必修二立體幾何初步知識點整理(補課專用)

必修二立體幾何初步知識點整理一、基礎(chǔ)知識（理解去記）（一）空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征（1）多面體——由若干個平面多邊形圍成的幾何體 .圍成多面體的各個多邊形叫叫做多面體的面，相鄰兩個面的公共邊叫做多面體的棱，棱與棱的公共點叫做頂點。旋轉(zhuǎn)體——把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征1.棱柱1.1棱柱——有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。E' D'1.2相關(guān)棱柱幾何體系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的關(guān)側(cè)面F'C'系：A'B'l斜棱柱側(cè)棱底面①棱柱底面是正多形正棱柱ED棱垂直于底面直棱柱FC其他棱柱LAB②四棱柱底面為平行四邊形平行六面體側(cè)棱垂直于底面直平行六面體底面為矩形長方體底面為正方形正四棱柱側(cè)棱與底面邊長相等 正方體1.3棱柱的性質(zhì)：①側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形；②兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形；③過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面是平行四邊形；④直棱柱的側(cè)棱長與高相等，側(cè)面與對角面是矩形。補充知識點 長方體的性質(zhì)：①長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的平方和； 【如圖】AC12AB2AD2AA121.4側(cè)面展開圖：正n棱柱的側(cè)面展開圖是由n個全等矩形組成的以底面周長和側(cè)棱長為鄰邊的矩形.1.5面積、體積公式：S直棱柱側(cè)ch（其中cSch2S，VSh直棱柱全底棱柱底為底面周長，h為棱柱的高）2.圓柱2.1圓柱——以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱.母線2.2圓柱的性質(zhì)：上、下底及平行于底面的截面都是等圓；過軸的截面（軸截面）是全等的矩形.2.3側(cè)面展開圖：圓柱的側(cè)面展開圖是以底面周長和母線長為鄰邊的矩形.1/8

D1C1A1B1DCABA'O'C'軸B'軸截面AOC側(cè)面B底面2.4面積、體積公式 ：S圓柱側(cè)=2 rh；S圓柱全=2rh 2r2，V圓柱=S底h= r2h（其中r為底面半徑，h為圓柱高）3.棱錐3.1棱錐——有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐。正棱錐——如果有一個棱錐的底面是正多邊形，并且頂點在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。3.2棱錐的性質(zhì)：①平行于底面的截面是與底面相似的正多邊形，相似比等于頂點到截面的距離與頂點到底面的距離之比；②正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面是全等的等腰三角形；③正棱錐中六個元素，即側(cè)棱、高、斜高、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影、斜高在底面的射影、底面邊長一半，構(gòu)成四個直角三角形。

高S頂點側(cè)面?zhèn)壤獾酌嫘备逥COHAB）（如上圖： VSOB,VSOH,VSBH,VOBH為直角三角形）3.3側(cè)面展開圖：正n棱錐的側(cè)面展開圖是有n個全等的等腰三角形組成的。3.4面積、體積公式：S正棱錐側(cè)=1ch，S正棱錐全=1chS底，V棱錐=1S底h.S223頂點（其中c為底面周長，h側(cè)面斜高，h棱錐的高）4.圓錐母線軸4.1圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋h側(cè)面轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐。l4.2圓錐的性質(zhì)：軸截面①平行于底面的截面都是圓，截面直徑與底面直徑之比等于頂點到截面rB的距離與頂點到底面的距離之比；AO②軸截面是等腰三角形；如右圖：VSAB底面③如右圖：l2h2r2.S4.3圓錐的側(cè)面展開圖：圓錐的側(cè)面展開圖是以頂點為圓心，以母線長為半徑的扇形。上底面4.4面積、體積公式：D'C'高A'O'M1S圓錐側(cè)=rl，S圓錐全=r(rl)，V圓錐=r2h（其中B'3下底面Cr為底面半徑，h為圓錐的高，l為母線長）DO頂點ANB5.棱臺

側(cè)棱側(cè)面斜高5.1棱臺——用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.5.2正棱臺的性質(zhì)：①各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰梯形；②正棱臺的兩個底面以及平行于底面的截面是正多邊形；③如右圖：四邊形O`MNO,O`B`BO都是直角梯形S④棱臺經(jīng)常補成棱錐研究.如右圖：VSO`M與VSON,VS`O`B`與VSOB相似，注意考慮相似比.5.3棱臺的表面積、體積公式：S全＝S＋S下底＋S側(cè)，rO'上底面AD上底軸1h側(cè)面S,S`母線V棱臺S`)h，（其中是上，下底面面積，h為棱＝（＋l軸截面32/8BROC下底面臺的高）6.圓臺6.1圓臺——用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.6.2圓臺的性質(zhì)：①圓臺的上下底面，與底面平行的截面都是圓；②圓臺的軸截面是等腰梯形；球面③圓臺經(jīng)常補成圓錐來研究。如右圖：球心軸VSO`A與VSOB相似，注意相似比的應用.半徑6.3圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)；O6.4圓臺的表面積、體積公式：S全＝r2R2(Rr)l，11Rdr2rRR2)h，（其中r，RrV圓臺＝（S＋SS`S`)h＝（O1B33A為上下底面半徑，h為高）7.球7.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.或空間中，與定點距離等于定長的點的集合叫做球面，球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球；7.2球的性質(zhì)：①球心與截面圓心的連線垂直于截面；②rR2d2（其中，球心到截面的距離為d、球的半徑為R、截面的半徑為r）7.3球與多面體的組合體：球與正四面體，球與長方體，球與正方體等的內(nèi)接與外切.A'注：球的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題解決.D'C'C'4R2,V球4R3（其A'B'7.4球面積、體積公式：S球3OO中R為球的半徑）DC（二）空間幾何體的三視圖與直觀圖ABAc根據(jù)最近幾年高考形式上看，三視圖的考察已經(jīng)淡化，所以同學只需了解即可1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。2.三視圖——是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而畫出的圖形；正視圖——光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖；側(cè)視圖——光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖；正視圖——光線從幾何體的上面向下面正投影，得到的投影圖；注：（1）俯視圖畫在正視圖的下方， “長度”與正視圖相等；側(cè)視圖畫在正視圖的右邊， “高度”與正視圖相等，“寬度”與俯視圖。（簡記為“正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長，俯、側(cè)一樣寬” .（2）正視圖，側(cè)視圖，俯視圖都是平面圖形，而不是直觀圖。3.直觀圖：3.1直觀圖——是觀察著站在某一點觀察一個空間幾何體而畫出的圖形。直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。3.2斜二測法：step1：在已知圖形中取互相垂直的軸 Ox、Oy，（即取 xoy 90 ）；3/8：畫直觀圖時，把它畫成對應的軸o'x',o'y'，取x'o'y'45(or135)，它們確定的平面表示水平step2平面；step3：在坐標系x'o'y'中畫直觀圖時，已知圖形中平行于數(shù)軸的線段保持平行性不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線段長度減半。結(jié)論：一般地，采用斜二測法作出的直觀圖面積是原平面圖形面積的2倍.4解決兩種常見的題型時應注意：（1）由幾何體的三視圖畫直觀圖時，一般先考慮“俯視圖” .2）由幾何體的直觀圖畫三視圖時，能看見的輪廓線和棱畫成實線，不能看見的輪廓線和棱畫成虛線。二點、直線、平面之間的位置關(guān)系（一）平面的基本性質(zhì)1.平面——無限延展，無邊界1.1三個定理與三個推論公理1：如果一條直線上有兩點在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。用途：常用于證明直線在平面內(nèi) .圖形語言：符號語言：公理2：不共線的三點確定一個平面 .圖形語言：．．．推論1：直線與直線外的一點確定一個平面 .圖形語言：推論2：兩條相交直線確定一個平面 .圖形語言：推論3：兩條平行直線確定一個平面 .圖形語言：用途：用于確定平面。公理3：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有公共點，這些公共點的集合是一條直線（兩個平面的交線）.用途：常用于證明線在面內(nèi)，證明點在線上 .圖形語言：符號語言：圖形語言，文字語言，符號語言的轉(zhuǎn)化：4/8（二）空間圖形的位置關(guān)系1.空間直線的位置關(guān)系：

共面:aIb=A,a//b異面:a與b異面平行線的傳遞公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表述： a//b,b//c a//c等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角 相等或互補。異面直線：（1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線——異面直線；2）判定定理：連平面內(nèi)的一點與平面外一點的直線與這個平面內(nèi)不過此點的直線是異面直線。PAaPA圖形語言：PA與a異面符號語言：a'ab'AaaO異面直線所成的角：（1）范圍：0,90；（2）作異面直線所成的角：b平移法.如右圖，在空間任取一點 O，過O作a'//a,b'//b，則a',b'所成的 角為異面直線a,b所成的角。特別地，找異面直線所成的角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點（如線段中點，端點等）上，形成異面直線所成的角 .l2.lIA直線與平面的位置關(guān)系：l//l圖形語言：5/8平行： //3.平面與平面的位置關(guān)系： 斜交： I =a相交垂直：（三）平行關(guān)系（包括線面平行，面面平行）1.線面平行：①定義：直線與平面無公共點 .a//b②判定定理： aa//（線線平行線面平行）【如圖】ba//③性質(zhì)定理：aa//b（線面平行線線平行）【如圖】Ib④判定或證明線面平行的依據(jù)：（i）定義法（反證）：lIl//（用于判斷）；（ii）判定定理：a//b//aa//“線線平行a//面面平行”（用于證明）；（iii）“面面平行線面平行”baba（用于證明）；（4）ba//（用于判斷）；a2.線面斜交：lIA①直線與平面所成的角（簡稱線面角）：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該P斜線在平面內(nèi)射影的夾角?！救鐖D】PO于O，則AO是PA在平面內(nèi)的射影，則PAO就是直線PA與平面所成的角。范圍：0,90，注：若l或l//，則直線l與平面所成的角為0；AO若l，則直線l與平面所成的角為90。3.面面平行：①定義：I//；②判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么兩個平面互相平行；符號表述： a,b ,aIb O,a// ,b// // 【如下圖①】OaOabbOa'b'圖①圖②推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條直線，那么這兩個平面互相平行符號表述： a,b ,aIb O,a',b' ,a//a',b//b' // 【如上圖②】6/8判定 2：垂直于同一條直線的兩個平面互相平行.符號表述：a ,a // .【如右圖】③判定與證明面面平行的依據(jù)： （1）定義法；（2）判定定理及推論（常用）（3）判定2④面面平行的性質(zhì)：（1）//線面平行）；（2）a//（面面平行a//I a a//b；（面面平行 線線平行）（3）夾在兩個平行平面間的平行線段相等。I b

a【如圖】（四）垂直關(guān)系（包括線面垂直，面面垂直）1.線面垂直①定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。符號表述：若任意 a ,都有l(wèi) a，且l ，則l .a,baIb O②判定定理： l l （線線垂直 線面垂直）l al b③性質(zhì)：（1）l ,a l a（線面垂直 線線垂直）；（2）a ,b a//b；④證明或判定線面垂直的依據(jù)：（1）定義（反證）；（2）判定定理（常用）；（3）a//bb（較常a// aI b用）；（4） a ；（5） a （面面垂直 線面a aa bP垂直）常用；⑤三垂線定理及逆定理：（I）斜線定理：從平面外一點向這個平面所引的垂線段與斜線段中，PO（1）斜線相等射影相等；（2）斜線越長射影越長；（3）垂線段最短。O【如圖】PBPCOBOC；PAPBOAOBACB（II）三垂線定理及逆定理：已知PO，斜線PA在平面內(nèi)的射影為OA，a ，①若a OA，則a PA——垂直射影 垂直斜線，此為三垂線定理；②若a PA，則a OA——垂直斜線 垂直射影，此為三垂線定理的逆定理；三垂線定理及逆定理的主要應用：（1）證明異面直線垂直；（2）作、證二面角的平面角；（3）作點到線的垂線段；【如圖】

PaA O7