2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市贛馬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省連云港市贛馬中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知m，n為正數(shù)，向量，若，則的最小值為（

）A．3

B．

C．

D．7參考答案：C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).2.設(shè)m,n是不同直線(xiàn)，α、β、r是不同的平面，以下四個(gè)命題中，正確的為（

）①若α∥β，α∥r，則β∥r

②若α⊥β，m∥α，則m⊥β③若m⊥α，m∥β，則α⊥β

④若m∥n，nα則m∥αA．①④

B．②③

C．②④

D．①③參考答案：D3.已知命題函數(shù)的定義域?yàn)?，命題不等式對(duì)一切正實(shí)數(shù)均成立．如果，命題“”為真命題，命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）．A．

B．

C．

D．無(wú)解參考答案：B4.秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例.若輸入n，x的值分別為4，2，則輸出v的值為（

）A.12 B.25 C.50 D.99參考答案：C【分析】由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足條件，所以退出循環(huán)，輸出.【詳解】輸入的初始值，程序運(yùn)行的結(jié)果如下:，，，，，時(shí)，退出循環(huán)，輸出.【點(diǎn)睛】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用、正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的值是解題的關(guān)鍵.5.高三（三）班學(xué)生要安排畢業(yè)晚會(huì)的3個(gè)音樂(lè)節(jié)目，2個(gè)舞蹈節(jié)目和1個(gè)曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個(gè)舞蹈節(jié)目不連排，3個(gè)音樂(lè)節(jié)目恰有兩個(gè)節(jié)目連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．240 B．188 C．432 D．288參考答案：D【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題．【分析】由題意，可先將兩個(gè)音樂(lè)節(jié)目綁定，與另一個(gè)音樂(lè)節(jié)目看作兩個(gè)元素，全排，由于三個(gè)音樂(lè)節(jié)目不能連排，故可按一個(gè)曲藝節(jié)目在此兩元素之間與不在兩元素之間分成兩類(lèi)分別記數(shù)，即可得到所有的排法種數(shù)，選出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意，可先將兩個(gè)音樂(lè)節(jié)目綁定，共有=6種方法，再將綁定的兩個(gè)節(jié)目看作一個(gè)元素與單獨(dú)的音樂(lè)節(jié)目全排有=2第三步分類(lèi)，若1個(gè)曲藝節(jié)目排在上述兩個(gè)元素的中間，則它們隔開(kāi)了四個(gè)空，將兩2個(gè)舞蹈節(jié)目插空，共有=12種方法；

若1個(gè)曲藝節(jié)目排不在上述兩個(gè)元素的中間，則它有兩種排法，此時(shí)需要從兩2個(gè)舞蹈節(jié)目選出一個(gè)放在中間避免3個(gè)音樂(lè)節(jié)目相連，有兩種選法，最后一個(gè)舞蹈節(jié)目有三種放法綜上，所以的不同排法種數(shù)為6×2×（1×12+2×2×3）=288故選D6.以點(diǎn)（5，4）為圓心且與x軸相切的圓的方程是（）A．（x﹣5）2+（y﹣4）2=16 B．（x+5）2+（y﹣4）2=16 C．（x﹣5）2+（y﹣4）2=25 D．（x+5）2+（y﹣4）2=25參考答案：A【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】由A點(diǎn)到x軸的距離為A縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，得到圓的半徑為4，由圓心和半徑寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可．【解答】解：由題意得：圓的半徑r=4，則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣5）2+（y﹣4）2=16．故選A．7.下列命題中,真命題是（）A．

B．

C．的充要條件是

D．是的充分條件參考答案：D8.若對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤參考答案：A【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，運(yùn)用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范圍．【解答】解：由x＞0，=，令t=x+，則t≥2=2當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，t取得最小值2．取得最大值，所以對(duì)于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則a≥，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．9.函數(shù)的圖象如圖所示，若，則等于（

）A．

B．C．0

D．參考答案：C略10.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：的左右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P在以線(xiàn)段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則a的取值范圍為

▲

．參考答案：12.如圖與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，，，則點(diǎn)到平面的距離是__________.參考答案：13.已知、都是銳角，，則的值為

.參考答案：略14.已知,：（）,若p是q的充分不必要條件，則a的取值范圍為_(kāi)_________.參考答案：

15.下列函數(shù)中，對(duì)定義域內(nèi)任意恒成立的有：①；②；③；④；

（填序號(hào)）參考答案：①②④16.．直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)___________．參考答案：17.函數(shù)的最大值為_(kāi)________.參考答案：5略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.推理判斷命題“已知a、x為實(shí)數(shù)，如果關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有解，則a≥1”的逆否命題的真假．參考答案：逆否命題：已知a、x為實(shí)數(shù)，如果a<1，則關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0無(wú)解．

…………4分判斷如下：二次函數(shù)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2圖象的開(kāi)口向上，判別式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0.…………10分即二次函數(shù)y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2與x軸無(wú)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集為空集，故逆否命題為真．……12分方法二(先判斷原命題的真假)∵a、x為實(shí)數(shù)，且關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有解，∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥，∵a≥>1，∴原命題為真．又∵原命題與其逆否命題等價(jià)，∴逆否命題為真．方法三(利用集合的包含關(guān)系求解)命題p：關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有非空解集．命題q：a≥1.∴p：A＝{a|關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0有實(shí)數(shù)解}＝{a|(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0}＝，q：B＝{a|a≥1}．∵AB，∴“若p，則q”為真，19.已知函數(shù)f（x）=2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]，g（x）=，x∈（0，e]，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）求證：在（Ⅰ）的條件下f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x））+，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可證得結(jié)論；（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，求導(dǎo)函數(shù)，分類(lèi)討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f′（x）=2﹣=，x∈（0，e]，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）的極小值為f（）=1，故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，e]，f（x）的極小值為f（）=1，無(wú)極大值．（Ⅱ）令h（x）=g（x）+=+，h′（x）=，x∈（0，e]，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，h′（x）＞0，此時(shí)h（x）單調(diào)遞增，所以h（x）max=h（e）=+＜1，由（Ⅰ）知f（x）min=1，所以在（Ⅰ）的條件下f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=2ax﹣ln（2x），x∈（0，e]有最小值3，f′（x）=2a﹣=，x∈（0，e]，①當(dāng)a≤0時(shí)，因?yàn)閤∈（0，e]，所以f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（e）=2ae﹣ln（2e）=3，解得a=（舍去），②當(dāng)0＜＜e，即a＞時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（）=1﹣ln=3，解得a=e2，滿(mǎn)足條件，③當(dāng)≥e，即0＜a≤時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，所以f（x）min=f（e）=2ae﹣ln（2e）=3，解得a=（舍去），綜上，存在實(shí)數(shù)a=e2，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）的最小值為3．20.．（本小題滿(mǎn)分13分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為橢圓的上頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形.（Ⅰ） 求橢圓的方程；（Ⅱ） 是否存在直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且使為△的垂心？若存在，求出直線(xiàn)的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案：解：(Ⅰ)由兩焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為的正方形得：所以橢圓方程的為

………………4分(Ⅱ)假設(shè)存在直線(xiàn)交橢圓于兩點(diǎn)，且使為△的垂心設(shè)，，故，故直線(xiàn)的斜率所以設(shè)直線(xiàn)的方程為，由得由題意知△＞0，即＜3

……7分且

由題意應(yīng)有，又故

…………9分，解得或

……11分

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，△不存在，故舍去；

當(dāng)時(shí)，所求直線(xiàn)滿(mǎn)足題意

綜上，存在直線(xiàn)，且直線(xiàn)的方程為

……13分略21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列中，，點(diǎn)在直線(xiàn)上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式和；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并求的最小值．參考答案：（1）∵當(dāng)時(shí)，解得

當(dāng)時(shí)，得又，所以

…………4分∵點(diǎn)在直線(xiàn)上∴即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又可得………6分（II）∵∴兩式相減得即因此：

……….11分∵單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)最小值為3………13分22.根據(jù)下列條件求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3，），Q（﹣，5）；（2）c=，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣5，2），焦點(diǎn)在x軸上．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）設(shè)雙曲線(xiàn)方程為mx