(guān)系數(shù)（first-ordercoefficientofautocorrelation）

i：滿足標(biāo)準(zhǔn)的OLS假定的隨機(jī)干擾項#一階自相關(guān)（first-orderautocorrelation）當(dāng)前第5頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)序列相關(guān)的一般形式可以表示成：稱為P階自回歸形式，記為AR(p)，表示模型存在P階自相關(guān)。

t－1、t－2、…、t－p分別表示t的前1期、前2期、…、前p期項，又稱為滯后1期、滯后2期、…、滯后p期項。1、2、…，p稱為1階、2階、…，p階自相關(guān)系數(shù)。#高階自相關(guān)（high-orderautocorrelation）當(dāng)前第6頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)二、實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中的序列相關(guān)性大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時間數(shù)據(jù)都有一個明顯的特點(diǎn):慣性，表現(xiàn)在時間序列不同時間的前后關(guān)聯(lián)上。由于消費(fèi)習(xí)慣的影響被包含在隨機(jī)誤差項中，則可能出現(xiàn)序列相關(guān)性（往往是正相關(guān)）。例如：絕對收入假設(shè)下居民總消費(fèi)函數(shù)模型：

Ct=0+1Yt+tt=1,2,…,n1、經(jīng)濟(jì)變量固有的慣性序列相關(guān)性往往出現(xiàn)在以時間序列數(shù)據(jù)為樣本的模型中，產(chǎn)生這一問題的原因主要來自三個方面：當(dāng)前第7頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)許多經(jīng)濟(jì)行為存在滯后效應(yīng)，即當(dāng)期的經(jīng)濟(jì)行為不僅影響當(dāng)期的有關(guān)結(jié)果，而且也會對以后若干期的結(jié)果存在影響，這使得作為結(jié)果變量的經(jīng)濟(jì)變量在不同時間上呈現(xiàn)出序列相關(guān)性。例如：

固定資產(chǎn)的形成，不僅與當(dāng)期的固定資產(chǎn)投資有關(guān)，也與前期多年的固定資產(chǎn)投資有關(guān)

今年的家庭消費(fèi)水平，不僅與今年的收入有關(guān)，也與前期多年的收入有關(guān)以及前期多年的消費(fèi)支出有關(guān)

企業(yè)當(dāng)期的銷售收入，同樣會受到前期的商品銷售水平有關(guān)2、經(jīng)濟(jì)行為的滯后性當(dāng)前第8頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)所謂模型設(shè)定偏誤（Specificationerror）是指所設(shè)定的模型“不正確”。主要表現(xiàn)在模型中丟掉了重要的解釋變量或模型函數(shù)形式有偏誤。例如：本來應(yīng)該估計的模型為：

Yt=0+1X1t+2X2t+3X3t+t但在模型設(shè)定中做了下述回歸：

Yt=0+1X1t+1X2t+vt因此：vt=3X3t+t，如果X3確實(shí)影響Y，則出現(xiàn)序列相關(guān)。3、模型設(shè)定的偏誤這是橫截面數(shù)據(jù)也可能存在序列相關(guān)性的重要原因當(dāng)前第9頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)

例如：

季度數(shù)據(jù)來自月度數(shù)據(jù)的簡單平均，這種平均的計算減弱了每月數(shù)據(jù)的波動性，從而使隨機(jī)干擾項出現(xiàn)序列相關(guān)。還有就是兩個時間點(diǎn)之間的“內(nèi)插”技術(shù)往往導(dǎo)致隨機(jī)項的序列相關(guān)性。在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，有些數(shù)據(jù)是通過已知數(shù)據(jù)生成的。因此，新生成的數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)間就有了內(nèi)在的聯(lián)系，表現(xiàn)出序列相關(guān)性。4、數(shù)據(jù)的處理當(dāng)前第10頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)三、序列相關(guān)性的后果1、參數(shù)估計量仍然無偏，但非有效因為：在有效性證明中利用了：

E(NN’)=2I

即同方差性和互相獨(dú)立性條件。而且：在大樣本情況下，參數(shù)估計量雖然具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。*通常情形下，采用OLS將會低估參數(shù)估計量的標(biāo)準(zhǔn)差，也會低估隨機(jī)誤差項的方差б2當(dāng)前第11頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)在變量的顯著性檢驗中，統(tǒng)計量是建立在參數(shù)方差正確估計基礎(chǔ)之上的，這只有當(dāng)隨機(jī)誤差項具有同方差性和互相獨(dú)立性時才能成立。2、變量的顯著性檢驗失去意義通常情況下，存在序列相關(guān)性時，參數(shù)估計值的樣本方差往往會被低估，此時變量t檢驗和方程F檢驗的顯著性容易被夸大！當(dāng)前第12頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)參數(shù)估計值非有效（真實(shí)方差往往被低估），失去最優(yōu)性，樣本估計式失準(zhǔn)隨機(jī)誤差項的方差一般會被低估區(qū)間預(yù)測與參數(shù)估計量的方差和隨機(jī)誤差項的方差均有關(guān)在方差有偏誤的情況下，使得預(yù)測估計不準(zhǔn)確，預(yù)測可信度降低。所以，當(dāng)模型出現(xiàn)序列相關(guān)性時，它的預(yù)測功能失效。3、模型的預(yù)測失效當(dāng)前第13頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關(guān)性，以判斷隨機(jī)誤差項是否具有序列相關(guān)性。基本思路：四、序列相關(guān)性的檢驗當(dāng)前第14頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（一）圖示檢驗法當(dāng)前第15頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（二）回歸檢驗法……

如果存在某一種函數(shù)形式，使得方程顯著成立，則說明原模型存在序列相關(guān)性。優(yōu)點(diǎn)：（1）能夠確定序列相關(guān)的形式;（2）適用于任何類型序列相關(guān)性問題的檢驗。缺點(diǎn)：工作量大，計算復(fù)雜，檢驗繁瑣當(dāng)前第16頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（三）杜賓-瓦森檢驗法（DW檢驗）D-W檢驗是杜賓（J.Durbin）和瓦森(G.S.Watson)于1951年提出的一種檢驗序列自相關(guān)的方法該方法只適用于檢驗一階自相關(guān)（1）解釋變量X非隨機(jī)；（2）隨機(jī)誤差項t為一階自回歸形式：

t=t-1+t（3）回歸模型中不應(yīng)含有滯后因變量作為解釋變量，即不應(yīng)出現(xiàn)下列形式：

Yt=0+1X1t+kXkt+Yt-1+t（4）回歸含有截距項假定條件當(dāng)前第17頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)該統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的X值有復(fù)雜的關(guān)系，因此其精確的分布很難得到。但是，他們成功地導(dǎo)出了臨界值的下限dL和上限dU，且這些上下限只與樣本的容量n

和解釋變量的個數(shù)k

有關(guān)，而與解釋變量X的取值無關(guān)。杜賓和瓦森針對原假設(shè)：H0:=0，即不存在一階自回歸，構(gòu)造如下統(tǒng)計量：＃D.W.檢驗統(tǒng)計量當(dāng)前第18頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)D.W.檢驗步驟（1）提出假設(shè)：H0:ρ=0（不存在一階自相關(guān)）H1:ρ≠0（2）計算DW值（3）給定，由n和（k＋1）的大小查DW分布表，得臨界值dL和dU（4）比較、判斷0<D.W.<dL

存在正自相關(guān)dL<D.W.<dU

不能確定dU<D.W.<4－dU無自相關(guān)4－dU<D.W.<4－dL

不能確定4－dL<D.W.<4存在負(fù)自相關(guān)當(dāng)前第19頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)#DW檢驗的圖示0dLdU24-dU4-dL

正相關(guān)不能確定無自相關(guān)不能確定負(fù)相關(guān)當(dāng)前第20頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)

證明：展開D.W.統(tǒng)計量：(*)#D.W.檢驗統(tǒng)計量的說明DW檢驗表明：當(dāng)D.W.值在2左右時，模型不存在一階自相關(guān)其中：ρ為一階自相關(guān)系數(shù)一階自回歸模型：i=i-1+i

的參數(shù)估計。當(dāng)前第21頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)由于自相關(guān)系數(shù)的值介于－1和＋1之間，因此：0≤DW≈2(1-ρ)≤4如果存在完全一階正相關(guān)，即=1，則D.W.0

完全一階負(fù)相關(guān)，即=-1,則D.W.4

完全不相關(guān)，即=0，則D.W.20dLdU24-dU4-dL

正相關(guān)不能確定無自相關(guān)不能確定負(fù)相關(guān)當(dāng)前第22頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)DW檢驗是最常用的自相關(guān)性的檢驗方法，在報告回歸分析的結(jié)果時，一般將DW值連同R2、t值等一起標(biāo)明。但在應(yīng)用DW檢驗時需要注意：1）DW值接近于2時，只能說明模型不存在一階線性自相關(guān)，但并不意味著模型不存在高階自相關(guān)或者非線性相關(guān)2）DW值落入兩個無法判斷的區(qū)域時，需要采用其它檢驗方法3）不適用于聯(lián)立方程組模型中各單一方程隨機(jī)誤差項序列相關(guān)的檢驗4）DW檢驗不適用于模型中含有滯后被解釋變量的情況，即不適用于如下模型Yt=0+1X1t++kXkt+Yt-1+t＃使用D.W.檢驗時需要注意的問題當(dāng)前第23頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)針對滯后變量模型：Yt=0+1X1t++kXkt+Yt-1+t上述模型，Durbin提出Durbin－h(huán)統(tǒng)計量：#DH統(tǒng)計量當(dāng)前第24頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（四）拉格朗日乘數(shù)檢驗（LagrangeMultiplier）LM檢驗是由布勞殊（Breusch）與戈弗雷（Godfrey）于1978年提出的，也被稱為GB檢驗。拉格朗日乘數(shù)檢驗克服了DW檢驗的缺陷，適合于高階序列相關(guān)以及模型中存在滯后被解釋變量的情形。對于模型如果懷疑隨機(jī)擾動項存在p階序列相關(guān)，即隨機(jī)誤差項存在：當(dāng)前第25頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)則構(gòu)造以下輔助回歸模型：在原假設(shè)：H0:1=2=…=p=0（無序列相關(guān)）成立時，有：其中：n為輔助回歸樣本容量，R2為輔助回歸的可決系數(shù)：給定，查臨界值2(p)，與LM值比較，如果超出則拒絕H0實(shí)際檢驗中，可從1階、2階、…逐次向更高階檢驗。當(dāng)前第26頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)檢驗時需要事先確定準(zhǔn)備檢驗的階數(shù)P,實(shí)際檢驗中，可從1階、2階、…逐次向更高階檢驗。檢驗結(jié)果顯著時，可以說明存在序列相關(guān)，但是并不一定代表序列相關(guān)的階數(shù)一定能夠達(dá)到所檢驗的階數(shù)。低階序列相關(guān)的存在往往會導(dǎo)致高階序列相關(guān)檢驗的顯著性具體階數(shù)的判斷，需要結(jié)合輔助回歸中自相關(guān)系數(shù)的顯著性＃使用GB檢驗時需要注意的問題(0.22)(-0.497)(4.541)（-1.842）（0.087）

R2=0.6615當(dāng)前第27頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)如果模型被檢驗證明存在序列相關(guān)性，則首先需要分析其原因，對癥下藥：如果產(chǎn)生序列相關(guān)的原因是變量選擇失準(zhǔn)（如遺漏了重要的解釋變量等），則應(yīng)調(diào)整變量；如果是模型設(shè)定不當(dāng)，應(yīng)當(dāng)調(diào)整模型形式?！摷俚男蛄邢嚓P(guān)問題如果原因在于客觀經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的自身特點(diǎn)，如經(jīng)濟(jì)變量的慣性作用等，則需要發(fā)展新的估計方法最常用的方法是廣義最小二乘法（GLS:Generalizedleastsquares）和廣義差分法(GD，GeneralizedDifference)。五、序列相關(guān)性的補(bǔ)救當(dāng)前第28頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（一）廣義最小二乘法對于模型：Y=X+

（X為設(shè)計矩陣，Y、β、μ為列向量）如果存在序列相關(guān)，同時存在異方差，即有：是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D，使得：

=DD’廣義最小二乘法（GLS)是最具有普遍意義的最小二乘法，普通最小二乘法（OLS）和加權(quán)最小二乘法（WLS）是其特例當(dāng)前第29頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)變換原模型（D-1左乘）：D-1Y=D-1X+D-1

即：Y*=X*+*

(*)(*)式的OLS估計：此即原模型的廣義最小二乘估計量(GLSE)，是無偏的、有效的估計量。(*)模型具有同方差性和無序列相關(guān)性，因為：當(dāng)前第30頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)＃如何得到矩陣？——近似估計矩陣是原模型隨機(jī)誤差項的方差－協(xié)方差陣。獲得的一種方法是采用隨機(jī)誤差項的近似估計量構(gòu)造當(dāng)前第31頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)獲取的更精確的方法是根據(jù)原模型序列相關(guān)的具體形式進(jìn)行估計常見的是假設(shè)隨機(jī)誤差項具有一階序列相關(guān)性，即：

i=i-1+i(－1<<1)此時，可以證明：＃如何得到矩陣？——精確估計當(dāng)前第32頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)證明：由：i=i-1+i(－1<<1)有：即：由：有：當(dāng)前第33頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)當(dāng)前第34頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)廣義差分法是利用廣義差分變換將原模型變換為滿足基本假設(shè)的差分模型，再進(jìn)行OLS估計。是一類克服序列相關(guān)性的有效方法，被廣泛采用。對于模型:將模型滯后一期，有：同理，模型滯后p期的形式為：（二）廣義差分法當(dāng)前第35頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)如果模型存在:對模型施行廣義P階差分變換，有：該模型為原模型的廣義差分模型，不存在序列相關(guān)問題，可進(jìn)行OLS估計，從而獲得原模型的最佳估計量，即：當(dāng)前第36頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)廣義差分法實(shí)質(zhì)上與廣義最小二乘法是一致的，只是GD法中損失了部分樣本觀測值。這相當(dāng)于GLS中的D-1去掉第一行后左乘原模型：Y=X+

＃GD和GLS的關(guān)系如：一階序列相關(guān)的情況下,廣義差分是估計即運(yùn)用了GLS法，但第一次觀測值被排除了。則GD與GLS完全等價。（普萊斯－溫斯特變換）當(dāng)前第37頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（三）隨機(jī)誤差項的自相關(guān)系數(shù)ρ的估計應(yīng)用廣義最小二乘法或廣義差分法，必須已知隨機(jī)誤差項的自相關(guān)系數(shù)1,

2,…,

L。實(shí)際上，人們并不知道它們的具體數(shù)值，所以必須首先對它們進(jìn)行估計。常用的估計方法有：（1）利用DW統(tǒng)計量進(jìn)行近似估計（2）科克倫-奧科特（Cochrane-Orcutt）迭代法。（3）杜賓（durbin）兩步法當(dāng)前第38頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（1）利用DW統(tǒng)計量進(jìn)行估計對于一階自相關(guān)：由：有：僅適用于一階自相關(guān)情形，用于構(gòu)建一階差分模型。所估計的為一階自相關(guān)系數(shù)當(dāng)前第39頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)（2）科克倫-奧科特迭代法以一元線性模型為例。1）首先采用OLS法估計原模型：Yt=0+1Xt+t得到的i的“近似估計值”et(1)，2）以et(1)作為觀測值使用OLS法估計下式：

t=1t-1+2t-2+pt-p+t

得到：作為隨機(jī)誤差項的相關(guān)系數(shù)的第一次估計值當(dāng)前第40頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)求出i新的“近似估計值”et(2)3）利用構(gòu)造廣義差分模型：進(jìn)行OLS估計，得到回歸系數(shù)的估計4）將代回原模型：Yt=0+1Xt+t6）重復(fù)上述步驟，可得相關(guān)系數(shù)的多次迭代值。注：具體迭代次數(shù)，可根據(jù)具體問題來定。一般可事先規(guī)定一個精度δ，當(dāng)時，迭代終止。實(shí)際中一般只需要迭代兩次即可。因此上述方法又稱為科克倫－奧科特兩步法。5）重復(fù)步驟2），得到相關(guān)系數(shù)的第二次估計值：當(dāng)前第41頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)#科克倫-奧科特迭代法圖示當(dāng)前第42頁\共有49頁\編于星期五\14點(diǎn)第一步：變換差分模型為下列形式進(jìn)行OLS估計，得各Yj（j=t-1,t-2,…,t-p)前的系數(shù)1,2,,p的估計值(3）杜賓（durbin）兩步法當(dāng)前第43頁\共有49頁\編于星期五\14