數(shù)學變式百例精講

在美麗的變式中領略數(shù)學的魅力《初中數(shù)學變式精講》（第2講）第一部分數(shù)學問題演變的意義與價值認識一、數(shù)學問題演變的意義二、數(shù)學問題演變的價值認識1、優(yōu)化學生思維素質(zhì)2、掌握貫通數(shù)學思想3、培養(yǎng)學習興趣，提高教學效益

以往的變式教學更多地在理論上列舉了一題多變、舉一反三的教學與學習的優(yōu)勢，更多地立足于宏觀教學理論上的探討。但作為一線教師對數(shù)學變式的途徑希望是明確再明確、具體再具體的，使每一個教師都能理解掌握并能熟練地進行操作。立足于課堂教學和學生解題訓練的實際，我研究了數(shù)學問題是如何深入和演變的具體途徑，注重于數(shù)學問題演變的具體的技術手段。八個具體技術手段和途徑：1、圖形內(nèi)部結構的變式探究2、幾何圖形形狀的變式探究3、對原題型的條件或結論的變式探究4、原題數(shù)量關系的變式探究5、因某一知識遷移的變式探究6、增加試題層次的變式探究7、轉(zhuǎn)化設問方向的變式探究8、縱橫交錯、信息互換的變式探究第二部分、培養(yǎng)數(shù)學問題演變能力的策略

一、重視基礎，溝通聯(lián)系案例1.求證：順次連結平行四邊形各邊中點所得的四邊形是平行四邊形。變式1、求證：順次連結矩形各邊中點所得的四邊形是菱形。變式2、求證：順次連結菱形各邊中點所得的四邊形是矩形。變式3、求證：順次連結正方形各邊中點所得的四邊形是正方形。變式5、順次連結什么四邊形中點得到矩形。變式6、順次連結什么四邊形中點得到菱形等。變式4、順次連結什么四邊形中點得到平行四邊形。例２、圓臺側面積公式為Ｓ＝π（Ｒ＋ｒ）ｌ．當ｒ＝０時，即圓臺體變形為圓錐體，圓錐體側面積公式為Ｓ＝πＲｌ；當Ｒ＝ｒ時，圓臺體變形為圓柱體，圓柱體側面積公式為Ｓ＝２πＲｌ．這樣，我們用整體的觀點，站在更高的層次上，分析與研究知識點之間的縱橫關系、因果關系、演變關系，溝通不同知識間的內(nèi)在聯(lián)系，以知識為經(jīng)、方法為緯，編織一個“知識網(wǎng)”，為進行數(shù)學問題演變奠定了堅實的知識基礎。二、推陳出新，發(fā)展思維案例3：如圖2-1，在Rt△ABC中，當∠C=90°，則c2=a2+b2（勾股定理）變式1、當∠C不是90°時，c2=a2+b2仍成立嗎？如不能成立，a、b、c三邊又成何關系式呢？

變式2、我們已知所有符合a2+b2=c2的正整數(shù)解即為一組勾股數(shù)，如：

3、4、5，5、12、13，9、40、41……那是否存在正整數(shù)

a、b、c使a3+b3=c3呢？變式3、當n>3時，是否存在正整數(shù)a、b、c，使也成立呢？這就是有名的數(shù)學難題——費馬最后定理。三、掌握規(guī)律，建立技能直覺思維辯證思維發(fā)散思維大膽猜想、類比、聯(lián)想熟悉化、簡單化、具體化、特殊化，組合、分拆解法發(fā)散，條件結論發(fā)散，動靜變換，主次易位，相關問題比擬A的變式策略構建檢驗與擇優(yōu)

問題A例1：如圖，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E為AB的中點，試判斷DE與CE是否相等，并說明理由。說明兩條線段相等，有時還可以通過第三條線段進行等量代換。變式題1：如圖，已知AD、BE分別是△ABC的BC、AC邊上的高，F(xiàn)是DE的中點，G是AB的中點，則FG⊥DE，請說明理由。變式題2：如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=∠DCB=90°,點M，N分別是BD、AC的中點，MN、AC的位置關系如何？ABCDMN例２已知點Ｐ（ａ－2，ａ２－４）在ｘ軸負半軸上，求點Ｐ坐標變式１已知Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在二、四象限的角平分線上，求點Ｐ坐標變式２若點Ｐ（ａ－２，ａ２－４）在直線ｙ=２ｘ＋３上，求點Ｐ的坐標．變式３已知點Ａ（－３，ｍ）、Ｂ（ｎ，４），若ＡＢ∥ｘ軸，求ｍ的值并確定ｎ的范圍．問題一：要在河邊修建一個水泵站，分別向兩側的村莊A,B送水，問水泵站應修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？請你來設計方案，怎樣設計才能使所用的水管最短？畫一畫問題二：要在河邊修建一個水泵站，分別向同側的村莊A,B送水，問水泵站應修建在河邊的什么地方，可使所用的水管最短？例1：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,則BP+PE最小值_____解:B的對稱點為C,連接CP只要C,P,E三點共線即可D變外形變式1：在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，在BC上找一點P,使AP+PE最小，則最小值是_______解：作E的對稱點E'，連接PE'，延長E'E，作AF⊥E'F∵AP+PE=AP+PE’∴A,P,E'三點共線時最小方法二：解：作A的對稱點A'，連接A’E，A’B∵AP+PE=A’P+PE∴A’,P,E三點共線時最小變式2：設正三角形ABC的邊長為2，E為AB上的中點，P為BC邊上的任意一點，PA＋PE的最大值和最小值分別記為s和t。求s2－t2＝＿＿。(2005.全國初中數(shù)學競賽題）解：由上題可知最小值為當P運動到于C重合時最大，最大值為變式3：如圖，在正方形ABCD中，E在BC上，BE＝2，CE＝1，P在BD上，則PE和PC的長度之和最小可達到＿＿＿＿。解：由正方形的對稱性質(zhì)，可知點E關于BD的對稱點E'在AB上，連CE'交BD于P，則PE＋PC最小此時PE'＝BE＝2PE'＝PE，PE＋PC=PE'＋PC=CE‘EABCDPE’變式4：如圖，已知⊙O的半徑為r，C、D是直徑AB同側圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°，BD的度數(shù)為36°，動點P在AB上，則CP＋PD的最小值為＿＿＿＿。解：如圖，設D'是D關于直徑AB的對稱點，連CD‘交AB于P則P點使CP＋PD最小?！逜C＝96°，BD＝36°，∴CD=180°－96°－36°＝48°∴CD‘=48°＋36°×2＝120°，∴∠COD'＝120°。從而易求CP＋PD＝CD'＝變式5：如圖，平面直角坐標系中，分別以點A(2，3),點B(3,4)為圓心，1，3為半徑作圓A,圓B,M,N分別是圓A,圓B上動點，P為X軸上的動點，則PM+PN的最小值解析：作圓A關于X軸的對稱圓A’,連接BA’分別交圓A’和圓B于M,N,交X軸于P,此時PM+PN最小A’B=即PA+PB的最小值為變式6：如圖，在第一象限上有兩點A（2,3）,B（4,5）請在x軸上找點P,則AP＋BP最小值是_____解：作點A關于直線l的對稱點A'，連結A'B交直線l于點p，兩線段的和AP＋BP＝A'P＋BP＝A'B=變式7：求代數(shù)式

的最小值。41813422+-++-xxxx解答要點：如圖，參考上題可知＝＝數(shù)形結合思想變式8：求代數(shù)式的最大值。解：連接BA并延長交x軸于點CAB即為差的最大值變式9：如圖，在第一象限上有兩點A（2,3）,B（4,-5）請在x軸找一點P,則最大值是_____解：作B的對稱點B’,連接B’A并延長交x軸于PAB’為的最大值變式10：如圖，在第一象限上有兩點A（2,3）,B（4,-5）請在x軸找一點P,則最小值時，P的坐標______解：連接AB，作AB的中垂線交X軸于點P∴P(7,0)(7,0)方法一:設P(x,0)∵AP=BP∴AP2=BP2∴（x-2)2+9=(x-4)2+25∴x=7變式11：如圖，在第一象限上有兩點A（2,3）,B（4,-5）請在x軸找一點P,則最小值時，P的坐標______解：連接AB，作AB的中垂線，交X軸于點P∵LAB:y=-4x+11∴P(7,0)(7,0)∴直線AB的中垂線的解析式:方法二:例3：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EP⊥ED，交線段AB于點P，交射線CB于點F，①求證：△ADE∽△AEP②設OA=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。③當BF=1時，求線段AP的長。（2005年上海中考壓軸題）ABCDEFPOABCDEO(F)(P)變式1、將原題中“交線段AB于P”改為“交直線AB于P”，則此題又將作何解答？在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EP⊥ED，交直線AB于點P，交射線CB于點F，①求證：△ADE∽△AEP②設OA=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。③當BF=1時，求線段AP的長。ABCDEOPF在△ABC中，等邊三角形ABC，AB=6，O是邊AC上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與邊AB相切于點D，交線段OC于點E，作EP⊥ED，交直線AB于點P，交射線CB于點F，①求證：△ADE∽△AEP②設OA=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。③當BF=1時，求線段AP的長。變式2、將原題中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”改為“等邊三角形ABC，AB=6”則此題又將作何解答？ABCPFDEO解：（1）結論△ADE∽△AEP仍成立。（2）在Rt△AOD中，∠A=60°，則AD=，OE=OD=所以AE=+x所以y=因為0＜AE≤AC所以0＜x≤24－12由△ADE∽△AEP，得，,即0＜≤6，ABCDEFPO變式3、將原題中“∠ABC=90°，AB=4，BC=3”改為“等腰直角三角形ABC，AB=4”則此題又將作何解答？變式4、將原題中“O點為斜邊AC上的一個動點”改為“O為直角邊AB上的一個動點”。在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O為直角邊AB上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與斜邊AC相切于點D，交線段OB于點E，作EP⊥ED，交直線AC于點P，交射線CB于點F，①求證：△ADE∽△AEP②設OA=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域。③當BF=1時，求線段AP的長。ABCEDOFP變式5：在△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，O是邊AB上的一個動點，以點O為圓心作半圓，與斜邊AC相切于點D，交線段OB于點E，作EP⊥ED，交直線AC于點P，交直線CB于點F①求證：△ADE∽△AEP②設OA=x，AP=y，求y關于x的函數(shù)解析式。③當CF=1時，求線段AP的長。ABCEDFPO（2013寧波考試說明）如圖，四根長度均為2的小棒AB,BC,CD,DE,四根長度均為的小棒EF,FG,GH,HA，首尾順次相連恰好放在一個圓周上，連接OD,OF.(1)求∠DOF的度數(shù);(2)求⊙O的半徑;(3)求陰影部分的面積.解(1)(2)過F作FP⊥DE于P,連結DF,

在Rt△EFP中,∠FEP=45°,EF=∴EP=FP=2,∴在Rt△DFP中,∵△DOF是等腰直角三角形∴OD=(3)（2013寧波17）如圖，AE是半圓O的直徑，弦AB=BC=，弦CD=DE=4，連結OB，OD，則圖中兩個陰影部分的面積和為▲．BDACOE（2013寧波中考說明）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BCE的周長等于▲_C_E_B_A_D（2013寧波中考說明）如圖，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，E在AB上，DE⊥EC，AD+DE=AB=8，那么△BCE的周長等于▲解：設則在Rt△ADE中，即_C_E_B_A_DEBACD（2013寧波中考備用卷18）如圖，在四邊形ABCD中，E是BC上的一點，∠AED=∠B=∠C=60°AB+AE=BC=8，BE=2，則△CDE的周長為。圖圖nm（第12題）（2012寧波12）．把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片(如圖①)不重疊地放在一個底面為長方形(長為mcm，寬為ncm)的盒子底部(如圖②)，盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖②中兩塊陰影部分周長和是

(A)4mcm(B)4ncm(C)2(m+n)cm(D)4(m-n)cm點評：本題屬于國際上較為流行的PISA題，是對一道PISA原題的重新挖掘和再創(chuàng)造，它具有PISA題的三個明顯特征：情景、運用、思維。本題通過對實際問題的解決，考查學生的數(shù)學分析能力與數(shù)學基本素養(yǎng)，其中蘊含了初中數(shù)學中兩種重要的數(shù)學思想——整體思想和方程思想，是融PISA理念和初中數(shù)學思想于一體的經(jīng)典范例。（2013寧波12）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示，設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S．當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a,b滿足（A）（B）

（C）（D）CABDabC如圖，當BC變?yōu)锽C’時，左上角的陰影部分面積增加了長方形DEE’D’部分，右下角陰影部分面積增加了長方形ECC’E’部分，要使S保持不變，只需而EE’=CC’,故只需DE=CE，即a=3b.(2013?寧波第12題）7張如圖1的長為a，寬為b（a＞b）的小長方形紙片，按圖2的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個矩形）用陰影表示．設左上角與右下角的陰影部分的面積的差為S，當BC的長度變化時，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，則a，b滿足（）A．a(chǎn)=5/2bB．a(chǎn)=3bC．a(chǎn)=72bD．a(chǎn)=4b圖①圖②解法三：(2011寧波18）如圖，正方形A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形P2P3A2B2，頂點P3在反比例函數(shù)的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，則點P3的坐標為

．點評：此題以反比例函數(shù)為載體設置問題，實現(xiàn)了雙曲線與兩個正方形的圖形的完美組合，題目設置新穎巧妙，要求學生利用正方形和雙曲線圖形的對稱性，過作x軸和y軸的垂線，再通過證明三角形全等的途徑得出點的坐標進而類似地得到點的坐標。本題體現(xiàn)了數(shù)學結合、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，較好地考查了學生應用相應的數(shù)學思想方法解決問題的能力.（2013寧波18）如圖，等腰直角三角形ABC頂點A，C在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E，連結DE.當△BDE∽△BCA時，點E的坐標為

．ACOBDExy寧海星海中學王偉

變式中的極端化思想是指把問題的某一條件引向極端來加以考察。數(shù)學中很多問題，若運用極端化思想去處理，不僅能迅速猜測出答案，還能啟發(fā)解題策略，可使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而使問題獲得迅速解決。例1、如圖已知：C、D是線段AB上兩點，且AB=20cm，CD=6cm，M是AD的中點，N是BC的中點，則線段MN=特殊情況：當點C與點A重合時7解法：設AC=x，則AD=AC+CD=6+x，BC=20-x∵M是AD的中點∴MD=AM=3+x∵N是BC的中點∴CN=BC=10-x∴MN=CN+AC-AM=10-x+x-(3+x)=7特殊位置例2、在等邊三角形ABC中，M,N分別是邊AB,AC的中點D為MN上任意一點，BD,CD的延長線分別交于ACAB于點E,F,若

則△ABC的邊長為多少？特殊情況：當D是MN的中點時解：∵M.N是AB,AC中點，D是MN中點

例2、在等邊三角形ABC中，M,N分別是邊AB,AC的中點D為MN上任意一點，BD,CD的延長線分別交于ACAB于點E,F,若

則△ABC的邊長為多少？特殊情況2：當D與M重合時解：∵M.N是AB,AC中點，D是MN中點例3、在等邊三角形ABC中，M,N分別是邊AB,AC的中點D為MN上任意一點，BD,CD的延長線分別交于ACAB于點E,F,若

則△ABC的邊長為多少？解：過點D分別作DG//AB,DH//AC則△DGH為等邊三角形例4、如圖，直線

交x軸于點C，交y軸于點D，點P是反比例函數(shù)第一象限圖象上的一點，過點P作y軸的平行線交直線CD于點E，過點P作x軸的平行線交直線CD于點F，則=

.特殊情況:取點P（1，1）時由直線

可得點C（

，0）點D（0，

），點E（1，

），點F（

，0）∴∴2例4、如圖，直線

交x軸于點C，交y軸于點D，點P是反比例函數(shù)第一象限圖象上的一點，過點P作y軸的平行線交直線CD于點E，過點P作x軸的平行線交直線CD于點F，則=

.∴解法：設點P（

），由直線

可得點C（

，0），點D（0，），點E（）點F（）∴2例5、如圖，M為雙曲線上一點，過點M作x軸、y軸垂線，分別交直線y=-x+m于D、C兩點，若直線y=-x+m與y軸交于A，與x軸交于B，則AD·BC的值為例6、如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC-ND=

特殊情況1：當點A與點C重合時4例6、如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC-ND=

4特殊情況2：當點C與點D重合時例6、如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交于⊙O，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC-ND=

解法：連結OA，過O點作OH⊥AB于H4例7、如圖△ABC中，∠ACB=900，AB=2，M是△ABC的內(nèi)心，CM的延長線交△ABC的外接圓于點D，則DM的長為例7、如圖△ABC中，∠ACB=900，AB=2，M是△ABC的內(nèi)心，CM的延長線交△ABC的外接圓于點D，則DM的長為特殊情況1：點C與點B重合例7、如圖△ABC中，∠ACB=900，AB=2，M是△ABC的內(nèi)心，CM的延長線交△ABC的外接圓于點D，則DM的長為特殊情況2：當點C運動到AB中點時⌒作ME⊥AC，∵M是△ABC的內(nèi)心∴M是△ABC內(nèi)切圓的圓心設ME=MO=x例7、如圖△ABC中，∠ACB=900，AB=2，M是△ABC的內(nèi)心，CM的延長線交△ABC的外接圓于點D，則DM的長為解法：連結AO,DO,AM∵M是△ABC的內(nèi)心∴CD,AM分別是∠ACB,∠CAB的角平分線∴D是AB中點∴DO⊥AB∵∠ACB=900，CD平分∠ACB∴∠ACD=∠BCD=450∴∠DAB=∠DCB=450∴設∠CAM=∠MAB=x∴∠AMD=45+x,∠DAM=45+x∴∠AMD=∠DAM∴DM=AD=⌒例8如圖，⊙O是銳角△CBD的外接圓，AB是⊙O的直徑，連結AC,若∠DCB=θ,則CD與AC,BC,θ之間的關系特殊解法：當CD⊥AB時∵AB是直徑∴∠ACB=900∴∠DCB=∠CAB=θ∴CD=2CH=AC·sinθ+BC·cosθ常規(guī)解法1：連結AD∠DCB=∠DAB=θ∴AD=AB·cosθDB=AB·sinθ利用托密勒定理可得AB·CD=AC·DB+BC·AD∴AB·CD=AC·AB·sinθ+BC·AB·cosθ∴CD=AC·sinθ+BC·cosθ例8如圖，⊙O是銳角△CBD的外接圓，AB是⊙O的直徑，連結AC,若∠DCB=θ,則CD與AC,BC,θ之間的關系常規(guī)解法2：連接AD,過點B作BH⊥CD設AC=x,CD=y,CB=z∠CDB=∠CAB=α解法：∵CD與AB重合∴B、D、H重合∴DH=0,HF=3∴DH+HF=3特殊情況1：當點CD與點AB重合時例9、（2015年寧海）H為△ABC的垂心，且AB=CD=6,F為AB中點，求DH+HF的值特殊情況2：當點D與點F重合時例9、（2015年寧海）H為△ABC的垂心，且AB=CD=6,F為AB中點，求DH+HF的值例9、（2015年寧海）H為△ABC的垂心，且AB=CD=6,F為AB中點，求DH+HF的值∽

浙江寧海桃源中學王偉ba變式---讓思維多走一步

今有一副三角板(如圖1)，中間各有一個直徑為3.5cm的圓，現(xiàn)三角板a的300角的那一頭穿過三角板b中的圓(如圖2)，求三角板a穿過三角板b中圓的那部分的最大面積(不計三角板的厚度).baBCA如圖2ab如圖1例題展示：A圖3aCBbaBCA如圖2問題1：當三角板a中300角的那頭盡可能大的穿過三角板b中的圓(如圖2)，在穿過的那部分中,哪些量是不變的，哪些量是要變的;問題2：若把三角板a穿過三角板b中圓的那部分割下來，就得到:問題3：這樣就轉(zhuǎn)化為如何求△ABC的最大面積.△ABC(如圖3)思路分析：·ABCOA/知識點探究1：

如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，

AB是⊙O的直徑，∠A=300，

BC=2.求⊙O的直徑.如圖（1）·0ABC圖（1）·0ABC圖（1）4變式二：△ABC中，滿足∠A=300，BC=2.·0ABCA/問題1:滿足條件的△ABC我們能畫出幾個？AB的最大值為4.問題2：在運動過程中線段AB有最大值嗎？有規(guī)律嗎？問題3：在運動過程中，△ABC有最大面積嗎？

只要BC邊上的高最大,即A到BC邊的距離最大.

此時點A運動到BC的垂直平分線上時，即BC邊上的高最大如圖（2）.·0BCA/A0C=BC=2,OD=∴

△ABC的最大面積=分析如圖（2）：圖2有連OB、OCD例：今有一幅三角板(如圖4)，中間各有一個直徑為3.5cm的圓，現(xiàn)三角板a的30°角的那一頭穿過三角板b中的圓(如圖2)，求三角板a穿過三角板b中的圓的那部分的最大面積

(不計三角板的厚度).baBCA如圖2ab如圖1學以致用：0A/D·AaCB

作△ABC的外接圓0.

∴當點A運動到點A/時，即A/在BC的中垂線上,此時BC邊上的高最大為A/D.

可求得：0C=BC=3.5,0D=

∴

△ABC最大面積=思考：如何求△ABC的最大面積？baBCA如圖2操作：現(xiàn)把三角板a通過三角板b中圓的那一部分割下來，就得到△ABC.簡解：

知識點探究2：即:在△ABC中,BC=a,且銳角∠BAC=,

求△ABC的最大面積.此時△ABC就是以BC為底邊的等腰三角形BAC代數(shù)法求解：

知識點歸納1：(1):當∠C=900時,AB最長

在△ABC中,BC=a,且銳角∠BAC=此時△ABC就是以BC為底邊的等腰三角形知識點歸納1:知識點歸納2:(2)：BAC試一試：例1、（2011.陜西）.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC丄BD.若AD=3，BC=7，則梯形ABCD面積的最大值為

.

ES梯形ABCD的最大值=25例2：如圖，已知在邊長為8的正方形ABCD中，E是BC的中點，P在過A、E、D三點的圓上，則△APE面積的最大值是

OP1M簡解：N利用Rt△AON,求出半徑OA=5，即：S△AEP1=再利用Rt△OAM，求出OM=所以△APE面積的最大值是△AP1E例3：如圖，⊙O半徑為3，Rt△ABC的頂點A，B在⊙O上，∠B=90°,點C在⊙O內(nèi)，且tanA=,當點A在圓上運動時，OC的最小值為

探索：

在△ABC中,BC=a,且銳角∠BAC=.

當AB=AC時，△ABC的周長是否也是最大？分析：因為△ABC的周長=AB+AC+BC，所以要使周長最大，即AB+AC最大1、作△ABC的外接圓⊙O(如圖).O2、作BC的中垂線，交⊙O于A/.A/3、連A/C4、以A/為圓心，A/C為半徑作⊙A/5、延長CA交⊙A/于DD6、