工程力學(xué)經(jīng)典第十二章 彎曲應(yīng)力

工程力學(xué)經(jīng)典第十二章彎曲應(yīng)力第一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日梁橫截面上與彎矩M對(duì)應(yīng)，

與剪力F對(duì)應(yīng)。第二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

純彎曲

(purebending)

━━梁或梁上的某段內(nèi)各橫截面上無剪力而只有彎矩，橫截面上只有與彎矩對(duì)應(yīng)的正應(yīng)力。12-1梁彎曲時(shí)的正應(yīng)力MeMe一、彎曲分類第三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

橫力彎曲

(bendingbytransverseforce)

━━梁橫截面上既有彎矩又有剪力；相應(yīng)的，橫截面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。第四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日二、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式的推導(dǎo)

(1)

幾何關(guān)系━━變形與應(yīng)變觀察在豎直平面內(nèi)發(fā)生純彎曲的梁，研究其表面變形情況第五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日<1>.彎曲前畫在梁的側(cè)面上相鄰橫向線mm和nn間的縱向直線段aa和bb，在梁彎曲后成為弧線，靠近梁的頂面的線段aa縮短，而靠近梁的底面的線段bb則伸長；第六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日<2>.相鄰橫向線mm和nn，在梁彎曲后仍為直線，只是相對(duì)旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與弧線aa和bb保持正交。第七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

根據(jù)表面變形情況，并設(shè)想梁的側(cè)面上的橫向線mm和nn是梁的橫截面與側(cè)表面的交線，可作出如下推論(假設(shè))：平面假設(shè)

梁在純彎曲時(shí)，其原來的橫截面仍保持為平面，只是繞垂直于彎曲平面(縱向平面)的某一軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)后的橫截面與梁彎曲后的軸線保持正交。此假設(shè)已為彈性力學(xué)的理論分析結(jié)果所證實(shí)。第八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

橫截面的轉(zhuǎn)動(dòng)使梁凹入一側(cè)的縱向線縮短，凸出一側(cè)的縱向線伸長，從而根據(jù)變形的連續(xù)性可知，中間必有一層縱向線只彎曲而無長度改變的中性層

(圖f)，而中性層與橫截面的交線就是梁彎曲時(shí)橫截面繞著它轉(zhuǎn)動(dòng)的軸━━中性軸

(neutralaxis)。（f)第九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日令中性層的半徑為r(如圖c)，則有〈3〉縱向線應(yīng)變?cè)跈M截面范圍內(nèi)的變化規(guī)律

圖c為由相距dx的兩橫截面取出的梁段在梁彎曲后的情況，兩個(gè)原來平行的橫截面繞中性軸相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了角dq。梁的橫截面上距中性軸z為任意距離y處的縱向線應(yīng)變由圖c可知為(c)第十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(2)物理關(guān)系━━力與變形（應(yīng)力、應(yīng)變）

梁的材料在線彈性范圍內(nèi)工作（胡克定律），且拉、壓彈性模量相同時(shí)，有

這表明，直梁的橫截面上的正應(yīng)力沿垂直于中性軸的方向按線性規(guī)律變化M

即梁在純彎曲時(shí)，其橫截面上任一點(diǎn)處的縱向線應(yīng)變e與該點(diǎn)至中性軸的距離

y成正比。第十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(3)靜力學(xué)關(guān)系━━應(yīng)力與內(nèi)力。

梁的橫截面上與正應(yīng)力相應(yīng)的法向內(nèi)力元素sdA(圖d)不可能組成軸力()，也不可能組成對(duì)于與中性軸垂直的y軸(彎曲平面內(nèi)的軸)的內(nèi)力偶矩()，只能組成對(duì)于中性軸z的內(nèi)力偶矩，即(d)第十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日將代入上述三個(gè)靜力學(xué)條件，有(a)(b)(c)

以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只與截面的形狀和尺寸相關(guān)的幾何量，屬于截面的幾何性質(zhì)，而第十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

其中

為截面對(duì)于z軸的靜矩(staticmomentofanarea)或一次矩（形心計(jì)算公式），其單位為m3。

為截面對(duì)于y軸和z軸的慣性積，其單位為m4。

為截面對(duì)于z軸的慣性矩(momentofineritaofanarea)或二次軸矩，其單位為m4。第十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而該兩式要求：1.橫截面對(duì)于中性軸z的靜矩等于零，；顯然這是要求中性軸

z通過橫截面的形心；

2.橫截面對(duì)于

y軸和

z軸的慣性積等于零，；在對(duì)稱彎曲情況下，y軸為橫截面的對(duì)稱軸，因而這一條件自動(dòng)滿足。(a)(b)(c)第十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日由式(c)可知，直梁純彎曲時(shí)中性層的曲率為

上式中的EIz稱為梁的抗彎剛度（對(duì)Z軸）。顯然，由于純彎曲時(shí)，梁的橫截面上的彎矩M不隨截面位置變化。

將上式代入得出的式子即得彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式：(c)第十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

應(yīng)用此式時(shí)，如果如圖中那樣取y軸向下為正的坐標(biāo)系來定義式中y的正負(fù)，則在彎矩M按以前的規(guī)定確定其正負(fù)的情況下，所得正應(yīng)力的正負(fù)自動(dòng)表示拉應(yīng)力或壓應(yīng)力。但實(shí)際應(yīng)用中往往直接根據(jù)橫截面上彎矩的轉(zhuǎn)向及求正應(yīng)力之點(diǎn)在中性軸的哪一側(cè)來判別彎曲正應(yīng)力為拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力；在此情況下可以把式中的y看作求應(yīng)力的點(diǎn)離中性軸z的距離。第十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

中性軸z

為橫截面對(duì)稱軸的梁(圖a，b)其橫截面上最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值相等；中性軸z不是橫截面對(duì)稱軸的梁(圖c)，其橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyz

bd1

hOd2(c)hbzyo(a)第十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

中性軸z為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，橫截面上最大拉、壓應(yīng)力的值smax為式中，Wz為截面的幾何性質(zhì)，稱為彎曲截面系數(shù)（對(duì)Z軸）(sectionmodulusinbending)，其單位為m3。hbzyodzyo第十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

中性軸

z不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)(參見圖c)，其橫截面上最大拉應(yīng)力值和最大壓應(yīng)力值為第二十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(1)矩形截面簡單截面對(duì)于形心軸的慣性矩和彎曲截面系數(shù)第二十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日思考:

一長邊寬度為

b，高為

h的平行四邊形，它對(duì)于形心軸

z的慣性矩是否也是？第二十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(2)

圓截面在等直圓桿扭轉(zhuǎn)問題中已求得：zoyyzdA而由圖可見，ρ2=y2+z2,

從而知第二十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日而彎曲截面系數(shù)為

根據(jù)對(duì)稱性可知，原截面對(duì)于形心軸z和y的慣性矩Iz和Iy是相等的，Iz=Iy，于是得zoyyzdA第二十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(3)

空心圓截面

由于空心圓截面的面積Ａ等于大圓的面積AD減去小圓(即空心部分)的面積Ad故有式中，。dOyzD第二十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)對(duì)稱性可知：思考：

空心圓截面對(duì)于形心軸的慣性矩就等于大圓對(duì)形心軸的慣性矩減去小圓對(duì)于形心軸的慣性矩；但空心圓截面的彎曲截面系數(shù)并不等于大圓和小圓的彎曲截面系數(shù)之差，為什么？而空心圓截面的彎曲截面系數(shù)為dOyzD第二十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日純彎曲理論的推廣

工程中實(shí)際的梁大多發(fā)生橫力彎曲，此時(shí)梁的橫截面由于切應(yīng)力的存在而發(fā)生翹曲(warping)。此外，橫向力還使各縱向線之間發(fā)生擠壓(bearing)。因此，對(duì)于梁在純彎曲時(shí)所作的平面假設(shè)和縱向線之間無擠壓的假設(shè)實(shí)際上都不再成立。但彈性力學(xué)的分析結(jié)果表明，受滿布荷載的矩形截面簡支梁，當(dāng)其跨長與截面高度之比大于5時(shí)，梁的跨中橫截面上按純彎曲理論算得的最大正應(yīng)力其誤差不超過1%，故在工程應(yīng)用中就將純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式用于橫力彎曲情況，即第二十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

例題12-1

圖a所示簡支梁由56a號(hào)工字鋼制成，其截面簡化后的尺寸見圖b。已知F=150kN。試求危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力smax。第二十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

解：在不考慮梁的自重()的情況下，該梁的彎矩圖如圖所示，截面C為危險(xiǎn)截面，相應(yīng)的最大彎矩值為第二十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日由型鋼規(guī)格表查得56a號(hào)工字鋼截面于是有第三十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日顯然，梁的自重引起的最大正應(yīng)力僅為而危險(xiǎn)截面上的最大正應(yīng)力變?yōu)檫h(yuǎn)小于外加荷載F所引起的最大正應(yīng)力。

如果考慮梁的自重(q=1.041kN/m)則危險(xiǎn)截面未變，但相應(yīng)的最大彎矩值變?yōu)榈谌豁?，共七十六頁，編輯?023年，星期日

工程中常遇到由基本圖形構(gòu)成的組合截面，例如下面例題中所示的兩種橫截面。當(dāng)對(duì)組合截面桿件計(jì)算在外力作用下的應(yīng)力和變形時(shí)需要求出它們對(duì)于形心軸x，y(本節(jié)中的x軸就是以前我們所用的z軸)的一些幾何性質(zhì)，例如：慣性矩(momentofinertia)慣性積(productofinertia)12-2慣性矩的計(jì)算第三十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

在已知構(gòu)成組合截面的每一圖形對(duì)于通過其自身形心且平行于組合截面某個(gè)軸(例如x軸)的慣性矩時(shí)，組合截面的慣性矩可利用平行移軸公式求得。組合截面對(duì)于某對(duì)相互垂直的軸(例如x，y軸)的慣性積也可類似地求得。y2y1yx

bd1

hOd2x第三十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

已知任意形狀的截面(如圖)的面積A以及對(duì)于形心軸xC和yC的慣性矩及慣性積，現(xiàn)需導(dǎo)出該截面對(duì)于與形心軸xC

，yC平行的x軸和y軸的慣性矩Ix，Iy和慣性積Ixy。截面的形心C在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為1.慣性矩和慣性積的平行移軸公式第三十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日因截面上的任一元素dA在x，y坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為于是有注意到xC軸為形心軸，故上式中的靜矩等于零，從而有第三十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日同理可得

以上三式就是慣性矩和慣性積的平行移軸公式。需要注意的是式中的a，b為坐標(biāo)，有正負(fù)，應(yīng)用慣性積平行移軸公式時(shí)要特別注意。第三十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日2.組合截面的慣性矩及慣性積

若組合截面由幾個(gè)部分組成，則組合截面對(duì)于x，y兩軸的慣性矩和慣性積分別為y2y1yx

bd1

hOd2x第三十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

例題12-2

試求圖a所示截面對(duì)于x軸的慣性矩Ix，對(duì)于y軸的慣性矩Iy，以及對(duì)于x，y軸的慣性積Ixy。(a)第三十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

解：將截面看作由一個(gè)矩形和兩個(gè)半圓形組成，半圓形的形心位置如圖b所示。(1)求Ix

設(shè)矩形對(duì)x軸的慣性矩為，每個(gè)半圓形對(duì)x軸的慣性矩為，則有其中：第三十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

至于則需先求出半圓形對(duì)其自身形心軸的慣性矩。根據(jù)平行移軸公式可得，而半圓形對(duì)于直徑軸x'(圖b)的慣性矩等于圓形對(duì)x'軸的慣性矩的一半，于是得第四十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日然后再利用平行移軸公式求半圓形對(duì)x軸的慣性矩：將d=80mm，a=100mm代入后得從而得圖a所示截面對(duì)x軸的慣性矩：第四十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日（2）求Iy

此組合截面的y軸就是矩形和半圓形的形心軸，故不必應(yīng)用平行軸公式而有將d=80mm，a=100mm代入后得第四十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日（3）求Ixy

由可知，只要x軸或y軸為截面的對(duì)稱軸，則由于與該軸對(duì)稱的任何兩個(gè)面積元素dA的慣性積xydA數(shù)值相等而正負(fù)號(hào)相反，致使整個(gè)截面的慣性積必定等于零。圖a所示截面的x軸和y軸都是對(duì)稱軸，當(dāng)然Ixy=0。第四十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日12-3

梁彎曲時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

等直梁橫截面上的最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的邊緣處，而且在這些邊緣處，即使是橫力彎曲情況，由剪力引起的切應(yīng)力也等于零或其值很小(詳見下節(jié))，至于由橫向力引起的擠壓應(yīng)力可以忽略不計(jì)。因此可以認(rèn)為梁的危險(xiǎn)截面上最大正應(yīng)力所在各點(diǎn)系處于單軸應(yīng)力狀態(tài)。于是可按單向應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件形式來建立梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件：式中，[s]為材料的許用彎曲正應(yīng)力。第四十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于中性軸為橫截面對(duì)稱軸的梁，上述強(qiáng)度條件可寫作

由拉、壓許用應(yīng)力[st]和[sc]不相等的鑄鐵等脆性材料制成的梁，為充分發(fā)揮材料的強(qiáng)度，其橫截面上的中性軸往往不是對(duì)稱軸，以盡量使梁的最大工作拉應(yīng)力st,max和最大工作壓應(yīng)力sc,max分別達(dá)到(或接近)材料的許用拉應(yīng)力[st]和許用壓應(yīng)力[sc]。第四十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日(a)(b)

例題12-3

圖a所示工字鋼制成的梁，其計(jì)算簡圖可取為如圖b所示的簡支梁。鋼的許用彎曲正應(yīng)力[s]=152MPa

。試選擇工字鋼的號(hào)碼。第四十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日解：在不計(jì)梁的自重的情況下，彎矩圖如圖所示第四十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日強(qiáng)度條件要求：

此值雖略小于要求的Wz但相差不到1%，故可以選用56b工字鋼。由型鋼規(guī)格表查得56b號(hào)工字鋼的Wz為第四十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日此時(shí)危險(xiǎn)截面上的最大工作應(yīng)力為

其值超過許用彎曲應(yīng)力約4.6%。工程實(shí)踐中，如果最大工作應(yīng)力超過許用應(yīng)力不到5%，則通常還是允許的。

如果計(jì)入梁的自重，危險(xiǎn)截面仍在跨中，相應(yīng)的最大彎矩則為第四十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例12-4如圖所示一個(gè)鑄鐵梁，求此梁的最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力第五十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日1、計(jì)算約束力2、畫出剪力彎矩圖？最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力是否都發(fā)生在截面C第五十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日3、計(jì)算截面的幾何性質(zhì)設(shè)截面的形心位于O點(diǎn)第五十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日4、應(yīng)力計(jì)算考察C截面，彎矩為正C截面下邊受拉上邊受壓第五十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日4、應(yīng)力計(jì)算考察B截面，彎矩為負(fù)B截面上邊受拉下邊受壓第五十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日至此，該問題中最大拉應(yīng)力位于B截面的上邊緣，而最大壓應(yīng)力位于C截面的上邊緣第五十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日一、矩形截面梁的切應(yīng)力公式推導(dǎo)*儒拉夫斯基假設(shè)1）截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力

t的方向和該截面上的剪力FQ的方向平行。2）切應(yīng)力沿寬度均勻分布，即t的大小只與距離中性軸的距離有關(guān)。12-4梁彎曲時(shí)的切應(yīng)力第五十六頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日取簡支梁中dx的微段進(jìn)行受力分析

若所切微段上無橫向外力作用，則兩截面的剪力相等。則該微段上的應(yīng)力分布如圖

彎矩不同，兩側(cè)截面上的正應(yīng)力也不相同

按照儒拉夫斯基假設(shè)，切應(yīng)力和剪力平行。第五十七頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日

為了研究橫截面上距離中性層y處的切應(yīng)力t的數(shù)值，可在該處用一個(gè)平行于中性層的縱截面pp1，將微段的下半部分截出。第五十八頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日研究x方向的平衡距中性軸為y處的橫線以外部分橫截面積A1對(duì)中性軸的靜矩。同理可得第五十九頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日研究x方向的平衡頂邊分布的切應(yīng)力的合力dF的大小由第六十頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日橫截面上的剪力整個(gè)截面對(duì)中性軸的慣性矩梁橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積對(duì)中性軸的靜矩所求切應(yīng)力點(diǎn)的位置的梁截面的寬度。上述公式對(duì)組合矩形截面梁亦可使用。第六十一頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日對(duì)于矩形截面梁，公式可以進(jìn)行轉(zhuǎn)換這樣，公式可以改寫為在截面的兩端，y=±h/2在中性層，y=0如圖切應(yīng)力分布規(guī)律二、特殊界面切應(yīng)力1.矩形截面梁第六十二頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日2.工字形截面梁工字形截面由翼緣和腹板組成上翼緣下翼緣腹板

由于腹板截面是狹長矩形，因此儒拉夫斯基假設(shè)仍然適用，若要計(jì)算腹板上距中性軸y處的切應(yīng)力，Sz*是圖中黃色部分面積對(duì)中性軸的靜矩。

經(jīng)計(jì)算可得公式為

沿高度的分布規(guī)律如圖結(jié)果表明，腹板幾乎全部承擔(dān)了橫截面上的剪力，且最大切應(yīng)力和最小切應(yīng)力相差不大，因此接近均勻分布。第六十三頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日3.圓形圓環(huán)形截面梁

根據(jù)分析結(jié)果，圓形和圓環(huán)形截面梁的最大彎曲切應(yīng)力發(fā)生在中性軸上，并且沿中性軸均勻分布，其值分別為:圓形截面圓環(huán)形（薄壁）截面第六十四頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日4.T形截面梁T形截面梁上的切應(yīng)力分布規(guī)律如圖所示：

最大切應(yīng)力位于中性軸，大小為:橫截面中性軸z一側(cè)面積（上部或下部對(duì)z軸的靜矩）腹板寬度第六十五頁，共七十六頁，編輯于2023年，星期日例12-5如圖所示矩形截面梁，已知求危險(xiǎn)截面上a、c、d、e、f五點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力