湖南省衡陽市富貴中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖南省衡陽市富貴中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知全集，集合、，則B等于（

）

A.{x｜1＜x≤2}

B.{x｜1≤x＜2}

C.{x｜1≤x＜2}

D.{x｜1≤x≤3}參考答案：A2.已知函數(shù)，則在

A.上單調(diào)遞增

B.上單調(diào)遞增

C.上單調(diào)遞減

D.上單調(diào)遞減參考答案：B略3.若x∈A，則∈A，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合M=的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)是（）A．31 B．7 C．3 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】12：元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】49：綜合法；4R：轉(zhuǎn)化法；5J：集合．【分析】利用x∈A，則∈A，即可判斷出集合A的伙伴關(guān)系集合個(gè)數(shù)．【解答】解：集合M=的所有非空子集中具有伙伴關(guān)系的集合為：{﹣1}，{，2}，{，3}，{﹣1，，2}，{﹣1，，3}，{，2，，3}，{﹣1，，2，，3}，故選：B．4.設(shè)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若是偶函數(shù)，則曲線在原點(diǎn)處的切線方程為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.若z是復(fù)數(shù)，z=．則z?=（）A． B． C．1 D．參考答案： D【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z，求出，然后代入z?計(jì)算得答案．【解答】解：由z==，得，則z?=．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6.設(shè)函數(shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有(

)A．f（x）＞g（x） B．f（x）+g（a）＜g（x）+f（a） C．f（x）＜g（x） D．f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）參考答案：B【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】構(gòu)造函數(shù)，設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性得到F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），得到選項(xiàng)．【解答】解：設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x），因?yàn)楹瘮?shù)f（x），g（x）在[a，b]上均可導(dǎo)，且f′（x）＜g′（x），所以F（x）在[a，b]上可導(dǎo)，并且F′（x）＜0，所以F（x）在[a，b]上是減函數(shù)，所以F（a）＜F（x）＜F（b），即f（x）﹣g（x）＜f（a）﹣g（a），f（x）+g（a）＜g（x）+f（a）；故選B．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵構(gòu)造函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性．7.定義為兩個(gè)向量，間的“距離”，若向量，滿足：①；②；③對任意的，恒有，則（

）A．（A）

B．（B）

C．

D．參考答案：C略8.為得到函數(shù)的圖象，可將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，或向右平移個(gè)單位長度（，均為正數(shù)），則的最小值是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.見右側(cè)程序框圖，若輸入，則輸出結(jié)果是（

）A.51

B.49

C.47

D.45參考答案：A10.若，，則

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，將圓分成n個(gè)區(qū)域，用3種不同顏色給每一個(gè)區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為an.（1）

（2）an=

參考答案：（1）18

；（2）。12.設(shè)是由一平面內(nèi)的個(gè)向量組成的集合．若，且的模不小于中除外的所有向量和的模．則稱是的極大向量.有下列命題：①若中每個(gè)向量的方向都相同，則中必存在一個(gè)極大向量；②給定平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，在該平面內(nèi)總存在唯一的平面向量，使得中的每個(gè)元素都是極大向量；③若中的每個(gè)元素都是極大向量，且中無公共元素，則中的每一個(gè)元素也都是極大向量．其中真命題的序號是_______________．

參考答案：②③①若有幾個(gè)方向相同，模相等的向量，則無極大向量，故不正確；②由于成立，故圍成閉合三角形，則任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正確；（3）3個(gè)向量都是極大向量，等價(jià)于3個(gè)向量之和為，故、中的中的每個(gè)元素都是極大向量時(shí)，中的每一個(gè)元素也都是極大向量，故正確，故答案為②③.

13.若不等式的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】選修4-5不等式選講N4【答案解析】[-2，5]

∵|x+3|+|x-7|≥|（x+3）+（7-x）|=10，

∴|x+3|+|x-7|≥a2-3a的解集為R?a2-3a≤10，解得-2≤a≤5．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-2，5]．故答案為：[-2，5]．【思路點(diǎn)撥】利用絕對值三角不等式可求得|x+3|+|x-7|≥10，依題意，解不等式a2-3a≤10即可．【題文】（本小題滿分13分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】【解析】【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3【答案解析】（1）π（2）最大值是0最小值是-1．（1）由題意得，f（x）=sin（+x）cos（-x）+cosxcos（π-x）=sinxcosx-cosxcosx=-cos2x，

函數(shù)f（x）的最小正周期T==π；

（2）由x∈[-，]得，2x∈[-，]，所以0≤cos2x≤1，即-1≤-cos2x≤0，則函數(shù)的最大值是0，最小值是-1．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡函數(shù)解析式，再由周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期；

（2）由x∈[-，]得2x∈[-，]，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求出cos2x的范圍，再求出函數(shù)的值域，即可求函數(shù)的最值．14.已知點(diǎn)分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為該雙曲線左支上的任意一點(diǎn)．若的最小值為，則該雙曲線離心率的取值范圍是

參考答案：略15.已知向量=（2，x），=（1，3），與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為

．參考答案：（﹣，6）∪（6，+∞）【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角；向量的物理背景與概念．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；平面向量及應(yīng)用．【分析】由題意可得數(shù)量積大于0，且x×1﹣2×3≠0，解不等式求得x的取值范圍．【解答】解：由題意可得=2+3x＞0，且x×1﹣2×3≠0，∴x＞﹣，且x≠6，故實(shí)數(shù)x的取值范圍為（﹣，6）∪（6，+∞），故答案為：（﹣，6）∪（6，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16.曲線和在它們的交點(diǎn)處的兩條切線與軸所圍成的三角形的面積是

.參考答案：17.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為10，則f(2)等于

.參考答案：答案：18三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

（12分）已知函數(shù)在處取得極值，曲線過原點(diǎn)和點(diǎn).若曲線在點(diǎn)處的切線與直線的夾角為45°，且的傾斜角為鈍角。（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍.

參考答案：解析：（Ⅰ）∵曲線過原點(diǎn)，∴，又∵，且是的極值點(diǎn)，∴,

即，

………2分∵過點(diǎn)切線斜率為，由夾角公式得……3分解得或＝（舍去）,由∴

………6分（Ⅱ）∵，若

解得或，

………8分又在區(qū)間上是增函數(shù)，∴或解得或≤＜2.

………12分

19.點(diǎn)A，B分別在射線l1：y=2x（x≥0），l2：y=﹣2x（x≥0）上運(yùn)動(dòng)，且S△AOB=4．（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）求證：中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程；直線與圓錐曲線的關(guān)系．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）設(shè)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，利用S△AOB=4，可得x1?x2=2，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可證明．【解答】（1）解：設(shè)M（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），∠AOB=2θ，…由y=2x可得，tanθ=k=2，那么，…又因?yàn)椋?，化簡得x1?x2=2，…①式…因?yàn)镸（x，y）是A（x1，y1）與B（x2，y2）的中點(diǎn)，所以x1+x2=2x，y1+y2=2y，且y1=2x1，y2=﹣2x2，聯(lián)立可得，并代入①式，得4x2﹣y2=8，…所以中點(diǎn)M的軌跡方程是4x2﹣y2=8，x＞0…（2）證明：設(shè)中點(diǎn)M到射線OA、OB的距離分別為d1、d2，則，…那么所以中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值

…【點(diǎn)評】本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．20.在實(shí)數(shù)集R上定義一種運(yùn)算“*”，該運(yùn)算具有性質(zhì)：

①對任意；

②對任意；

③對任意則=

；函數(shù)的最小值是參考答案：5;321.已知向量與互相垂直，其中．(1）求和的值；(2）若，求的值．

參考答案：（1）∵與互相垂直，則，即，代入得，又，∴.(2）∵，，∴，則，∴.22.（本小題滿分12分）如圖，在凸四邊形中，為定點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，滿足.（I）寫出與的關(guān)系式；（II）設(shè)的面積分別為和，求的最大值.