數(shù)學(xué)課件（新教材人教A版）第六章67子數(shù)列問題《培優(yōu)課》

子數(shù)列問題[培優(yōu)課]第六章數(shù)列子數(shù)列問題包括數(shù)列中的奇偶項、公共數(shù)列以及分段數(shù)列，是近幾年高考的重點和熱點，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列.例1

(2023·南通模擬)在數(shù)列{an}中，an＝(1)求a1，a2，a3；題型一奇數(shù)項與偶數(shù)項所以a1＝2×1－1＝1，a2＝22＝4，a3＝2×3－1＝5.(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.所以a1，a3，a5，…是以1為首項，4為公差的等差數(shù)列，a2，a4，a6，…是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列.所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－2＋an)＋(a2＋a4＋…＋an－3＋an－1)所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a3＋…＋an－3＋an－1)＋(a2＋a4＋…＋an－2＋an)解答與奇偶項有關(guān)的求和問題的關(guān)鍵(1)弄清n為奇數(shù)或偶數(shù)時數(shù)列的通項公式.(2)弄清n為奇數(shù)時數(shù)列前n項中奇數(shù)項與偶數(shù)項的個數(shù).思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(2021·新高考全國Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝(1)記bn＝a2n，寫出b1，b2，并求數(shù)列{bn}的通項公式；所以b1＝a2＝a1＋1＝2，b2＝a4＝a3＋1＝a2＋2＋1＝5.因為bn＝a2n，所以bn＋1＝a2n＋2＝a2n＋1＋1＝a2n＋1＋1＝a2n＋2＋1＝a2n＋3，所以bn＋1－bn＝a2n＋3－a2n＝3，所以數(shù)列{bn}是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列，bn＝2＋3(n－1)＝3n－1，n∈N*.(2)求{an}的前20項和.a2k＝a2k－1＋1＝a2k－1＋1，即a2k＝a2k－1＋1，

①a2k＋1＝a2k＋2，

②a2k＋2＝a2k＋1＋1＝a2k＋1＋1，即a2k＋2＝a2k＋1＋1，

③所以①＋②得a2k＋1＝a2k－1＋3，即a2k＋1－a2k－1＝3，所以數(shù)列{an}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；②＋③得a2k＋2＝a2k＋3，即a2k＋2－a2k＝3，又a2＝2，所以數(shù)列{an}的偶數(shù)項是以2為首項，3為公差的等差數(shù)列.所以數(shù)列{an}的前20項和S20＝(a1＋a3＋a5＋…＋a19)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a20)例2

數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an＝4n－1，bn＝3n＋2，它們的公共項由小到大排列組成數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的通項公式.題型二兩數(shù)列的公共項方法一設(shè)ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，因為3,4互質(zhì)，所以m＋1必為4的倍數(shù)，即m＝4p－1，所以cp＝bm＝3(4p－1)＋2＝12p－1，即數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝12n－1.方法二由觀察可知，兩個數(shù)列的第一個公共項為11，所以c1＝11.設(shè)ak＝bm＝cp，則4k－1＝3m＋2，ak＋3＝4(k＋3)－1＝4k＋11＝3m＋14＝3(m＋4)＋2是數(shù)列{bn}中的項.所以cp＋1＝ak＋3，則cp＋1－cp＝ak＋3－ak＝3×4＝12，所以數(shù)列{cn}是等差數(shù)列，其公差為12，首項為11，因此，數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝12n－1.解決兩個等差數(shù)列的公共項問題時，有兩種方法：(1)不定方程法：列出兩個項相等的不定方程，利用數(shù)論中的整除知識，求出符合條件的項，并解出相應(yīng)的通項公式；(2)周期法：即尋找下一項.通過觀察找到首項后，從首項開始向后，逐項判斷變化較大(如公差的絕對值大)的數(shù)列中的項是否為另一個數(shù)列中的項，并找到規(guī)律(周期)，分析相鄰兩項之間的關(guān)系，從而得到通項公式.跟蹤訓(xùn)練2

(1)已知數(shù)列{an}，{bn}的通項公式分別為an＝4n－2(1≤n≤100，n∈N*)，bn＝6n－4(n∈N*)，由這兩個數(shù)列的公共項按從小到大的順序組成一個新的數(shù)列{cn}，則數(shù)列{cn}的各項之和為A.6788 B.6800 C.6812 D.6824√由題意可得a1＝b1＝2，等差數(shù)列{an}的公差為4，且a100＝398，等差數(shù)列{bn}的公差為6，且b100＝596，易知數(shù)列{cn}為等差數(shù)列，且公差為數(shù)列{an}和{bn}公差的最小公倍數(shù)，由于4和6的最小公倍數(shù)為12，所以等差數(shù)列{cn}的公差為12，則cn＝2＋12(n－1)＝12n－10，解得n≤34，n∈N*，所以等差數(shù)列{cn}共有34項，(2)我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》載有一道數(shù)學(xué)問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”根據(jù)這一數(shù)學(xué)問題，所有被3除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{an}，所有被5除余2的自然數(shù)從小到大排列組成數(shù)列{bn}，把{an}和{bn}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn}，則A.a3＋b5＝c3 B.b28＝c10C.a5b2>c8 D.c9－b9＝a26√根據(jù)題意，數(shù)列{an}是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，an＝2＋3(n－1)＝3n－1，數(shù)列{bn}是首項為2，公差為5的等差數(shù)列，bn＝2＋5(n－1)＝5n－3，數(shù)列{an}與{bn}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{cn}，故數(shù)列{cn}是首項為2，公差為15的等差數(shù)列，cn＝2＋15(n－1)＝15n－13.a3＋b5＝(3×3－1)＋(5×5－3)＝30，c3＝15×3－13＝32，a3＋b5≠c3，A錯誤；b28＝5×28－3＝137，c10＝15×10－13＝137，b28＝c10，B正確；a5＝3×5－1＝14，b2＝5×2－3＝7，c8＝15×8－13＝107，a5b2＝14×7＝98<107＝c8，C錯誤；c9＝15×9－13＝122，b9＝5×9－3＝42，a26＝3×26－1＝77，c9－b9＝122－42＝80≠77＝a26，D錯誤.例3

(1)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝

，則an＝________________.題型三分段數(shù)列(2)已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1＝

，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b1＝a1，b2＝－a3，b3＝a4，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn.①求數(shù)列{bn}的通項公式；設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，d≠0，因為數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，所以(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，所以a1d＋4d2＝0，因為d≠0，所以a1＋4d＝0，(1)利用等差數(shù)列的通項公式與等比中項性質(zhì)列式可解得等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比，進而可得所求通項公式.(2)對n分類討論，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式可得所求和.√當λ＝1，n≥2時，an＝－an－1＋2，即an＋an－1＝2，則S11＝(a11＋a10)＋(a9＋a8)＋(a7＋a6)＋(a5＋a4)＋(a3＋a2)＋a1(2)已知數(shù)列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，即此數(shù)列第一項是20，接下來兩項是20,21，再接下來三項是20,21,22，依此類推，設(shè)Sn是此數(shù)列的前n項和，則S2024等于64＋63＋19064＋63＋62√將數(shù)列分組：第一組有一項，和為20；第二組有兩項，和為20＋21；…；所以S2024＝20＋(20＋21)＋…＋(20＋21＋…＋262)＋20＋21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(263－1)＋(28－1)＝(2＋22＋…＋263)－63＋255課時精練123456基礎(chǔ)保分練1.(2023·南京模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N*)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；123456設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q(q≠0)，∵a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，∴an＝2n＋1，bn＝2n－1.1234561234562.(2023·濰坊模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q>1，滿足S3＝13，

＝3a6.(1)求{an}的通項公式；123456123456方法一因為{an}是公比q>1的等比數(shù)列，整理得3q2－10q＋3＝0，即(3q－1)(q－3)＝0，123456又q>1，所以q＝3，所以an＝a1qn－1＝3n－1.方法二因為{an}是公比q>1的等比數(shù)列，123456所以an＝a1qn－1＝3n－1.123456123456當n為奇數(shù)時，bn＝an＝3n－1，當n為偶數(shù)時，bn＝bn－1＋n＝3n－2＋n，所以T2n＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝(b1＋b3＋…＋b2n－1)＋(b2＋b4＋…＋b2n)＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n)＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n)3.已知數(shù)列{an}和{bn}的通項公式分別為an＝3n＋6，bn＝2n＋7.將集合{x|x＝an，n∈N*}∪{x|x＝bn，n∈N*}中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，….(1)求三個最小的數(shù)，使它們既是數(shù)列{an}中的項，又是數(shù)列{bn}中的項；123456123456將數(shù)列{an}和{bn}的公共項從小到大排列組成數(shù)列{dn}.設(shè)ak＝bm，則3k＋6＝2m＋7，設(shè)k＝2n－1，則m＝3n－2，dn＝ak＝3(2n－1)＋6＝6n＋3.三個最小的數(shù)依次為9,15,21.123456(2)數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有多少個不是數(shù)列{bn}中的項；由數(shù)列c1，c2，c3，…，cn，…的構(gòu)成可知，dm＝6m＋3與dm＋1＝6m＋9均為數(shù)列{cn}中的項，在dm和dm＋1中還有以下項：6m＋5,6m＋6,6m＋7，又c1＝d1＝9，因此數(shù)列{cn}中的項從第1項起，連續(xù)的4項中只有第3項是數(shù)列{an}中的偶數(shù)項，不是數(shù)列{bn}中的項，所以數(shù)列c1，c2，c3，…，c40中有10個不是數(shù)列{bn}中的項.123456(3)求數(shù)列{cn}的前4n項和S4n.由(2)可知，數(shù)列{cn}的前4n項中，由數(shù)列{bn}中的前3n項和數(shù)列{an}中的前n項偶數(shù)項構(gòu)成，4.韓信采用下述點兵方法：先令士兵從1～3報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報2；再令士兵從1～5報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報3；又令士兵從1～7報數(shù)，結(jié)果最后一個士兵報4；這樣，韓信很快就算出了自己部隊士兵的總?cè)藬?shù).已知士兵人數(shù)不超過500人，那么部隊最多有多少士兵？123456123456根據(jù)士兵報數(shù)結(jié)果可得，士兵的總數(shù)是三個等差數(shù)列{3n＋2}，{5n＋3}，{7n＋4}的公共項所組成的數(shù)列中的項.記an＝3n＋2，bn＝5n＋3，cn＝7n＋4，新數(shù)列記為{dn}.從小到大列舉數(shù)列{cn}中的項，并判斷是否為數(shù)列{an}與{bn}中的項，可得數(shù)列{dn}的首項為d1＝53，設(shè)ak＝bm＝cp＝dn，則3k＋2＝5m＋3＝7p＋4，123456123456…；cp＋15＝7(p＋15)＋4＝7p＋4＋105＝5(m＋21)＋3＝3(k＋35)＋2是數(shù)列{an}和{bn}中的項.所以dn＋1＝cp＋15，則dn＋1－dn＝105，所以數(shù)列{dn}的通項公式為dn＝105n－52.當n＝5時，dn＝473<500，當n＝6時，dn＝578>500，所以最多有473個士兵.123456綜合提升練123456當an∈(0,3]時，則an＋1＝2an∈(0,6]，當an∈(3,6]時，則an＋1＝an－3∈(0,3]，故an＋1∈(0,6]，所以當0＜an≤6時，總有0＜an＋1≤6.123456(2)若a＝5，求S2024；當a1＝a＝5時，a2＝a1－3＝2，a3＝2a2＝4，a4＝a3－3＝1，a5＝2a4＝2，a6＝2a5＝4，a7＝a6－3＝1，所以數(shù)列{an}為5,2,4,1,2,4,1,2,4,1，…，所以從第2項起，{an}中的項以3為周期，其和為2＋4＋1＝7，所以S2024＝5＋7×674＋2＝4725.123456123456由m∈N*，可得2m－1≥1，故ak＝2k－1a且am＋1＝2ma.123