直角三角形和勾股定理 省賽獲獎(jiǎng)

第24課時(shí)直角三角形和勾股定理1．[2018·濱州]在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為 (

) A．5 B．6 C．7 D．82．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，斜邊AB的長(zhǎng)為2cm，則AC長(zhǎng)為 (

) A．4cm B．2cmAC3．如圖24－1，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，高BD為4cm，BC是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)D出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)C的最短路程大約是 (

) A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm圖24－1B

第3題答圖【解析】如答圖，將圓柱體展開(kāi)，連結(jié)DC，圓柱體的底面周長(zhǎng)為24cm，則DA＝12cm，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，4．如圖24－2，在Rt△ABC中，E是斜邊AB的中點(diǎn)，若AB＝10，則CE＝_____．圖24－251．直角三角形

定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形．

直角三角形的性質(zhì)： (1)直角三角形的兩個(gè)銳角________； (2)直角三角形的斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的________； (3)在直角三角形中，30°的角所對(duì)的邊等于斜邊的________．

直角三角形的判定：有兩個(gè)角________的三角形是直角三角形．互余一半一半互余2．勾股定理

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2＋b2＝______．c2【知識(shí)拓展】勾股定理的作用：(1)已知直角三角形的兩條邊，求第三邊；(2)已知直角三角形的一邊，確定另外兩邊的關(guān)系；(3)證明帶有平方關(guān)系的問(wèn)題；(4)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問(wèn)題．3．勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，并且滿(mǎn)足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是________三角形．

勾股數(shù)：能構(gòu)成直角三角形的三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)．

【知識(shí)拓展】

勾股定理逆定理的應(yīng)用： (1)判斷三角形的形狀； (2)證明兩條線(xiàn)段垂直； (3)實(shí)際應(yīng)用．直角1．面積法

用面積法證明是常用的技巧之一，勾股定理的證明通常用面積法．即利用某個(gè)圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到證明的結(jié)論．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想

在解決一些實(shí)際問(wèn)題時(shí)，如立體圖形側(cè)面兩點(diǎn)的距離問(wèn)題，折疊問(wèn)題，航海問(wèn)題，梯子下滑問(wèn)題等，常直接或間接運(yùn)用勾股定理及其逆定理，解決這些問(wèn)題的過(guò)程，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，這是中考的熱點(diǎn)．類(lèi)型一直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用典例[2018·揚(yáng)州]如圖24－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是 (

) A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC圖24－3C【解析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD＝∠A，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得出∠ACE＝∠DCE，再結(jié)合∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE即可得出∠BEC＝∠BCE，利用等角對(duì)等邊即可得出BC＝BE，此題得解．∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACD＋∠BCD＝90°，∠ACD＋∠A＝90°，∴∠BCD＝∠A.∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE.又∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，∠BCE＝∠BCD＋∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE.跟蹤訓(xùn)練1.[2018·黃岡]如圖24－4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為AB邊上的高，CE為AB邊上的中線(xiàn)，AD＝2，CE＝5，則CD＝ (

)A．2 B．3圖24－4C【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE為AB邊上的中線(xiàn)，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝2，∴DE＝3，∵CD為AB邊上的高，2．[2019·中考預(yù)測(cè)]如圖24－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，邊AB的垂直平分線(xiàn)DE交AB于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，CD＝3，則BC的長(zhǎng)為 (

)圖24－5C【解析】線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端距離相等，AD＝BD，可得∠DAE＝30°，易得∠ADC＝60°，∠CAD＝30°，則AD為∠BAC的平分線(xiàn)，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)，得DE＝CD＝3，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BD＝2DE＝6.所以BC＝9.思維升華在直角三角形中，熟記含30°角、含45°角的直角三角形的直角邊與斜邊的關(guān)系，對(duì)我們解決填空題、選擇題有很大的幫助．在含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半；在含45°角的直角三角形中，斜邊是直角邊的倍．類(lèi)型二勾股定理及其應(yīng)用典例[2017·紹興]如圖24－6，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端到左墻角的距離為0.7m，頂端距離地面2.4m，如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離地面2m，則小巷的寬度為 (

) A．0.7m B．1.5m C．2.2m D．2.4m圖24－6C【解析】如答圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7m，AC＝2.4m，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2m，BD2＋A′D2＝A′B2，∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5m，∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(m)．典例答圖【解析】分兩種情況：①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如答圖①，②當(dāng)△ABC是鈍角三角形，如答圖②，分別根據(jù)勾股定理計(jì)算AC和BC即可．

跟蹤訓(xùn)練1答圖① 跟蹤訓(xùn)練1答圖②①當(dāng)△ABC是銳角三角形，如答圖①，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，2.[2018·湘潭]《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖24－7所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的長(zhǎng)，如果設(shè)AC＝x，則可列方程為_(kāi)__________________．【解析】設(shè)AC＝x，∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.圖24－7x2＋32＝(10－x)2類(lèi)型三勾股定理的面積關(guān)系典例[2019·中考預(yù)測(cè)]如圖24－8①，以直角三角形a，b，c為邊，向外分別作等邊三角形，半圓，等腰直角三角形和正方形，上述四種情況中，面積關(guān)系滿(mǎn)足S1＋S2＝S3的圖形個(gè)數(shù)有 (

)

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)圖24－8D【解析】根據(jù)直角三角形以a，b，c為邊，應(yīng)用勾股定理，可得a2＋b2＝c2.①第一個(gè)圖形中，首先根據(jù)等邊三角形的面積的求法，表示出3個(gè)三角形的面積，然后根據(jù)a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；②第二個(gè)圖形中，首先根據(jù)圓的面積的求法，表示出3個(gè)半圓的面積，然后根據(jù)a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；③第三個(gè)圖形中，首先根據(jù)等腰直角三角形的面積的求法，表示出3個(gè)等腰直角三角形的面積，然后根據(jù)a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3；④第四個(gè)圖形中，首先根據(jù)正方形的面積的求法，表示出3個(gè)正方形的面積，然后根據(jù)a2＋b2＝c2，可得S1＋S2＝S3.在圖④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.綜上所述，可得面積關(guān)系滿(mǎn)足S1＋S2＝S3的圖形有4個(gè)．故選D.跟蹤訓(xùn)練1.如圖24－9是一株美麗的勾股樹(shù)，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2，則最大的正方形E的面積是______．【解析】根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A，B的面積和為S1，C，D的面積和為S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.圖24－9102．如圖24－10是一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開(kāi)始，以它的一邊為斜邊，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角邊為邊，分別向外作正方形②和②′，…以此類(lèi)推，若正方形①的邊長(zhǎng)為64cm，則第4個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_____cm.圖24－10163．[2019·中考預(yù)測(cè)]如圖24－11，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，S2019的值為_(kāi)_______．圖24－11類(lèi)型四平面展開(kāi)最短線(xiàn)段問(wèn)題典例[2018·黃岡]如圖24－12，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長(zhǎng)為32cm，在杯內(nèi)壁離杯底5cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為_(kāi)_____cm.(杯壁厚度不計(jì))圖24－1220典例答圖圖24－13D

跟蹤訓(xùn)練1答圖2．如圖24－14是一塊長(zhǎng)、寬、高分別是6cm，4cm和3cm的長(zhǎng)方體木塊．一只螞蟻要從長(zhǎng)方體木塊的一個(gè)頂點(diǎn)A處，沿著長(zhǎng)方體的表面到長(zhǎng)方體上和A點(diǎn)相對(duì)的頂點(diǎn)B處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是 (

)圖24－14C

跟蹤訓(xùn)練2答圖3．我國(guó)古代有這樣一道數(shù)學(xué)問(wèn)題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問(wèn)葛藤之長(zhǎng)幾何？”題意是：如圖24－15，把枯木看做一個(gè)圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長(zhǎng)為3尺，有葛藤自點(diǎn)A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點(diǎn)B處．則問(wèn)題中葛藤的最短長(zhǎng)度是______尺．圖24－1525

跟蹤訓(xùn)練3答圖思維升華在求幾何體表面上兩點(diǎn)之間的最短距離時(shí)，可以通過(guò)把立體圖形展開(kāi)成平面圖形，利用勾股定理求出幾何體表面上兩點(diǎn)之間的距離來(lái)解決．類(lèi)型五勾股定理的逆定理典例如圖24－16，E是正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，連結(jié)AE，BE，CE，將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置．若AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝_________．圖24－16135°

典例答圖【解析】首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，進(jìn)而根據(jù)勾股定理的逆定理求出△EE′C是直角三角形，從而得出答案．如答圖，連結(jié)EE′，∵將△ABE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′的位置，AE＝1，BE＝2，CE＝3，∴∠EBE′＝90°，BE＝BE′＝2，AE＝E′C＝1，∵E′E2＋E′C2＝8＋1＝9，又∵EC2＝9，∴E′E2＋E′C2＝EC2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C＝90°，∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.跟蹤訓(xùn)練如圖24－17，已知AB＝4，BC＝3，AD＝12，DC＝13，∠B＝90°，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)_____．【解析】如答圖，連結(jié)AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝AB2＋BC2＝16＋9＝25，∵AD2＝144，DC2＝169，∴AC2＋AD2＝DC2，∴△CAD為直角三角形，即∠CAD＝90°，圖24－17跟蹤訓(xùn)練答圖36類(lèi)型六趙爽弦圖典例[2018·溫州]我國(guó)古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱(chēng)直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，得到一個(gè)恒等式．后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理，如圖24－18所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成，若a＝3，b＝4，則該矩形的面積為(

)圖24－18B【解析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長(zhǎng)即可，由此可設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，在Rt△ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進(jìn)而可求出該矩形的面積．設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，∵a＝3，b＝4，∴AB＝3＋4＝7，在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，即(3＋x)2＋(x＋4)2＝72，整理得x2＋7x－12＝0，A．12S B．10SC．9S D．8SC圖24－192．[2018·婁底]如圖24－20，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面