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專題05和差化積——因式分解的應(yīng)用1.復(fù)雜的數(shù)值計算;2.代數(shù)式的化簡與求值;3.簡單的不定方程(組);4.代數(shù)等式的證明等.有些多項式分解因式后的結(jié)果在解題中經(jīng)常用到,我們應(yīng)熟悉這些結(jié)果:元4+4=(X2+2元+2)(?2—2元+2);4X4+1=(2X2+2X+1)(2X2一2X+1);ab±a±b+1=(a±1)(b±1);ab±a^ιb-l=(〃干1)(?±1);a3+b3+C3—3abc=(a+b+C)(a2+b2+C2一ab一bc一ac).例題與求解2a一b【例1】已知ab≠0,a2+ab-2b2=0,那么;;——r的值為 .2a+b解題思路:對已知等式通過因式分解變形,尋求a,b之間的關(guān)系,代入關(guān)系求值.【例2】a,b,C是正整數(shù),a〉b,且a2-ab一ac+bc=7,貝Ua-c等于( ).A.—1 B.—1或一7 C.1 D.1或7解題思路:運用因式分解,從變形條件等式入手,在字母允許的范圍內(nèi),把一個代數(shù)式變換成另一個與它恒等的代數(shù)式稱代數(shù)式的恒等變形,它是
研究代數(shù)式、方程和函數(shù)的重要工具,換元、待定系數(shù)、配方、因式分解又是恒等變形的有力工具.求代數(shù)式的值的基本方法有;(1)代入字母的值求值;(2)代入字母間的關(guān)系求值;(3)整體代入求值.19973—2.19972一1995【例3】計算:(1)19973+19972-1998(2)(24++44+4)(64+>++4)(14+4)(34+4)(54+4)(74+4)(94+4)解題思路:直接計算,則必然繁難,對于(1),不妨用字母表示數(shù),通過對分子、分母分解因式來探求解題思路;對于(2),可以先研究(X4+4)的規(guī)律.【例4】求下列方程的整數(shù)解.(1)6町+4X-9y-7=0;(2)2X2+5町+2w=2007.解題思路:不定方程、方程組沒有固定的解法,需具體問題具體分析,觀察方程、方程組的特點,利用整數(shù)解這個特殊條件,從分解因式入手.解不定方程的常用方法有:(1)窮舉法; (2)配方法; (3)分解法; (4)分離參數(shù)法.用這些方程解題時,都要靈活地運用質(zhì)數(shù)合數(shù)、奇數(shù)偶數(shù)、整除等與整數(shù)相關(guān)的知識.【例5】已知a+b=3,ab=2,求下列各式的值:11⑴a2b+ab2; (2)a2+b2; (3)—+一.a2b2解題思路:先分解因式再代入求值.能力訓(xùn)練A級.如圖,有三種卡片,其中邊長為a的正方形卡片1張,邊長分別為a,b的長方形卡片6張,邊長為b的正方形卡片9張,用這16張卡片拼成一個正方形,則這個正方形的邊長為.a bb.已知X+y=3,X2+y2-Xy=4,則UX4+y4+X3y+Xy3的值為.方程X2-町-5X+5y-1=0的整數(shù)解是..如果X2-(m+1)X+1是完全平方式,那么m的值為xy\o"CurrentDocument".已知2X2—3Xy+y2=0(Xy≠0),則一+-的值是( ).yX1A.2,2—2B.2c?2ID.-2,-2—26.當(dāng)X-y=1,X4-Xy3-X3y-3X2y+3Xy2+y4的值為().A.-1B.0C.2D.17.已知a>b>JM=a2b+b2c+c2a,N=ab2+bc2+ca2,則UM與N的大小關(guān)系是( ).A.M<N B.M>N C.M=N D.不能確定n為某一自然數(shù),代入代數(shù)式n3-n中計算其值時,四個同學(xué)算出如下四個結(jié)果,其中正確的結(jié)果只能是( ).A.388944 B.388945 C.388954 D.3889489.計算:19993-10003-9993(I) 1999×1000×999222233+111123⑵222233+11111310.一個自然數(shù)a恰好等于另一個自然數(shù)b的平方,則稱自然數(shù)a為完全平方數(shù),如64=82,64就是一個完全平方數(shù),若a=19982+19982X19992+19992,求證:a是一個完全平方數(shù).B級.已知n是正整數(shù),且n4-16n2+100是質(zhì)數(shù),那么n..已知三個質(zhì)數(shù)m,n,p的乘積等于這三個質(zhì)數(shù)的和的5倍,則m2+n2+P2=.已知正數(shù)a,b,C滿足ab+a+b=bc+b+c=ac+c+a=3,貝U(a+1)(b+1)(c+1)= .4.在日常生活中如取款、上網(wǎng)等都需要密碼,有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼,方便記憶.原理是:如對于多項式X4—y4,因式分解的結(jié)果是(X—y)(χ+y)(χ2+y2),若取X=9,y=9時,則各個因式的值是:(X—y)=0,(X+y)=18,(X2+w)=162,于是就可以把“018162”作為一個六位數(shù)的密碼,對于多項式4X3-町2,取X=10,y=10時,用上述方法產(chǎn)生的密碼是:.(寫出一個即可)..已知a,b,C是一個三角形的三邊,則a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2的值( ).A.恒正 B.恒負(fù)C.可正可負(fù)D.非負(fù).若X是自然數(shù),設(shè)y=X4+2X3+2X2+2X+1,則().a.y一定是完全平方數(shù) B.存在有限個X,使y是完全平方數(shù)c.y一定不是完全平方數(shù) D.存在無限多個X,使y是完全平方數(shù).方程2X2-3Xy-2X2=98的正整數(shù)解有()組.A.3 B.2 C.1 D.0.方程IxyI-2∣x∣+1y∣=4的整數(shù)解有()組.A.2 B.4 C.6 D.8.設(shè)N=695+5×694+10X693+10×692+5×69+1.試問有多少個正整數(shù)是N的因數(shù)?10.當(dāng)我們看到下面這個數(shù)學(xué)算式373+133373+24337+1350 時,37+2461大概會覺得算題的人用錯了運算a3+b3a+b法則吧,因為我們知道——-≠ .但是,如果你動手計算一下,就會發(fā)現(xiàn)上式并沒有錯,不僅如C3+d3C+d此,我們還可以寫出任意多個這種
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