數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版）第八章813圓錐曲線中探索性與綜合性問題

圓錐曲線中探索性

與綜合性問題第八章直線和圓、圓錐曲線題型一探索性問題(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)Q為雙曲線C右支第一象限上的一個動點，F(xiàn)為雙曲線C的右焦點，在x軸的負(fù)半軸上是否存在定點M使得∠QFM＝2∠QMF？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.假設(shè)存在點M(t,0)(t<0)滿足題設(shè)條件.由(1)知雙曲線C的右焦點為F(2,0).設(shè)Q(x0，y0)(x0≥1)為雙曲線C右支上一點.當(dāng)x0＝2時，因為∠QFM＝2∠QMF＝90°，所以∠QMF＝45°，于是|MF|＝|QF|＝3，所以t＝－1.即M(－1,0).因為∠QFM＝2∠QMF，解得t＝－1.即M(－1,0).綜上，滿足條件的點M存在，其坐標(biāo)為(－1,0).思維升華存在性問題的解題策略存在性的問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時，要分類討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時，先假設(shè)成立，再推出條件.(3)當(dāng)要討論的量能夠確定時，可先確定，再證明結(jié)論符合題意.跟蹤訓(xùn)練1

(2022·淄博模擬)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，點M(2，m)在拋物線C上，且|MF|＝2.(1)求實數(shù)m的值及拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；由題意得，因為點M(2，m)在拋物線上，所以22＝2pm，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y.(2)不過點M的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若直線MA，MB的斜率之積為－2，試判斷直線l能否與圓(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此時直線l的方程；若不能，請說明理由.由(1)得M(2,1)，得x1x2＋2(x1＋x2)＋36＝0；設(shè)直線AB方程為y＝kx＋b，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，所以－4b＋8k＋36＝0，得b＝2k＋9，所以直線AB的方程為y＝kx＋2k＋9，即直線AB恒過拋物線內(nèi)部的定點N(－2,9)，又圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝80正好經(jīng)過點N(－2,9)，當(dāng)且僅當(dāng)直線AB與半徑MN垂直時直線AB與圓M相切，題型二圓錐曲線的綜合問題(1)求拋物線C1和橢圓C2的方程；所以拋物線C1的方程為y2＝8x，(2)過A點作直線l交C1于C，D兩點，射線OC，OD分別交C2于E，F(xiàn)兩點，記△OEF和△OCD的面積分別為S1和S2，問是否存在直線l，使得S1∶S2＝3∶13？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.由題設(shè)知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為x＝my＋4.得y2－8my－32＝0.設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，則y1＋y2＝8m，y1y2＝－32.要使S1∶S2＝3∶13，解得m＝±1，所以存在直線l：x±y－4＝0符合條件.圓與圓錐曲線綜合問題中，圓大多數(shù)是以工具的形式出現(xiàn)，解決此類問題的關(guān)鍵是掌握圓的一些常用性質(zhì).如：圓的半徑r，弦長的一半h，弦心距d滿足r2＝h2＋d2；圓的弦的垂直平分線過圓心；若AB是圓的直徑，則圓上任一點P有

＝0.跟蹤訓(xùn)練2

如圖，過拋物線E：y2＝2px(p>0)焦點F的直線l交拋物線于點A，B，|AB|的最小值為4，直線x＝－4分別交直線AO，BO于點C，D(O為原點).(1)求拋物線E的方程；Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，顯然當(dāng)直線AB的斜率不存在時，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2，∴拋物線E：y2＝4x.(2)圓M過點C，D，交x軸于點G(t,0)，H(m,0)，證明：若t為定值時，m也為定值.并求t＝－8時，△ABH面積S的最小值.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(－4，y3)，D(－4，y4)，∴y1y2＝－2p＝－4，∴4t＋4m＋80＝－tm，∴H也為定點.當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±2時取到最小值.故△ABH的面積的最小值為22.課時精練基礎(chǔ)保分練(1)求橢圓C的方程；123412341234(2)是否存在直線l，使得l與橢圓C相交于A，B兩點，且點F恰為△EAB的垂心？若存在，求直線l的方程，若不存在，請說明理由.假設(shè)滿足條件的直線l存在，因為點F為△EAB的垂心，所以AB⊥EF，1234記A(x1，y1)，B(x2，y2)，123412341234滿足Δ>0，(1)求橢圓C的方程；1234又a2－b2＝c2，12341234(2)判斷|AA′|·|BB′|是否為定值，若是定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由.當(dāng)直線AB的斜率不為0時，設(shè)直線AB的方程為x＝ky＋m，1234消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，12341234綜合提升練12343.(2023·唐山模擬)已知拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點為F，過點F且傾斜角為

的直線交拋物線于M，N兩點，|MN|＝8.(1)求拋物線E的方程；1234所以|MN|＝x1＋x2＋p＝4p＝8，則p＝2，即拋物線E的方程為y2＝4x.1234(2)在拋物線E上任取與原點不重合的點A，過A作拋物線E的切線交x軸于點B，點A在直線x＝－1上的射影為點C，試判斷四邊形ACBF的形狀，并說明理由.設(shè)A(x0，y0)，則過A作拋物線E的切線為y－y0＝k(x－x0)，12341234令y＝0得x＝－x0，即B(－x0，0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，又AC∥BF，所以四邊形ACBF有一組對邊平行且相等，且鄰邊也相等，所以四邊形ACBF為菱形.拓展沖刺練4.如圖，拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為C上的一點，已知以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓F交l于B，D兩點，準(zhǔn)線l與y軸交于點S.(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面積為

，求p的值及圓F的方程；1234由∠BFD＝90°知，|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，設(shè)A(xA，yA)，解得p＝2(負(fù)值舍去).F(0,1)，所以圓F的方程為x2＋(y－1)2＝8.1234(2)若直線y＝kx＋b與拋物線C交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，若點S關(guān)于直線PQ的對稱點為T，求|FT|的取值范圍.1234由題意得，直線PQ的斜率一定存在，1234聯(lián)立y＝kx＋b與x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2pb，則y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1