數(shù)學(xué)課件（新人教B版）第二章25函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用《培優(yōu)課》

函數(shù)性質(zhì)的綜合

應(yīng)用[培優(yōu)課]第二章函數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用是歷年高考的一個熱點內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質(zhì)特點，結(jié)合圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，往往多種性質(zhì)結(jié)合在一起進行考查.例1

(2020·新高考全國Ⅰ)若定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是A.[－1,1]∪[3，＋∞)B.[－3，－1]∪[0,1]C.[－1,0]∪[1，＋∞)D.[－1,0]∪[1,3]√題型一函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，則f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，且f(2)＝0，畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖(1)所示，則函數(shù)f(x－1)的大致圖象如圖(2)所示.當(dāng)x≤0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.當(dāng)x>0時，要滿足xf(x－1)≥0，則f(x－1)≥0，得1≤x≤3.故滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是[－1,0]∪[1,3].(1)(2)(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉(zhuǎn)化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調(diào)性把不等式的函數(shù)符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組).(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，進而利用其單調(diào)性比較大小.思維升華√所以函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞增，由f(x)為偶函數(shù)，得函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(sin3)>f(ln3)>f(2)，即a>b>c.例2

(2023·襄陽模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)單調(diào)遞增，則√題型二函數(shù)的奇偶性與周期性∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)單調(diào)遞增，周期性與奇偶性結(jié)合的問題多考查求函數(shù)值、比較大小等，常利用奇偶性和周期性將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)，或已知單調(diào)性的區(qū)間內(nèi)求解.跟蹤訓(xùn)練2

(2023·廣州模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋1)＝f(x－1)，則f(2021)＋f(2022)等于

C.－2021

D.－1√f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期為2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，∴f(0)＝0，又f(－1)＝－f(1)，且f(－1)＝f(1)，∴f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.例3

(多選)已知定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，則下列結(jié)論一定正確的是A.f(x＋2)＝f(x)B.函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱C.函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)D.f(2－x)＝f(x－1)題型三函數(shù)的奇偶性與對稱性√√對于A選項，因為f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，則f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A錯；對于B選項，因為f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，因為f(－x)＋f(x)＝0，則f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(2,0)對稱，B對；對于C選項，因為f(1－x)＝f(1＋x)，故函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù)，C對；對于D選項，因為f(1－x)＝f(1＋x)，則f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D錯.由函數(shù)的奇偶性與對稱性可求函數(shù)的周期，常用于化簡求值、比較大小等.跟蹤訓(xùn)練3

(2022·南陽模擬)已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2－2x，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)的值為A.－2 B.－1√∵f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，∴f(－x)＝－f(2＋x)，又f(x)為R上的偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.例4

(多選)已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x＋1)＝f(x－2)，下列說法正確的是C.y＝f(x)在[0,6]內(nèi)至少有5個零點D.若y＝f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則它在[2021,2022]上也單調(diào)遞增題型四函數(shù)的周期性與對稱性√√√因為f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則f(x＋3)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為3的周期函數(shù)，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)，由題意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0，故函數(shù)y＝f(x)在[0,6]內(nèi)至少有5個零點，C正確；因為f(2021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，f(2022)＝f(3×674)＝f(0)，且函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在[－1,0]上也單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在[2021,2022]上也單調(diào)遞增，D正確.函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題.跟蹤訓(xùn)練4

(多選)已知f(x)是定義域為R的函數(shù)，滿足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，當(dāng)0≤x≤2時，f(x)＝x2－x，則下列說法正確的是A.f(x)的周期為4B.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱C.當(dāng)0≤x≤4時，函數(shù)f(x)的最大值為2D.當(dāng)6≤x≤8時，函數(shù)f(x)的最小值為

√√√對于A，∵f(x＋1)＝f(x－3)，∴f(x＋3＋1)＝f(x＋3－3)，則f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期為4，故A正確；對于B，由f(1＋x)＝f(3－x)知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，故B正確；課時精練1.(2022·湖北九師聯(lián)盟模擬)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減，若f(－2)＝1，則滿足|f(2x)|≤1的x的取值范圍是A.[－1,1] B.[－2,2]C.(－∞，－1]∪[1，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞)12345678910√根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得f(x)在R上單調(diào)遞減，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1.√1234567891012345678910由題意，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).又由當(dāng)0<x≤1時，f(x)＝x2－2x＋3，3.(2023·許昌質(zhì)檢)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(－∞，0)上單調(diào)遞減，若a＝－log310，

，

，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系為A.f(a)>f(c)>f(b) B.f(a)>f(b)>f(c)C.f(b)>f(a)>f(c) D.f(c)>f(a)>f(b)√1234567891012345678910∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，∴f(a)＝f(－log310)＝f(log310)，且2<log310<3，f(b)＝f(－3)＝f(3)，f(c)＝f()，且1<<2，∵f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(c)<f(a)<f(b).123456789104.(2023·唐山模擬)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則b等于A.－3 B.－1√∵f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，∴f(x)＋f(2－x)＝0，又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，1234567891012345678910√12345678910令f(0)＝lg(2＋a)＝0，得a＝－1，所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，123456789106.(多選)(2023·鹽城模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，下列說法正確的有A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱B.g(2023)＝0C.g(x)的最小正周期為4D.對任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)√√√因為f(x)為R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱，所以f(x)＝f(2－x)，A，D正確；由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，故f(2＋x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，則g(2023)＝f(2024)＝f(0)＝0，B正確；但不能說明g(x)的最小正周期為4，C錯誤.12345678910123456789107.(多選)已知奇函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，且滿足f(x)＋f(2－x)＝0，則下列說法正確的是A.函數(shù)f(x)是以2為最小正周期的周期函數(shù)B.函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C.函數(shù)f(x－1)為奇函數(shù)D.函數(shù)f(x)在[5,6)上單調(diào)遞增√√√12345678910對于選項A，B，∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x).∵f(x)＋f(2－x)＝0，∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，則－f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)，由此可知選項A，B正確；對于選項C，令F(x)＝f(x－1)，則F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1).在f(x)＋f(2－x)＝0中，將x換為x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，則函數(shù)F(x)＝f(x－1)為奇函數(shù)，∴選項C正確.12345678910對于選項D，由函數(shù)f(x)是以2為最小正周期的周期函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[5,6)上的單調(diào)性等價于函數(shù)f(x)在[－1,0)上的單調(diào)性，又奇函數(shù)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，∴函數(shù)f(x)在[－1,0)上單調(diào)遞減.∴選項D不正確.123456789108.(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(2x＋1)是偶函數(shù)，f(x－1)是奇函數(shù)，則下列命題正確的是A.f(x)＝f(x－16) B.f(11)＝1C.f(2022)＝－f(0) D.f(2021)＝f(－3)√√√因為f(2x＋1)是偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，令t＝2x＋1，則2x＝t－1，故－2x＋1＝2－t，所以f(t)＝f(2－t)，即f(x)＝f(2－x)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，因為f(x－1)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝0，且函數(shù)f(x－1)關(guān)于(0,0)對稱，又因為函數(shù)f(x－1)是由函數(shù)f(x)向右平移1個單位得到，所以f(x)關(guān)于(－1,0)對稱，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，12345678910所以f(2－x)＝－f(－x－2)，則f(x)＝－f(x－4)＝f(x－8)，即f(x)＝f(x＋8)，所以函數(shù)f(x)的一個周期為8，故有f(x)＝f(x＋(－2)×8)＝f(x－16)，故A正確；由函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱，f(－1)＝0，所以f