高一數(shù)學(xué)（幾何概型）

3.3幾何概型

3.3.1幾何概型

問題提出1.計算隨機事件發(fā)生的概率，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法?（1）通過做試驗或計算機模擬，用頻率估計概率；（2）利用古典概型的概率公式計算.（1）試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個（有限性）；3.在現(xiàn)實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結(jié)果是無窮多的情況，這時就不能用古典概型來計算事件發(fā)生的概率.對此，我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題.（2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等（等可能性）.2.古典概型有哪兩個基本特點？幾何概型知識探究（一）：幾何概型的概念思考1：某班公交車到終點站的時間可能是11：30～12：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一點上.這兩個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，還是無限個？若沒有人為因素，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等？思考2：下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝.你認(rèn)為甲獲勝的概率分別是多少？BNBBNNBBBNN思考3：上述每個扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度（或扇形的面積）和它所在位置都是可以變化的，從結(jié)論來看，甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個因素有關(guān)？哪個因素?zé)o關(guān)？與扇形的弧長（或面積）有關(guān)，與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān).BNBBNNBBBNN思考4：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概型.參照古典概型的特性，幾何概型有哪兩個基本特征？（1）可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；（2）每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等.思考5：某班公交車到終點站的時間等可能是11：30～12：00之間的任何一個時刻，那么“公交車在11：40～11：50到終點站”這個隨機事件是幾何概型嗎？若是，怎樣理解其幾何意義？知識探究（二）：幾何概型的概率

對于具有幾何意義的隨機事件，或可以化歸為幾何問題的隨機事件，一般都有幾何概型的特性，我們希望建立一個求幾何概型的概率公式.思考1：有一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得的兩段的長度都不小于1m的概率是多少？你是怎樣計算的？思考2：在玩轉(zhuǎn)盤游戲中，對于下列兩個轉(zhuǎn)盤，甲獲勝的概率分別是多少？你是怎樣計算的？BBBNNNBBBNNN思考3：射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”.奧運會射箭比賽的靶面直徑是122cm，黃心直徑是12.2cm，運動員在距離靶面70m外射箭.假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點，那么如何計算射中黃心的概率？思考4：在裝有5升純凈水的容器中放入一個病毒，現(xiàn)從中隨機取出1升水，那么這1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎樣計算的？思考5：一般地，在幾何概型中事件A發(fā)生的概率有何計算公式？幾何概型的理解

對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點。

這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等。思考6：向邊長為1的正方形內(nèi)隨機拋擲一粒芝麻，那么芝麻落在正方形中心和芝麻不落在正方形中心的概率分別是多少？由此能說明什么問題？概率為0的事件可能會發(fā)生，概率為1的事件不一定會發(fā)生.

理論遷移

例1某人午覺醒來，發(fā)現(xiàn)表停了，他打開收音機，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率.解:設(shè)A={等待的時間不多于10分鐘}.我們所關(guān)心的事件A恰好是打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內(nèi),因此由幾何概型的求概率的公式得即“等待的時間不超過10分鐘”的概率為用幾何概型解簡單試驗問題的方法1、適當(dāng)選擇觀察角度，把問題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解；2、把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域D；3、把隨機事件A轉(zhuǎn)化為與之對應(yīng)的區(qū)域d；4、利用幾何概型概率公式計算。注意：要注意基本事件是等可能的。例2

在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點M，求AM小于AC的概率。分析：點M隨機地落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域D。當(dāng)點M位于圖中的線段AC’上時，

AM＜AC，故線段AC’即為區(qū)域d。解：在AB上截取AC’=AC，于是

P（AM＜AC）=P（AM＜AC’）則AM小于AC的概率為ABCMC,拓:

如圖,∠AOB=60度,OA=2,0B=5,在線段OB上任取一點C,試求:ΔAOC為鈍角三角形的概率AOCB

例2.(會面問題)甲、乙二人約定在12點到5點之間在某地會面，先到者等一個小時后即離去,設(shè)二人在這段時間內(nèi)的各時刻到達是等可能的，且二人互不影響。求二人能會面的概率。解：以X,Y

分別表示甲、乙二人到達的時刻，于是

即點M落在圖中的陰影部分.所有的點構(gòu)成一個正方形，即有無窮多個結(jié)果.由于每人在任一時刻到達都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點是等可能的..M(X,Y)y54321012345x二人會面的條件是：

012345yx54321y=x+1y=x-1記“兩人會面”為事件A

練習(xí)：甲乙兩人相約上午8點到9點在某地會面，先到者等候另一人20分鐘，過時離去，求甲乙兩人能會面的概率.Oxy20206060練習(xí):

假設(shè)你家訂了一份報紙,送報人可能在早上6:30—7:30之間把報紙送到你家,你父親離開家去工作的時間在早上7:00—8:00之間,問你父親在離開家前能得到報紙(稱為事件A)的概率是多少?解:以橫坐標(biāo)X表示報紙送到時間,以縱坐標(biāo)Y表示父親離家時間建立平面直角坐標(biāo)系,由于隨機試驗落在方形區(qū)域內(nèi)任何一點是等可能的,所以符合幾何概型的條件.根據(jù)題意,只要點落到陰影部分,就表示父親在離開家前能得到報紙,即時間A發(fā)生,所以1.幾何概型是不同于古典概型的又一個最基本、最常見的概率模型，其概率計算原理通俗、簡單，對應(yīng)隨機事件及試驗結(jié)果的幾何量可以是長度、面積或體積.小結(jié)作業(yè)作業(yè)：P140練習(xí):1，2.

P142習(xí)題3.3A組:1.2.如果一個隨機試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個，并且每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等，那么該試驗可以看作是幾何概型.通過適當(dāng)設(shè)置，將隨機事件轉(zhuǎn)化為幾何問題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發(fā)生的概率.例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？

某人睡午覺醒來，發(fā)覺表停了，他打開收音機想聽電臺整點報時，他等待的時間短于t分鐘的概率是1/6，求t的值。練習(xí)T1T2T0t分析：所以t=10例某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：把時刻抽象為點，時間抽象為線段，故可以用幾何概型求解。解：設(shè)上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于時刻T2到達，線段T1T2的長度為15，設(shè)T是T1T2上的點，且T1T=5，T2T=10，如圖所示:·記候車時間大于10分鐘為事件A，則當(dāng)乘客到達車站的時刻落在線段T1T上時，事件發(fā)生，區(qū)域D的測度為15，區(qū)域d的測度為5。所以答：侯車時間大于10分鐘的概率是1/3.T1T2T變式：1假設(shè)題設(shè)條件不變，求候車時間不超過10分鐘的概率。T1T2T分析：2某公共汽車站每隔15分鐘有一輛汽車到達，并且出發(fā)前在車站?？?分鐘。乘客到達車站的時刻是任意的，求一個乘客到達車站后候車時間大于10分鐘的概率？分析：設(shè)上輛車于時刻T1到達，而下一輛車于