2021年黑龍江省綏化市育才中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021年黑龍江省綏化市育才中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.若將函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移個單位長度，則平移后函數(shù)的一個零點(diǎn)是（）A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】由條件根據(jù)誘導(dǎo)公式、y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：函數(shù)y=2cos2x的圖象向右平移個單位長度，可得2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣）令2x﹣=（k∈Z）解得：x=（k∈Z），∴函數(shù)的對稱點(diǎn)為（，0）當(dāng)k=1時(shí)，可得一個零點(diǎn)是（，0）故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+?）的圖象變換規(guī)律，比較基礎(chǔ)．2.設(shè)等比數(shù)列的公比，前n項(xiàng)和為，則A.

B.

C. 4

D.2參考答案：A略3.在中，點(diǎn)在邊上，且，，則=（）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.如圖，已知在ΔABC中,BC=2，以BC為直徑的圓分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，MC與NB交于點(diǎn)G，若，則，的度數(shù)為A.135

B.120°

C.

150

D.

105°參考答案：D5.已知函數(shù)對任意的都存在,使得則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）

參考答案：A略6.一個棱長為1的正方體的八個頂點(diǎn)都在同一個球面上，則此球的表面積為A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A7.已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的第五項(xiàng)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略8.設(shè)橢圓=1（a＞0，b＞0）的離心率e=，右焦點(diǎn)F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的兩個根分別為x1，x2，則點(diǎn)P（x1，x2）在（）A．圓x2+y2=2內(nèi)B．圓x2+y2=2上C．圓x2+y2=2外D．以上三種情況都有可能參考答案：A略9.將函數(shù)的圖象按向量平移后，得到的圖象，則

（

）

A．=（1，2）

B．=（1，－2）

C．=（－1，2）

D．=（－1，－2）參考答案：D10.若（其中為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部是（

）A．2i

B．－2i

C．－2

D．2參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)若，則

.參考答案：或-1

12.已知向量__________；高考資源網(wǎng)

參考答案：-15

略13.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_

_______。參考答案：14.如圖，已知點(diǎn)在直徑的延長線上，與相切于點(diǎn)，若，則______________．參考答案：15.展開式中常數(shù)為

.參考答案：二項(xiàng)展開式為，所以當(dāng)，即時(shí)，為常數(shù)項(xiàng)，所以常數(shù)項(xiàng)為.16.設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||=8，||=3，若點(diǎn)M，N滿足=3，=2，則?=．參考答案：9【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】用表示出，代入數(shù)量積計(jì)算．【解答】解：∵=3，=2，∴==，=，==﹣=﹣，∴==，==．?=（）?（）=﹣=×82﹣×32=9．故答案為：9．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．17.在菱形ABCD中，，，E為CD的中點(diǎn)，則

．參考答案：－4因?yàn)榱庑沃?，，為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以?/p>

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.持續(xù)性的霧霾天氣嚴(yán)重威脅著人們的身體健康，汽車的尾氣排放是造成霧霾天氣的重要因素之一．為此，某城市實(shí)施了機(jī)動車尾號限行，該市報(bào)社調(diào)查組為了解市區(qū)公眾對“車輛限行”的態(tài)度，隨機(jī)選取了30人進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡（單位：歲）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（圖1），并將調(diào)查情況進(jìn)行整理后制成表2：表2：年齡（歲）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75]頻數(shù)36

63

贊成人數(shù)245421（Ⅰ）由于工作人員粗心，不小心將表2弄臟，遺失了部分?jǐn)?shù)據(jù)，請同學(xué)們將表2中的數(shù)據(jù)恢復(fù)，并估計(jì)該市公眾對“車輛限行”的贊成率和被調(diào)查者的年齡平均值；（Ⅱ）把頻率當(dāng)作概率估計(jì)贊成車輛限行的情況，若從年齡在[55，65），[65，75]的被調(diào)查者中隨機(jī)抽取一個人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求被選2人中至少一個人贊成車輛限行的概率．參考答案：【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖．【分析】（Ⅰ）由頻率分布圖和頻數(shù)分布表得填表數(shù)值分別是9和3，由此能求出平均年齡和贊成率．（Ⅱ）[55，65）中3人設(shè)為A，a1，a2表示贊成，利用列舉法能求出被選2人中至少一個人贊成車輛限行的概率．【解答】解：（Ⅰ）由頻率分布圖和頻數(shù)分布表得填表數(shù)值分別是9和3，平均年齡是：20×0.1+30×0.2+40×0.3+50×0.2+60×0.1+70×0.1=43（歲），贊成率是：p==．（Ⅱ）[55，65）中3人設(shè)為A，a1，a2表示贊成，各抽取一人所有事件為：AB1，AB2，Ab，a1B1，a1B2，a1b，a2B1，a2B2，a2b，共9個，設(shè)“被選2人中至少有一個人贊成車輛限行”為事件M，則事件M包含的基本事件有7個，∴被選2人中至少一個人贊成車輛限行的概率P（M）=．19.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P． （1）求證：平面PBD⊥平面BFDE； （2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值． 參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面與平面垂直的判定． 【分析】（1）推導(dǎo)出PD⊥PF，PD⊥PE，則PD⊥平面PEF，由此能證明平面PBD⊥平面BFDE．（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值． 【解答】證明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)．將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于P． ∴PD⊥PF，PD⊥PE， ∵PE∩PF=P，PE、PF?平面PEF． ∴PD⊥平面PEF． 又∵EF?平面PEF， ∴PD⊥EF，又BD∩PD=D， ∴EF⊥平面PBD， 又EF?平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE． 解：（2）連結(jié)BD、EF，交于點(diǎn)O，連結(jié)OP， ∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD， 又EF⊥平面PBD，PO，BD?平面PBD， ∴PO⊥EF，BD⊥EF， ∵PD⊥平面PEF， 以O(shè)為原點(diǎn)，OF為x軸，OD為y軸，過O作平面BFDE的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在正方形ABCD的邊長為2，則DO=，=，PE=PF=1，PD=2， PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F(xiàn)（，0，0）， =（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0）， 設(shè)平面PDE的法向量=（x，y，z）， 則，取y=1，則=（﹣3，1，2）， 平面DEF的法向量=（0，0，1）， 設(shè)二面角P﹣DE﹣F的平面角為θ， 則cosθ===． ∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值為． 【點(diǎn)評】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用． 20.（本小題滿分14分）已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中。設(shè)兩曲線有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同。

（1）若，求的值；

（2）用表示，并求的最大值。w。w-w*k&s%5￥u參考答案：（1）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同

則

…………2分由題意知，∴

………4分由得，，或（舍去）

即有

…………6分高考資源網(wǎng)w。w-w*k&s%5￥u（2）設(shè)與在公共點(diǎn)處的切線相同

w。w-w*k&s%5￥u由題意知，

………………6分∴由得，，或（舍去）

…………9分即有

…………10分令，則，于是令

………………12分當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，故為減函數(shù)

…………13分于是在的最大值為，故的最大值為

………14分

略21.（本小題滿分10分）

平面內(nèi)有三個點(diǎn)A(2，0)，B(0，2)，C(cosa，sina)（其中a∈（0，），點(diǎn)O為坐標(biāo)

原點(diǎn)，且．(I)求a的值；(Ⅱ)求向量與的夾角參考答案：22.（12分）（2015?哈爾濱校級二模）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中點(diǎn)，且PA=AB=AC=2，BC=2．（1）求證：CD⊥平面CPAC；（2）如果N是棱AB上一點(diǎn)，且直線CN與平面MAB所E，F(xiàn)成角的正弦值為，求的值．參考答案：【考點(diǎn)】：用空間向量求平面間的夾角；直線與平面垂直的判定．【專題】：空間角；空間向量及應(yīng)用；立體幾何．【分析】：（1）根據(jù)AB=AC=2，BC=2便得到AB⊥AC，從而CD⊥AC，而由PA⊥底面ABCD便得到CD⊥PA，由線面垂直的判定定理從而得出CD⊥平面PAC；（2）三條直線AB，AC，AP兩兩垂直，從而可以這三條直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，可求出A，B，C，D，M，P的坐標(biāo)．可設(shè)N（x，0，0），平面MAB的法向量設(shè)為，而由即可求出，設(shè)直線CN和平面MAB所成角為α，從而由=即可求得x，從而求出AN，NB，從而求出．解：（1）證明：AB=AC=2，BC=2；∴AB⊥AC；CD∥AB；∴CD⊥AC；PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD；∴PA⊥CD，即CD⊥PA，AC∩PA=A；∴CD⊥平面PAC；（2）如圖以A為原點(diǎn)，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系；則A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0）；因?yàn)镸是棱PD的中點(diǎn)；所以M（﹣1，1，1）；∴，；設(shè)為平面MAB的法向量；∴；∴，令