2012-2013學(xué)年陜西省榆林一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

2012-2013學(xué)年陜西省榆林一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：(本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的)

1.(5分)設(shè)全集U二{a,b,c,d,},集合M二{a,c,d},N={b,d},則([uM)

AN=()

A.B.oi4kj8lC.{a,c}D.{b,d}

2.(5分)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①f(X)=4-2x3與g(x)=xV^2x；

②f(x)=|x|與g(x)

(3)f(x)=x°與g(x)=1-；

X0

④f(x)=x?-2x-1與g(t)=t2-2t-1.

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

3.(5分)函數(shù)丫=2*-3+1(a>0且aWl)的圖象必經(jīng)過點()

A.(0,1)B.(2,1)C.(3,1)D.(3,2)

4.(5分)函數(shù)y=2+log2X(xNl)的值域為()

A.(2,+8)B.(-8,2)C.[2,+8)D.[3,

5.(5分)已知f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)有1003個零

點，則f(x)的零點的個數(shù)為()

A.1003B.1004C.2006D.2007

6.(5分)如果函數(shù)f(x)=X2+2(a-1)x+2在(-4]上是減函數(shù)，那么實

數(shù)a取值范圍是()

A.aW-3B.a2-3C.aW5D.a25

7.(5分)設(shè)yi=4°9,丫2=8a48,丫3=口尸.5,則()

A.y3>yi>Y2B.y2>yi>y3c.yi>y3>y2D.yi>y2>y3

8.(5分)若Ioga3>logb3>0,貝(J()

A.0<a<b<lB.l<a<bC.0<b<a<lD.l<b<a

9.（5分）下列所給四個圖象中，與所給3件事吻合最好的順序為（）

(1)我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作

業(yè)本再去上學(xué)；

(2)我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時

間；

(3)我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加

A.①②④B.④②③C.①②③D.④①②

10.（5分）函數(shù)y=x?-2x+4在閉區(qū)間[0,m]上有最大值4,最小值3,則m的

取值范圍是（）

A.[1,+8）B.[0,2]C.（…，2]D.[1,2]

二、填空題：(本題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填寫在答題紙

上)

11.(5分)函數(shù)f(x)=如、的定義域是______.

log2(x-l)

12.(5分)用二分法求方程x3-2x-1=0的一個近似解時，現(xiàn)在已經(jīng)將一根鎖定

在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為.

13.(5分)已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0),則f(3),f(-3),f(W)從

2

小到大的順序是.

(3—a)x—4aY]

14.(5分)已知f(x)="是(-8,+8)上的增函數(shù)，那么

log,aX,X>1

a的取值范圍是.

x+2(x<T)

2

15.(5分)設(shè)f(x)=<X(-1<X<2)?若f(X)=3,則x=.

L2X(X>2)

三、解答題：(本題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟.)

16.(12分)設(shè)方程2x2+x+p=0的解集為A,方程2x2+qx+2=0的解集為B,AAB={!?},

2

求AUB.

17.(12分)計算求值：

_XJ_”工s

(1)已知10。=22,10p=323,求104的值

(2)計算：lg500+lg&-』g64+50(Ig2+lg5)2.

52

18.(12分)對于二次函數(shù)y=-4x?+8x-3,

(1)指出圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標；

(2)畫出它的圖象，并說明其圖象由y=-4x2的圖象經(jīng)過怎樣平移得來；

(3)求函數(shù)的最大值或最小值；

(4)分析函數(shù)的單調(diào)性.

19.(12分)某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部，需

要增加投入2500元，對銷售市場進行調(diào)查后得知，市場對此產(chǎn)品的需求量為每

年500部.已知年銷售收入為H(x)=500x蔣x2,其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量.

(1)若x為年產(chǎn)量，y表示年利潤，求y=f(x)的表達式.(年利潤=年銷售收入

-投資成本(包括固定成本))

(2)當年產(chǎn)量為何值時，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？

20.(13分)設(shè)a是實數(shù)，f(x)—(x€R)，

2X+1

(1)試證明：對于任意a,f(x)在R為增函數(shù)；

(2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù).

21.(14分)設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+8)上的減函數(shù)，并且滿足f(xy)

=f(x)+f(y),f(-A-)=i.

o

(1)求f(1)的值；

(2)如果f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

2012-2013學(xué)年陜西省榆林一中高一(上)期中數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：(本題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的)

1.(5分)(2012秋?榆陽區(qū)校級期中)設(shè)全集U={a,b,c,d,},集合M={a,

c,d},N={b,d},則(CuM)DN=()

A.B.s2pdbttC.{a,c}D.{b,d}

【考點】1H：交、并、補集的混合運算.

【專題】11：計算題.

【分析】由全集U及M,求出M補集，找出M補集與N交集即可.

【解答】解：?.?全集11=匕，b,c,d,},集合M={a,c,d},

CuM=,

N={b,d},

(CuM)AN=.

故選A

【點評】此題考查了交、并、補集的混合運算，熟練掌握各自的定義是解本題的

關(guān)鍵.

2.(5分)(2016秋?成都期中)下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()

①f(X)寸-2x3與g(X)=xV-2x;

②f(x)=|x|與g(x)=^2；

(3)f(x)=x°與g(x)=-X_；

xu

④f(x)=x?-2x-1與g(t)=t2-2t-1.

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

【考點】32：判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù).

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】利用函數(shù)的三要素即可判斷出.

【解答】解：①f(x)=IXW-2x，g(x)=xj-2x，解析式不同，，f(x)與g(x)

不是同一函數(shù)；

②:f(x)=|x|,g(x)=J￡=|x|,故是同一函數(shù)；

③f(x)=x°=l(xWO),g(x)=*l(x卉0)，解析式與定義域、值域相同，故是

X

同一函數(shù).

④f(x)=x?-2x-1與g(t)=t2-2t-1對應(yīng)法則和定義域相同，故是同一函數(shù).

綜上可知：②③④.

故選C.

【點評】本題考查了利用函數(shù)的三要素判定函數(shù)是否是同一函數(shù)，事實上只要具

備定義域與對應(yīng)法則相同即可.

3.(5分)(2015秋?湖北期中)函數(shù)y=ax"+i(a>0且aWl)的圖象必經(jīng)過點

()

A.(0,1)B.(2,1)C.(3,1)D.(3,2)

【考點】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

【專題】11：計算題；51；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由a°=l,可得當x=3時,函數(shù)y=aX-3+i=a°+l=2,從得到函數(shù)y=aX“+i

(0<aWl)的圖象必經(jīng)過的定點坐標.

【解答】解：指數(shù)函數(shù)的圖象必過點(0,1),即a0=l,

由此變形得a33+i=2,所以所求函數(shù)圖象必過點(3,2).

故選：D.

【點評】本題考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的圖象是函數(shù)的一種

表達形式，形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究它的數(shù)量關(guān)系提供了“形"的直觀

性.屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)(2016秋?鄒平縣期中)函數(shù)y=2+log2X(x^l)的值域為()

A.(2,+8)B.(-8,2)C.[2,+8)D.[3,

【考點】4L：對數(shù)函數(shù)的值域與最值.

【專題】11:計算題.

【分析】根據(jù)函數(shù)y=2+log2x可知其在［1,+8）上單調(diào)遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性

求得，當x=l時，y有最小值2,從而求得函數(shù)的值域.

【解答】解：???函數(shù)y=2+log2X在［1,+8）上單調(diào)遞增，

...當x=l時，y有最小值2,

即函數(shù)y=2+log2X（x2l）的值域為［2,+8）.

故選C.

【點評】此題是個基礎(chǔ)題，.考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域等基礎(chǔ)問題.考查學(xué)

生對基礎(chǔ)知識的記憶和應(yīng)用情況.

5.（5分）（2013秋?富平縣校級期中）已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，且在

（0,+8）內(nèi)有1003個零點，則f（x）的零點的個數(shù)為（）

A.1003B.1004C.2006D.2007

【考點】54：根的存在性及根的個數(shù)判斷；3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì).

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象性質(zhì)、函數(shù)的零點的定義，以及f（0）=0、函數(shù)在（0,

+8）內(nèi)有1003個零點，

求得函數(shù)的零點的總個數(shù).

【解答】解：因為已知f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點對

稱.

再由函數(shù)在（0,+8）內(nèi)有1003個零點，可得函數(shù)在（-8,0）內(nèi)也有1003

個零點，

再根據(jù)f（0）=0,

可得函數(shù)的零點個數(shù)為1003+1003+1=2007,

故選D.

【點評】本題主要考查奇函數(shù)的圖象性質(zhì)，函數(shù)的零點的定義，注意不要忘了

x=0這個零點，屬于中檔題.

6.（5分）（2013?淄博模擬）如果函數(shù)f（x）=X2+2（a-1）x+2在（-4］上

是減函數(shù)，那么實數(shù)a取值范圍是()

A.aW-3B.a?-3C.a<5D.a?5

【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】11：計算題.

【分析】先用配方法將二次函數(shù)變形，求出其對稱軸，再由"在(-8,?上是

減函數(shù)"，知對稱軸必須在區(qū)間的右側(cè)，求解即可得到結(jié)果.

【解答】解:*.*f(x)=X2+2(a-1)x+2=(x+a-1)2+2-(a-1)2

其對稱軸為：x=l-a

":函數(shù)f(x)=X2+2(a-1)x+2在(-8,4］上是減函數(shù)

/.I-a24

aW-3

故選A

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性，解題時要先明確二次函數(shù)的對稱軸和

開口方向，這是研究二次函數(shù)單調(diào)性和最值的關(guān)鍵.

7.(5分)(2012秋?潮陽區(qū)期末)設(shè)y1=409,丫2=8?！暄?=(上尸?5,則()

A.y3>yi>y2B.y2>yi>y3C.yi>y3>y2D.yi>y2>y3

【考點】4B：指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】化簡這三個數(shù)為2*的形式，再利用函數(shù)丫=2*在R上是增函數(shù)，從而判

斷這三個數(shù)的大小關(guān)系.

【解答】解：..1產(chǎn)4。02%丫2=8°"8=(23)0〃8=2】44,丫3=§).'=2出

函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，1,8>1,5>1.44,

/>21.8>21,5>21,44>故yi>y3>y2,

故選C.

【點評】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬

于基礎(chǔ)題.

8.（5分）（2013秋?兗州市期中）若Ioga3>logb3>0,則（）

A.0<a<b<lB.l<a<bC.0<b<a<lD.l<b<a

【考點】4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】本題所給的不等式是一個對數(shù)不等式，我們要先利用換底公式將不等式

的二項均化為同底，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.

【解答】解：不等式果可化為：‘一一〉

loga3>logb3>0,0，

log3alog3b

故

0<log3a<log3b

又,函數(shù)的底數(shù)

y=log3x3>1,

故函數(shù)y=log3X為增函數(shù)

/.l<a<b,

故答案為：B

【點評】本題考查的知識點是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點，其中根據(jù)對數(shù)函數(shù)的

性質(zhì)將對數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一個整式不等式是解答本題的關(guān)鍵.要注意對數(shù)函數(shù)的

單調(diào)性，即當?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增，當?shù)讛?shù)大于。小于1時單調(diào)遞減.

9.（5分）（2013秋?平陰縣校級期末）下列所給四個圖象中，與所給3件事吻合

最好的順序為（）

（1）我離開家不久，發(fā)現(xiàn)自己把作業(yè)本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作

業(yè)本再去上學(xué)；

（2）我騎著車一路以常速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時

間；

（3）我出發(fā)后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加

速.

A.①②④B.④②③C.①②③D.④①②

【考點】30：函數(shù)的圖象.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合.

【分析】根據(jù)回家后，離家的距離又變?yōu)?,可判斷（1）的圖象開始后不久又

回歸為0;由途中遇到一次交通堵塞，可判斷中間有一段函數(shù)值沒有發(fā)生變化；

由為了趕時間開始加速，可判斷函數(shù)的圖象上升速度越來越快.

【解答】解：離家不久發(fā)現(xiàn)自己作業(yè)本忘記在家里，回到家里，這時離家的距離

為0,故應(yīng)先選圖象④；

回校途中有一段時間交通堵塞，則這段時間與家的距離必為一定值，故應(yīng)選圖象

①；

最后加速向?qū)W校，其距離與時間的關(guān)系為二次函數(shù)，故應(yīng)選圖象②.

故選D.

【點評】本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，我們分析實際情況中離家距離隨時間

變化的趨勢，找出關(guān)鍵的圖象特征，對四個圖象進行分析，即可得到答案.

10.（5分）（2016秋?臨川區(qū)校級期中）函數(shù)y=x2-2x+4在閉區(qū)間[0,m]上有最

大值4,最小值3,則m的取值范圍是（）

A.[1,+8）B.[0,2]C.（…，2]D.[1,2]

【考點】3X：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】由于函數(shù)y=x2-2x+4=（x-1）2+3的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸

為x=l,再根據(jù)已知條件，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍.

【解答】解：由于函數(shù)y=x?-2x+4=（x-1）2+3的圖象是開口向上的拋物線，

對稱軸為x=l,如圖所示.

,當x=0時，y=4,故當x=2時，也有y=4；當x=l時,y=3.

再根據(jù)函數(shù)y=x2-2x+4在閉區(qū)間[0,m]上有最大值4,最小值3,

可得lWmW2,

故選D.

【點評】本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

想，屬于中檔題.

二、填空題：（本題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案填寫在答題紙

上）

11.（5分）（2013秋?兗州市期中）函數(shù)f（x）=的定義域是（2,

（）

log2x-l

+8）.

【考點】33：函數(shù)的定義域及其求法.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

3*-9〉0

【分析】要使函數(shù)有意義，只要卜-1#1即可.

x-l>0

3x-9>0

【解答】解：要使函數(shù)有意義，須滿足卜一1。1,解得x>2,

x-l>0

函數(shù)f（x）的定義域為（2,+8）,

故答案為：（2,+°°）.

【點評】本題考查函數(shù)定義域及其求法，屬基礎(chǔ)題，函數(shù)解析式為偶次根式，被

開方數(shù)須大于等于0,若解析式為分式，分母不為0.

12.（5分）（2011?懷化一模）用二分法求方程x3-2x-1=0的一個近似解時，現(xiàn)

在已經(jīng)將一根鎖定在區(qū)間（1,2）內(nèi)，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為

2).

【考點】56：二分法求方程的近似解.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想.

【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)f(x)=X3-2X-1,求方程X3-2X-1=0的一個近似解,

就是求函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)有零點，因此把x=1.2,3，代入函數(shù)解析式，分析函

2

數(shù)值的符號是否異號即可.

【解答】解:令f(x)=x3-2x-1,

貝Uf(1)=-2<0,f(2)=3>0,f(3)=-5<0,

28

由f(3)f(2)〈。知根所在區(qū)間為(3,2).

22

故答案為(W,2).(說明：寫成閉區(qū)間也對)

2

【點評】此題是個基礎(chǔ)題.考查二分法求方程的近似解，以及方程的根與函數(shù)的

零點之間的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，同時也考查了學(xué)生分析解決問題的能力.

13.(5分)(2013秋?富平縣校級期中)已知f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0),則

f(3),f(-3),f(2)從小到大的順序是f(-3)<f(3)<f(2).

22

【考點】3W：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)開口向下，對稱軸是*=?,作出函數(shù)草圖即可求解.

2

【解答】解：由于f(x)=ax2-3ax+a2-1(a<0)的圖象開口向下，對稱軸是

Ax--3-，

2

故函數(shù)在(-8,上為增函數(shù)，在0，+8)上為減函數(shù)，

又由f(-3)=f(6),6>3>X

2

故f(6)<f(3)<f(W),

2

則f(-3)<f(3)Vf(W).

2

故答案為：f(-3)<f(3)Vf(W).

2

八

【點評】本題主要考查二次函數(shù)的單調(diào)性，還考查了基本函數(shù)的研究，要注意數(shù)

形結(jié)合的應(yīng)用.

14.（5分）（2015秋?葫蘆島校級期中）已知f（x）=［（3-a）x-4：是（一

log,aX,X>1

8,+8）上的增函數(shù)，那么a的取值范圍是1Va<3.

【考點】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】11：計算題.

【分析】根據(jù)f（x）是增函數(shù)，可得3-a>0且，a>l,并且在x=l處3-a-

4a^logal=0,解之得：lVaV3,即為實數(shù)a的取值范圍.

'（3-a）x-4av<Tl

【解答】解：=f（X）="是（-8,+8）上的增函數(shù)，

logaX,X>1

3-a>0

：.\a>l=^l<a<3

3-&一4a<1。g1=0

,a

故答案為：Ka<3

【點評】本題根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，求實數(shù)a的取值范圍，著重考查了基本初

等函數(shù)單調(diào)性的知識點，屬于基礎(chǔ)題.

"x+2（x4-l）

2

15.（5分）（2012?余杭區(qū)校級模擬）設(shè)f（x）=<X（-1<X<2）>若f（X）=3,

L2X（X>2）

則x=_V3_.

【考點】3T：函數(shù)的值.

x+2（x4-l）

【分析】根據(jù)已知中分段函數(shù)的解析式f（x）=X2（-1<X<2），我們分xW-1

,2x（x>2）

時、-l<x<2時、x22時三種情況，分別構(gòu)造方程，解出滿足條件的x值，即

可得到答案.

【解答】解：當xW-1時，即x+2=3,解得x=l（舍去）

當-1VXV2時，即x?=3,解得x=仃，或*=-遙（舍去）

當x22時，即2x=3,解得x=3（舍去）

2

故當f（x）=3,貝ijx=?

故答案為：M

【點評】本題考查的知識點是函數(shù)函數(shù)的值，分段函數(shù)分段處理，分別在若干個

x的不同取值范圍內(nèi)，構(gòu)造滿足條件的方程，并結(jié)合x的不同取值范圍進行求解

是解決這類問題的通法.

三、解答題：（本題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

算步驟.）

16.（12分）（2013秋?棗強縣校級期末）設(shè)方程2x?+x+p=0的解集為A,方程

2x2+qx+2=0的解集為B,ACB=U~},求AUB.

2

【考點】1E：交集及其運算；1D：并集及其運算.

【專題】11:計算題.

【分析】根據(jù)兩集合的交集中的元素屬于A又屬于B,將x的值代入方程求出p

與q的值，即可確定出兩集合的并集.

【解答】解：,??ACB=Uj,XGB,

222

將x=L代入2x2+x+p=0得：—+.L.+p=0,即p=-1；將x=L代入2x2+qx+2=0得：

2222

_L+Lq+2=0,即q=-5,

又方程2X2+X-1=0的解為x=-1或x=L方程2x2-5x+2=0的解為x=L或2,

22

/.A={-1,—},B={—,2},

22

【點評】此題考查了并集及其運算，以及交集及其運算，熟練掌握各自的定義是

解本題的關(guān)鍵.

17.(12分)(2013秋?德城區(qū)校級期中)計算求值:

1J_

(1)已知lC)a=22,10p=323,求104的值

(2)計算：lg500+lg.?--ljg64+50(Ig2+lg5)2.

52

【考點】4H：對數(shù)的運算性質(zhì)；45：有理數(shù)指數(shù)幕的運算性質(zhì)；4G：指數(shù)式與

對數(shù)式的互化.

【專題】11:計算題.

【分析】(1)直接利用指數(shù)式的運算性質(zhì)化簡求值；

(2)直接利用對數(shù)式的運算性質(zhì)化簡求值.

11

【解答】解:(1)由10。=2~~2,10p=32T,

1

則102a仔匕*二薊二二V

104(10,”(323)4

32424

(2)lg500+lg8.-Ilg64+5O(Ig2+lg5)2

52

=lg5+2+lg8-Ig5-llg26+50

2

=2+3lg2-31g2+50=52.

【點評】本題考查了有理指數(shù)幕的化簡與求值，考查了指數(shù)式與對數(shù)式的互化,

關(guān)鍵是Ig2+lg5=l的運用，是基礎(chǔ)的計算題.

18.（12分）（2013秋?雁塔區(qū)校級期中）對于二次函數(shù)y=-4x?+8x-3,

（1）指出圖象的開口方向、對稱軸方程、頂點坐標；

（2）畫出它的圖象，并說明其圖象由y=-4x2的圖象經(jīng)過怎樣平移得來；

（3）求函數(shù)的最大值或最小值；

（4）分析函數(shù)的單調(diào)性.

【考點】3A：函數(shù)圖象的作法；34：函數(shù)的值域；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；

3W：二次函數(shù)的性質(zhì).

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y=-4（x-l）2+1,可得它的圖象開口方向，對稱軸、

頂點坐標.

（2）畫出f（x）的圖象，把y=-4x2的圖象向上平移1個單位，可得函數(shù)f（x）

的圖象.

（3）根據(jù)函數(shù)圖象的頂點的坐標和對稱軸，求得函數(shù)的最值.

（4）根據(jù)二次函數(shù)y=-4（x-1）2+1的圖象，可得它的單調(diào)區(qū)間.

【解答】解：（1）根據(jù)二次函數(shù)y=f（x）=-4X2+8X-3=-4（x-1）2+1的二次

項的系數(shù)為正實數(shù)，故拋物線開口向下，

對稱軸為x=l,頂點坐標為（1,1）.

（2）畫出f（x）的圖象，如圖：

把y=-4x2的圖象向上平移1個單位，可得函數(shù)f（x）的圖象.

（3）由于函數(shù)的圖象為開口向下的拋物線，頂點的坐標為（1,1）,故當x=l時,

函數(shù)取得最大值為1,

但函數(shù)沒有最小值.

（4）根據(jù)二次函數(shù)y=-4x?+8x-3=-4（x-1）2+1的二次項的系數(shù)為正實數(shù)，

故拋物線開口向下，

對稱軸為X=l,故它的增區(qū)間為（-8,1],減區(qū)間為（1,+8）.

【點評】本題主要考查利用二次函數(shù)的性質(zhì)作函數(shù)的圖象、求函數(shù)的值域、求函

數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題.

19.（12分）（2012秋?榆陽區(qū)校級期中）某工廠生產(chǎn)一種機器的固定成本為5000

元，且每生產(chǎn)100部，需要增加投入2500元，對銷售市場進行調(diào)查后得知，市

場對此產(chǎn)品的需求量為每年500部.已知年銷售收入為H（X）=500X4X2,其中x

是產(chǎn)品售出的數(shù)量.

（1）若x為年產(chǎn)量，y表示年利潤，求y=f（x）的表達式.（年利潤=年銷售收入

-投資成本（包括固定成本））

（2）當年產(chǎn)量為何值時，工廠的年利潤最大，其最大值是多少？

【考點】5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.

【專題】11：計算題；12：應(yīng)用題.

【分析】（1）本題考查的是分段函數(shù)的有關(guān)知識，當0WxW500時，w=500x-l2

2x

-（5000+25X）,當x>500時，w=500X500-L-5002；

2

（2）用配方法化簡解析式，求出最大值.

【解答】解：（1）當0WxW500時，產(chǎn)品全部售出

?19

??W=500x4x-（5000+25x）

2

即W=-1-X+475X-5000（2分）

當x>500時，產(chǎn)品只能售出500臺

??W=500X500-1-X500-（5000+25x）

即，W=-25x+120000(4分)

(2)當°Wx近50°時，W=~^(X~475)2+107812.5(6分)

當x>500時，W=120000-25x<120000-25X500=107500(8分)

故當年產(chǎn)量為475臺時取得最大利潤，且最大利潤為107812.5元，最佳生產(chǎn)計

戈U475臺.(10分)

【點評】本題考查的是二次函數(shù)的實際應(yīng)用，用配方法可求出最大值，配方法求

最值是常用的方法，屬于基礎(chǔ)題.

20.(13分)(2013秋?河南期中)設(shè)a是實數(shù)，f(x)=a一&WR)，

2X+1

(1)試證明：對于任意a,f(x)在R為增函數(shù)；

(2)試確定a的值，使f(x)為奇函數(shù).

【考點】3K：函數(shù)奇偶性的判斷；3E：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明.

【專題】11：計算題.

【分析】(1)設(shè)X1、X2?R且X1〈X2,用作差法，有f(xi)-f(x2)=—2產(chǎn)TJ—，

(2X1+1)(2X：+1)

結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析可得f(Xi)-f(x2)<0,可得f(x)的單調(diào)性且與

a的值無關(guān)；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)f(x)是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的定義可得，f(-x)=-f(x),

即2-2=_(a--2_),對其變形，解可得a的值，即可得答案.

2~x+l2X+1

【解答】解：⑴證明：設(shè)X］、X2^R且Xi〈X2，

f(xi)-f(x2)=(a----)-(a-—)=―-----_=_——,

2X1+12町+12町+12%+1(2%+1)(2與+1)

又由丫=2*在R上為增函數(shù)，則2>1>0,2年>。，

由Xi〈X2，可得2*1-2*2<0,

則f(X1)-f(x2)<0,

故f(x)為增函數(shù)，與a的值無關(guān)，_2_

2°+1

即對于任意a,f(x)在R為增函數(shù);

(2)若f(x)為奇函數(shù)，且其定義域為R,

必有有f(-x)=-f(x),

即a-2=_(a-，_),變形可得2a=2(2'+」=2,

2~x+l2X+12X+1

解可得，a=l,

即當a=l時，f(x)為奇函數(shù).

【點評】本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，注意(1)中要體現(xiàn)f(x)

的單調(diào)性與a的值無關(guān).

21.(14分)(2011春?德州期末)設(shè)函數(shù)y=f(x)是定義在(0,+8)上的減函

數(shù)，并且滿足f(xy)=f(x)+f(y),

(1)求f(1)的值；

(2)如果f(x)+f(2-x)<2,求x的取值范圍.

【考點】3T：函數(shù)的值；3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).

【專題】11：計算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

【分析】(1)利用賦值法：令x=y=l即可求解

(2)利用賦值法可得，f(L)=2,然后結(jié)合f(xy)=f(x)+f(',轉(zhuǎn)化已知不

9

等式，從而可求

【解答】解:(1)令x=y=l,則f(1)=f(1)+f(1),

Af(1)=0(4分)

⑵Vf4)=1

??f(4-)=f(4-(-^-)=2

￥JJ3J

??f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)]<f

9

X(2-X)>y

又由y=f(x)是定義在R'上的減函數(shù)，得：,x〉0

2-x>0

解之得：x€(l心乎，1+平)?...(12分)

【點評】本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)

性求解不等式，屬于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用

考點卡片

1.并集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A

UB.

符號語言：AUB={x|xCA或xWB}.

圖形語言:

AUB實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中

的元素.

運算形狀:

①AUB=BUA.②AU0=A.③AUA=A.④AUBBA,AUB2B.⑤AUB=B<=>A=B.⑥

AUB=。，兩個集合都是空集.⑦AU(QA)=U.@Cu(AUB)=(CUA)D(CUB).

【解題方法點撥】解答并集問題，需要注意并集中："或"與"所有"的理解.不能

把"或"與"且"混用；注意并集中元素的互異性.不能重復(fù).

【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填

空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題.

2.交集及其運算

【知識點的認識】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A

AB.

符號語言：AnB={x|xGA,且xGB}.

ACB實際理解為：x是A且是B中的相同的所有兀素.

當兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交

集.

運算形狀：

①ACB=BnA.②AA0=0.③AAA=A.④AABQA,AAB￡B.⑤ACB=A<=>A=B.⑥

AAB=。，兩個集合沒有相同元素.⑦AA([uA)=0.⑧[u(ACB)=([必)U

(CuB).

【解題方法點撥】解答交集問題，需要注意交集中："且"與"所有"的理解.不能

把"或"與"且"混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩

圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題.

3.交、并、補集的混合運算

【知識點的認識】

集合交換律ACB=BAA,AUB=BUA.

集合結(jié)合律(APB)ClC=An(BAC),(AUB)UC=AU(BUC).

集合分配律AA(BUC)=(AAB)U(ACC),AU(BAC)=(AUB)A(A

UC).

集合的摩根律Cu(APB)=CuAUCuB,Cu(AUB)=CuADCuB.

集合吸收律AU(APB)=A,AA(AUB)=A.

集合求補律AUCuA=U,AnCuA=(D.

【解題方法點撥】直接利用交集、并集、全集、補集的定義或運算性質(zhì)，借助數(shù)

軸或韋恩圖直接解答.

【命題方向】理解交集、并集、補集的混合運算，每年高考一般都是單獨命題,

一道選擇題或填空題，屬于基礎(chǔ)題.

4.判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)

【知識點的認識】函數(shù)的構(gòu)成要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域.

所以判斷兩個函數(shù)是不是同一函數(shù)，就看定義域和對應(yīng)法則是否一樣.

【解題方法點撥】判斷函數(shù)是否是同一個函數(shù)，一般是同解變形化簡函數(shù)的表達

式，考察兩個函數(shù)的定義域是否相同，對應(yīng)法則是否相同.

【命題方向】高考中以小題出現(xiàn)，選擇題與填空題的形式，由于函數(shù)涉及知識面

廣，所以函數(shù)是否為相同函數(shù)命題比較少.

5.函數(shù)的定義域及其求法

【知識點的認識】函數(shù)的定義域就是使函數(shù)有意義的自變量的取值范圍.

求解函數(shù)定義域的常規(guī)方法：①分母不等于零；

②根式（開偶次方）被開方式20;

③對數(shù)的真數(shù)大于零，以及對數(shù)底數(shù)大于零且不等于1;

④指數(shù)為零時，底數(shù)不為零.

⑤實際問題中函數(shù)的定義域；

【解題方法點撥】

求函數(shù)定義域，一般歸結(jié)為解不等式組或混合組.（1）當函數(shù)是由解析式給出

時，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合.（2）當函數(shù)是由實際問題

給出時，其定義域的確定不僅要考慮解析式有意義，還要有實際意義（如長度、

面積必須大于零、人數(shù)必須為自然數(shù)等）.（3）若一函數(shù)解析式是由幾個函數(shù)經(jīng)

四則運算得到的，則函數(shù)定義域應(yīng)是同時使這幾個函數(shù)有意義的不等式組的解

集.若函數(shù)定義域為空集，則函數(shù)不存在.（4）抽象函數(shù)的定義域：①對在同一

對應(yīng)法則f下的量"x〃"x+a""x-a"所要滿足的范圍是一樣的；②函數(shù)g（x）中的

自變量是X,所以求g（x）的定義域應(yīng)求g（X）中的X的范圍.

【命題方向】高考會考中多以小題形式出現(xiàn)，也可以是大題中的一小題.

6.函數(shù)的值域

【知識點的認識】函數(shù)值的集合｛f（x）|xGA｝叫做函數(shù)的值域.A是函數(shù)的定義

域.

【解題方法點撥】（1）求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖

象法、換元法、不等式法等.

無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域.

（2）函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的

題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強的運算能

力.

在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點和重點，并可以逐漸加強.

（3）運用函數(shù)的值域解決實際問題

此類問題關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決.此類題

要求考生具有較強的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力.

【命題方向】函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點內(nèi)容之一，有時在函

數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題中出現(xiàn)，是常考題型.

7.函數(shù)圖象的作法

【知識點的認識】函數(shù)圖象的作法：通過如下3個步驟（1）列表；（2）描點；

（3）連線.

【解題方法點撥】一般情況下，函數(shù)需要同解變形后，結(jié)合函數(shù)的定義域，通過

函數(shù)的對應(yīng)法則，列出表格，然后在直角坐標系中，準確描點，然后連線（平滑

曲線）.

【命題方向】一般考試是以小題形式出現(xiàn)，或大題中的一問，常見考題是，常見

函數(shù)的圖象，有時結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性知識結(jié)合命題.

8.函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

【知識點的認識】

一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的

任意兩個自變量X1，X2，

當X1VX2時，都有f(Xi)<f(X2),那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是增函數(shù);

當X1>X2時，都有f(Xi)Vf(X2),那么就說函數(shù)f(X)在區(qū)間D上是減函數(shù).

若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間具

有(嚴格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解題方法點撥】

證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號;

⑤下結(jié)論.

利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：

第一步：求函數(shù)的定義域.若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三

次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域.

第二步：求函數(shù)f(X)的導(dǎo)數(shù)f，(x),并令r(x)=0,求其根.

第三步：利用f(x)=0的根和不可導(dǎo)點的x的值從小到大順次將定義域分成若

干個小開區(qū)間，并列表.

第四步：由E(x)在小開區(qū)間內(nèi)的正、負值判斷f(x)在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性;

求極值、最值.

第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f(x)maxWa或f(x)min2a,解不等式

求參數(shù)的取值范圍.

第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論

【命題方向】

從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是

高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主

要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重

要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想

方法.預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)

性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理

能力.

9.函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

【知識點的認識】

所謂單調(diào)性一般說的是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，即在某個定義域內(nèi)，函數(shù)的

值域隨著自變量的增大而增大或者減小，那么我們就說這個函數(shù)具有單調(diào)性.它

是求函數(shù)值域或者比較大小的常用工具.

【解題方法點撥】

定義法、導(dǎo)數(shù)法、性質(zhì)法

①定義法：在滿足定義域的某區(qū)間內(nèi)任意兩個自變量的值Xi、X2,當X1VX2時都

有f（Xi）<f（X2）.那么就說f（X）在這個區(qū)間上是增函數(shù).

②導(dǎo)數(shù)法：（當函數(shù)在所考察區(qū)間內(nèi)可微（可導(dǎo)）時，才能利用導(dǎo)數(shù)研究它的單

調(diào)性）若f（X）>0則f（X）單調(diào)上升，則函數(shù)嚴格單調(diào)遞增（如果存在有限個

孤立的點的導(dǎo)函數(shù)為0仍為遞增函數(shù)）.

③性質(zhì)法：n個單調(diào)遞增（遞減）的函數(shù)的和仍為遞增（遞減）函數(shù)

【命題方向】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.

作為一個工具，凡是涉及到最值問題、大小比較問題都應(yīng)立馬聯(lián)想到它的

單調(diào)性，并對一般常見函數(shù)的單調(diào)性有清醒的認識，這里面的一個擴展是一些數(shù)

列問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)來求解.

10.函數(shù)奇偶性的判斷

【知識點的認識】

奇偶函數(shù)相同點是定義域都關(guān)于原點對稱，不同點是奇函數(shù)圖象關(guān)于原點

對稱，且滿足f（-x）=-f（x）；偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，且滿足f（-x）=f

（x）

【解題方法點撥】

它們的解題方法其實很相近的，這里可以參考奇函數(shù)考點或偶函數(shù)考點，

唯一的區(qū)別是奇函數(shù)還有一個若在原點有定義，則必過原點.這里注意了，不一

定是連續(xù)函數(shù)，分段函數(shù)也可以是奇函數(shù).

【命題方向】

學(xué)會利用性質(zhì)對函數(shù)奇偶性進行判斷.另外學(xué)會利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)求函

數(shù)表達式里的參數(shù)，并結(jié)合圖形對周期偶函數(shù)與X軸交點個數(shù)進行判定.

11.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

【知識點的認識】

①如果函數(shù)f(X)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個X,都有f(-X)

=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于(0,0)對稱.②

如果函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且定義域內(nèi)任意一個x,都有f(-x)

=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)，其圖象特點是關(guān)于y軸對稱.

【解題方法點撥】

①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點，那么運用f(0)=0解相關(guān)的未知量；

②奇函數(shù)：若定義域不包括原點，那么運用f(x)=-f(-x)解相關(guān)參數(shù)；

③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f(x)=f(-x)這個去求解；

④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相

反.

例題：函數(shù)y=x|x|+px,xeR是()

A.偶函數(shù)B.奇函數(shù)C.非奇非偶D.與p有關(guān)

解：由題設(shè)知f(x)的定義域為R,關(guān)于原點對稱.

因為f(-X)=-X-X-px=-XX-px=-f(x),

所以f(x)是奇函數(shù).

故選B.

【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用.

本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其

圖象一起分析，確保答題的正確率.

12.函數(shù)的圖象

【知識點的認識】

1.利用描點法作函數(shù)圖象

其基本步驟是列表、描點、連線.

首先：①確定函數(shù)的定義域；②化簡函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、

單調(diào)性、周期性、對稱性等).

其次：列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，

描點，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

(1)平移變換：

y=f(x)a>0,右移a個單位(a<0,左移|a|個單位)=>y=/(x-a)；

y=f(x)b>0,上移b個單位(b<0,下移|b個單位)=>y=/(x)+b.

(2)伸縮變換：

0<Xl,伸長為原來對■倍

r~~>

y=f(x).縮近原來找y=f(3X)；

y=f(x)A>1,伸為原來的A倍(O<A<1,縮為原來的A倍)=^y=Af(x).

(3)對稱變換：

y=f(x)關(guān)于x軸對稱-=-f(x)；

y=f(x)關(guān)于y軸對稱今y=f(-x)；

y=f(x)關(guān)于原點對稱今片-/(-x).

(4)翻折變換：

y=f(x)去掉y軸左邊圖，保留y軸右邊圖，將y軸右邊的圖象翻折到左邊寸

(|x)；

y=f(x)留下x軸上方圖將x軸下方圖翻折上去片忻(x)|.

【解題方法點撥】

1、畫函數(shù)圖象的一般方法

(1)直接法：當函數(shù)表達式(或變形后的表達式)是熟悉的基本函數(shù)或解析幾

何中熟悉的曲線時，可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱

得到，可利用圖象變換作出，但要注意變換順序，對不能直接找到熟悉函數(shù)的要

先變形，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

(3)描點法：當上面兩種方法都失效時，則可采用描點法.為了通過描少量點，

就能得到比較準確的圖象，常常需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)討論.

2、尋找圖象與函數(shù)解析式之間的對應(yīng)關(guān)系的方法

(1)知圖選式：

①從圖象的左右、上下分布，觀察函數(shù)的定義域、值域