建筑力學(xué)第十三章

建筑力學(xué)第十三章第一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日§13-1結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述一、結(jié)構(gòu)的位移A位移轉(zhuǎn)角位移線(xiàn)位移A點(diǎn)線(xiàn)位移A點(diǎn)水平位移A點(diǎn)豎向位移A截面轉(zhuǎn)角P第二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日AP引起結(jié)構(gòu)位移的原因荷載制造誤差等溫度改變支座移動(dòng)還有什么原因會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移?為什么要計(jì)算位移?第三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定:二、計(jì)算位移的目的(1)剛度要求在工程上，吊車(chē)梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。(2）超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求第四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日（3）理想聯(lián)結(jié)(IdealConstraint)。三、本章位移計(jì)算的假定疊加原理適用（principleofsuperposition)（1）線(xiàn)彈性(LinearElastic),（2）小變形(SmallDeformation),四、計(jì)算方法單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)第五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日§13-2桿件的變形和位移1、軸向拉（壓）桿的變形和位移當(dāng)桿內(nèi)應(yīng)力不超過(guò)材料的某一極限值（“比例極限”）時(shí)引進(jìn)比例常數(shù)E

FFdll1d1第六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日E

—彈性模量，量綱與應(yīng)力相同，為，拉（壓）桿的胡克定律EA

—桿的拉伸（壓縮）剛度。單位為Pa；FFdll1d1第七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日稱(chēng)為單軸應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律

即FFdll1d1第八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日橫向變形的計(jì)算單軸應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的比例極限時(shí)，一點(diǎn)處的縱向線(xiàn)應(yīng)變e

與橫向線(xiàn)應(yīng)變e的絕對(duì)值之比為一常數(shù)：或n-----橫向變形因素或泊松比。FFdll1d1第九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日低碳鋼（Q235）：第十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-1一階梯狀鋼桿受力如圖，已知AB段的橫截面面積A1=400mm2，BC段的橫截面面積A2=250mm2,材料的彈性模量E=210GPa。試求：AB、BC段的伸長(zhǎng)量和桿的總伸長(zhǎng)量；C截面相對(duì)B截面的位移和C截面的絕對(duì)位移。F=40kN

CBA

B'C'解：由靜力平衡知，AB、BC兩段的軸力均為l1=300l2=200第十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日故F=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200第十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日AC桿的總伸長(zhǎng)C截面相對(duì)B截面的位移C截面的絕對(duì)位移F=40kNCBA

B'C'第十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日思考：1.上題中哪些量是變形，哪些量是位移？二者是否相等？2.若上題中B截面處也有一個(gè)軸向力作用如圖，還有什么方法可以計(jì)算各截面處的位移？l1=300l2=200F=40kNCBA

B'C'F=40kN第十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、圓截面桿的扭轉(zhuǎn)的變形扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形——兩橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角j扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率相距dx的微段兩端截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA第十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日等直圓桿僅兩端截面受外力偶矩Me

作用時(shí)稱(chēng)為等直圓桿的扭轉(zhuǎn)剛度相距l(xiāng)的兩橫截面間相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為gMe

Me

j(單位：rad)第十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-2圖示鋼制實(shí)心圓截面軸，已知：M1=1592N?m,M2=955N?m，M3=637N?m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，鋼的切變模量G=80GPa。求橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角jCB。解：1、先用截面法求各段軸的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、各段兩端相對(duì)扭轉(zhuǎn)角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、橫截面C相對(duì)于B的扭轉(zhuǎn)角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC第十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-3圖示空心圓桿

AB，A端固定，底板B為剛性板，在其中心處焊一直徑為d2的實(shí)心圓桿CB?？招臈U的內(nèi)、外徑分別為D1和

d1，外力偶矩Me、兩桿的長(zhǎng)度l1、l2及材料的切變模量G

均為已知。試求：1、兩桿橫截面上的切應(yīng)力分布圖；2、實(shí)心桿C端的絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板第二十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日解：1、分析兩軸的受力如圖，求出其扭矩分別為ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I剛性板MeMeABMeBCMe第二十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、求橫截面上的切應(yīng)力空心圓軸實(shí)心圓軸第二十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日空心圓軸實(shí)心圓軸t2,maxt1,maxt1,minT1T2第二十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、計(jì)算絕對(duì)扭轉(zhuǎn)角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCB第二十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日3、梁的位移及剛度條件BAC1xyq(轉(zhuǎn)角)wq(撓度)

撓度：橫截面的形心（即軸線(xiàn)上的點(diǎn)）在y方向的線(xiàn)位移w。在圖示坐標(biāo)系中，w向下為正。

轉(zhuǎn)角：橫截面對(duì)其原來(lái)位置的角位移。也等于平面曲線(xiàn)AC1B在C1點(diǎn)的切線(xiàn)和x軸的夾角。在圖示坐標(biāo)系中，順時(shí)針轉(zhuǎn)向的為正。第二十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日BAC1xyq(轉(zhuǎn)角)wq(撓度)

撓曲線(xiàn)方程：橫截面的撓度w與橫截面位置x有關(guān)，即w=f(x)為撓曲線(xiàn)方程。

轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角很小，有：表明撓曲線(xiàn)在任一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率足夠精確地代表該截面的轉(zhuǎn)角。第二十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日純彎曲時(shí)：橫力彎曲時(shí)（不計(jì)剪力FS的影響）：

所以：?幾何上：因?yàn)樵谛∽冃吻闆r下：第二十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日即：對(duì)于本書(shū)采用的坐標(biāo)系，由下圖可見(jiàn)：MM>0,w″<0xyMM<0,w″>0xy此即為撓曲線(xiàn)的近似微分方程，其積分為：對(duì)等直梁：第二十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日C1、D1為常數(shù)，由梁的邊界條件（包括位移約束和連續(xù)條件）確定。常數(shù)C1、D1確定后，代入上兩式即可分別得到梁轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程，從而可確定任一截面的轉(zhuǎn)角和撓度。第二十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-4求等截面直梁的彈性曲線(xiàn)、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程寫(xiě)出微分方程的積分并積分解：PLxy第三十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)寫(xiě)出彈性曲線(xiàn)方程并畫(huà)出曲線(xiàn)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xPL第三十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日積分法求解梁位移的思路：①建立合適的坐標(biāo)系；②求彎矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用約束條件或連續(xù)條件，確定積分常數(shù)；⑥一般求極值可用數(shù)學(xué)方法，也可由撓曲線(xiàn)直接判別。根據(jù)本書(shū)的規(guī)定坐標(biāo)系，取負(fù)號(hào)進(jìn)行分析。④積分求和第三十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13－5圖示一抗彎剛度為EI的簡(jiǎn)支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度f(wàn)max和最大轉(zhuǎn)角qmax。將式(1)中的M(x)代入公式,再通過(guò)兩次積分,可得:解:首先,由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知梁的兩個(gè)支反力(見(jiàn)圖)為:FA=FB=ql/2然后,寫(xiě)出此梁的彎矩方程第三十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

在簡(jiǎn)支梁中,邊界條件是左、右兩鉸支座處的撓度都等于零,即:根據(jù)這兩個(gè)邊界條件,由式(3)可得:從而解出:于是,得梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程分別為:在x=0處，w=0;在x=l處，w=0。第三十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日由于梁上外力及邊界條件對(duì)于梁跨中點(diǎn)都是對(duì)稱(chēng)的,因此,梁的撓曲線(xiàn)也應(yīng)是對(duì)稱(chēng)的。由圖可見(jiàn),兩支座處的轉(zhuǎn)角絕對(duì)值相等,而且都是最大值。分別以x=0及x=l代入式(4)可得最大轉(zhuǎn)角值為:撓曲線(xiàn)為一對(duì)稱(chēng)的光滑曲線(xiàn),最大撓度必在梁跨中點(diǎn)x=l/2處。所以其最大撓度值為:第三十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日從以上兩例題知:轉(zhuǎn)角及撓度方程中的積分常數(shù)C,D的幾何意義為:q0和y0分別代表坐標(biāo)原點(diǎn)處截面的轉(zhuǎn)角和撓度。梁的剛度條件其中[]稱(chēng)為許用轉(zhuǎn)角；[w]稱(chēng)為許用撓度。第三十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日1、變形體虛功原理（1）功、實(shí)功和虛功功：力對(duì)物體作用的累計(jì)效果的度量功=力×力作用點(diǎn)沿力方向上的位移實(shí)功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功§13-3應(yīng)用圖乘法計(jì)算結(jié)構(gòu)位移第三十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日力狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿(mǎn)足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無(wú)關(guān)；第三十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日（2）廣義力、廣義位移一個(gè)力系作的總虛功W=P×

P---廣義力;

---廣義位移1)作虛功的力系為一個(gè)集中力2)作虛功的力系為一個(gè)集中力偶3)作虛功的力系為兩個(gè)等值反向的集中力偶4)作虛功的力系為兩個(gè)等值反向的集中力第三十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：（3）變形體的虛功原理Σfiδri=0→→.對(duì)于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。即第四十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日剛體系的虛位移原理去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。PΔ2Δ3Δ/2第四十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日原理的表述為任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功δWe，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和δWi。也即恒有如下虛功方程成立δWe=δWi變形體的虛功原理第四十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日δWi

的計(jì)算:δWi=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:微段變形可看成由如下幾部分組成:變形體虛功方程的展開(kāi)式微段剪切微段拉伸微段彎曲對(duì)于直桿體系，由于變形互不耦連，有:δWe

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds第四十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日（4）虛功原理的兩種應(yīng)用虛功原理用于虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實(shí)際的平衡力狀態(tài)之間。例13-6求A端的支座反力。解：去掉A端約束并代以反力X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bPX(b)P(c)直線(xiàn)待分析平衡的力狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：將代入得:通常取單位位移法第四十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-7求A端支座發(fā)生豎向位移c時(shí)引起C點(diǎn)的豎向位移。虛功原理用于虛設(shè)的平衡力狀態(tài)與實(shí)際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置單位荷載。ABaCbc1ABC由

求得：解得：?jiǎn)挝缓奢d法虛功方程為：第四十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱(chēng)為“虛位移原理”而將第二種應(yīng)用稱(chēng)為“虛力原理”。更確切的說(shuō)法為，兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的。

虛位移原理:一個(gè)力系平衡的充分必要條件是:對(duì)任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立.

虛力原理:一個(gè)位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對(duì)任意平衡力系,虛功方程成立”。第四十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日2、單位荷載法求k點(diǎn)豎向位移.由變形體虛功方程:變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)δWe=δWi

δWe=PΔiPδWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

適用于各種桿件體系(線(xiàn)性,非線(xiàn)性).第四十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求k點(diǎn)豎向位移.變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(P)平衡的力狀態(tài)(i)ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

----適用于各種桿件體系(線(xiàn)性,非線(xiàn)性).對(duì)于由線(xiàn)彈性直桿組成的結(jié)構(gòu)，有：適用于線(xiàn)彈性直桿體系。第四十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-8已知圖示粱的E、G,求A點(diǎn)的豎向位移。解：構(gòu)造虛設(shè)單位力狀態(tài).l對(duì)于細(xì)長(zhǎng)桿,剪切變形對(duì)位移的貢獻(xiàn)與彎曲變形相比可略去不計(jì)。第四十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日梁與剛架位移計(jì)算公式桁架組合結(jié)構(gòu)拱這些公式的適用條件是什么?第五十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日在桿件數(shù)量多的情況下,不方便。下面介紹計(jì)算位移的圖乘法.3、圖乘法及其應(yīng)用剛架與梁的位移計(jì)算公式為：第五十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D乘法(等截面桿)(對(duì)于直桿)第五十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日此時(shí)，圖乘法求位移公式為:圖乘法：梁或剛架結(jié)構(gòu)的位移積分公式等于一個(gè)彎矩圖的面積A與其所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線(xiàn)彎矩圖上的豎標(biāo)yc相乘再除以EI。A與yc在基線(xiàn)同側(cè)，取正號(hào)；A與yc在基線(xiàn)異側(cè)，取負(fù)號(hào)；yc只能取自直線(xiàn)圖形的彎矩圖，如果彎矩圖為折線(xiàn)，則應(yīng)分段計(jì)算第五十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置的確定方法第五十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-9試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角.解:MPMi第五十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-10試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移.解:MPMi第五十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D（

）圖BAq例13-11求圖示梁(EI=常數(shù),跨長(zhǎng)為l)B截面轉(zhuǎn)角解:第五十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日?qǐng)D形分解求MPMi第五十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求MPMi當(dāng)兩個(gè)圖形均為直線(xiàn)圖形時(shí),取那個(gè)圖形的面積均可。第五十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日MP求Mi取yc的圖形必須是直線(xiàn),不能是曲線(xiàn)或折線(xiàn).第六十頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求MPMi第六十一頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求MPMi第六十二頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日求C截面豎向位移MPMi第六十三頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日小結(jié)1.圖乘法的應(yīng)用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線(xiàn)；（3）應(yīng)取自直線(xiàn)圖中。2.若與在桿件的同側(cè)，取正值；反之，取負(fù)值。3.如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形。第六十四頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日

例13-12

已知EI為常數(shù)，求A、B兩點(diǎn)相對(duì)水平位移應(yīng)用舉例lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖第六十五頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-13已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP第六十六頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-14圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP第六十七頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-15圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP第六十八頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日例13-16圖示梁

EI

為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP第六十九頁(yè)，共七十九頁(yè)，編輯于2023年，星期日l(shuí)PlPl圖示