云南省玉溪市第一中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

云南省玉溪市第一中學(xué)2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知圓，直線，則直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.52．已知直線：和直線：，拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值是（）A. B.C. D.3．若，，且，則（）A. B.C. D.4．已知圓與圓，則圓M與圓N的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)含 B.相交C.外切 D.外離5．在等差數(shù)列中，，則的公差為（）A.1 B.2C.3 D.46．【山東省濰坊市二模】已知雙曲線的離心率為，其左焦點(diǎn)為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.7．已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B.C.1 D.28．若空間中n個(gè)不同的點(diǎn)兩兩距離都相等，則正整數(shù)n的取值A(chǔ).至多等于3 B.至多等于4C.等于5 D.大于59．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.113410．?dāng)?shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的第（）A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)11．在數(shù)列中，若，則稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數(shù)列，則是等差數(shù)列 B.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.是等方差數(shù)列 D.若是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列12．設(shè)雙曲線（）的焦距為12，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓被直線平分，則值為__________14．若，則___________15．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點(diǎn)，，且在第一象限交于點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.16．某個(gè)年級(jí)有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級(jí)全體學(xué)生中抽取一個(gè)容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知某學(xué)校的初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生人數(shù)之比為9：11，該校為了解學(xué)生的課下做作業(yè)時(shí)間，用分層抽樣的方法在初中、高中年級(jí)的在校學(xué)生中共抽取了100名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時(shí)間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：（1）在抽取的100名學(xué)生中，初中、高中年級(jí)各抽取的人數(shù)是多少？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）另?yè)?jù)調(diào)查，這100人中做作業(yè)時(shí)間超過4小時(shí)的人中2人來自初中年級(jí)，3人來自高中年級(jí)，從中任選2人，恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率是多少18．（12分）已知拋物線，直線與交于兩點(diǎn)且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)，若直線的傾斜角互補(bǔ)，求的值19．（12分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，其中為指數(shù)函數(shù)且的圖象過點(diǎn)（1）求的表達(dá)式；（2）若對(duì)任意的．不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；20．（12分）一項(xiàng)“過關(guān)游戲”規(guī)則規(guī)定：在第關(guān)要拋擲一顆正六面體骰子次，每次擲得的點(diǎn)數(shù)均相互獨(dú)立，如果這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于，則算過關(guān).（1）這個(gè)游戲最多過幾關(guān)？（2）某人連過前兩關(guān)的概率是？（3）某人連過前三關(guān)的概率是？21．（12分）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的最大距離為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦的中垂線交軸于，當(dāng)變化時(shí)，是否為定值?若是，定值為多少?22．（10分）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】直線l過定點(diǎn)D(1，1)，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短.【題目詳解】由，圓心，半徑，，由，故直線l過定點(diǎn)，∵，故D在圓C內(nèi)部，直線l始終與圓相交，當(dāng)時(shí)，直線l被圓截得的弦長(zhǎng)最短，，弦長(zhǎng)＝.故選：C.2、A【解題分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，即可求解【題目詳解】∵拋物線，∴拋物線的準(zhǔn)線為，焦點(diǎn)為，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離PA等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離PF，即，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和，∴當(dāng)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)P到直線和直線的距離之和的最小值為故選：A3、A【解題分析】由于對(duì)數(shù)函數(shù)的存在，故需要對(duì)進(jìn)行放縮，結(jié)合（需證明），可放縮為，利用等號(hào)成立可求出，進(jìn)而得解.【題目詳解】令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)，等號(hào)成立．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，即，所以，又，所以，，故故選：A4、B【解題分析】將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程形式，計(jì)算圓心距，和兩圓半徑的和差比較，可得答案,【題目詳解】圓,即，圓心，圓，即，圓心，則故有，所以兩圓是相交的關(guān)系，故選：B5、A【解題分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可得方程組，求得公差.【題目詳解】等差數(shù)列中,,，由通項(xiàng)公式可得解得故選：A6、D【解題分析】分析：根據(jù)題設(shè)條件，列出方程，求出，，的值，即可求得雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程詳解：∵雙曲線的離心率為，其左焦點(diǎn)為∴，∴∵∴∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選D.點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)題設(shè)條件求出，，的值是解決本題的關(guān)鍵.7、D【解題分析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)橹本€，，且，所以，故選：D.8、B【解題分析】先考慮平面上的情況：只有三個(gè)點(diǎn)的情況成立；再考慮空間里，只有四個(gè)點(diǎn)的情況成立，注意運(yùn)用外接球和三角形三邊的關(guān)系，即可判斷解：考慮平面上，3個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成等邊三角形，成立；4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，由三角形的兩邊之和大于第三邊，則不成立；n大于4，也不成立；空間中，4個(gè)點(diǎn)兩兩距離相等，構(gòu)成一個(gè)正四面體，成立；若n＞4，由于任三點(diǎn)不共線，當(dāng)n=5時(shí)，考慮四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的正四面體，第五個(gè)點(diǎn)，與它們距離相等，必為正四面體的外接球的球心，由三角形的兩邊之和大于三邊，故不成立；同理n＞5，不成立故選B點(diǎn)評(píng)：本題考查空間幾何體的特征，主要考查空間兩點(diǎn)的距離相等的情況，注意結(jié)合外接球和三角形的兩邊與第三邊的關(guān)系，屬于中檔題和易錯(cuò)題9、C【解題分析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計(jì)算即可.【題目詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.10、A【解題分析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)【題目詳解】數(shù)列為，故通項(xiàng)公式為，是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).故選：A.11、B【解題分析】根據(jù)等方差數(shù)列的定義逐一進(jìn)行判斷即可【題目詳解】選項(xiàng)A中，符合等差數(shù)列的定義，所以是等差數(shù)列，A正確；選項(xiàng)B中，不是常數(shù)，所以不是等方差數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，，所以是等方差數(shù)列，C正確；選項(xiàng)D中，所以是等方差數(shù)列，D正確故選：B12、B【解題分析】根據(jù)可得關(guān)于的方程，解方程即可得答案.【題目詳解】因?yàn)榭苫癁?，所以，則.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查已知雙曲線的焦距求參數(shù)的值，考查函數(shù)與方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解題分析】求出圓的圓心坐標(biāo)，代入直線方程求解即可【題目詳解】解：的圓心圓被直線平分，可知直線經(jīng)過圓的圓心，可得解得；故答案為：1【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題14、【解題分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，即可得出答案.【題目詳解】解：由，得，則，所以，所以，所以.故答案為：.15、【解題分析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【題目詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，雙曲線實(shí)軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，上式取得等號(hào)，可得的最小值為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運(yùn)用16、160【解題分析】∵某個(gè)年級(jí)共有980人，要從中抽取280人，∴抽取比例為，∴此樣本中男生人數(shù)為，故答案為160.考點(diǎn)：本題考查了分層抽樣的應(yīng)用點(diǎn)評(píng)：掌握分層抽樣的概念是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為45、55（2）2.375小時(shí)，2.4小時(shí)（3）【解題分析】（1）依據(jù)分層抽樣的原則列方程即可解決；（2）依據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)和平均時(shí)長(zhǎng)即可；（3）依據(jù)古典概型即可求得恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率.【小問1詳解】設(shè)初中、高中年級(jí)所抽取人數(shù)分別為x、y，由已知可得，解得；【小問2詳解】的頻率為，的頻率為，的頻率為因?yàn)?，，所以中位?shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，則，解得，所以學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)；平均時(shí)長(zhǎng)為小時(shí).故估計(jì)學(xué)生做作業(yè)時(shí)間的中位數(shù)為2.375小時(shí)，平均時(shí)長(zhǎng)為2.4小時(shí)【小問3詳解】2人來自初中年級(jí)，記為，，3人來自高中年級(jí)，記為，，，則從中任選2人，所有可能結(jié)果有：，，，，，，，，，共10種，其中恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)有6種可能，所以恰好1人來自初中年級(jí)，1人來自高中年級(jí)的概率為18、（1）；（2）.【解題分析】（1）利用韋達(dá)定理法即求；（2）由題可求，，再結(jié)合條件即得.【小問1詳解】設(shè)，，由，得，故，由，可得，即，∴，故拋物線的方程為：；【小問2詳解】設(shè)的傾斜角為，則的傾斜角為，∴由，得，∴，∴，同理，由，得，∴，即，故.19、（1）；（2）.【解題分析】（1）設(shè)（且），因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，求得a的值，再根據(jù)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，利用f(0)=0即可求得n的值，得到f(x)的解析式，檢驗(yàn)是奇函數(shù)即可；（2）將分式分離常數(shù)后，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以判定f(x)在R上單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得對(duì)于對(duì)任意的恒成立時(shí)a的取值范圍即可.【題目詳解】解：（1）由題意，設(shè)（且），因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，可得，解得，即，所以，又因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，可得，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合，所以（2）由函數(shù)，可得在上單調(diào)遞減，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，即，又因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，令，即對(duì)任意的恒成立，可得，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性，指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)和函數(shù)不等式恒成立問題，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將不等式轉(zhuǎn)化為二次不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，然后利用二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的端點(diǎn)值滿足的條件.另外注意，第一問中，利用特值f(0)=0求得解析式后，要注意檢驗(yàn)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，f(x)=-f(-x)恒成立.20、（1）關(guān)（2）（3）【解題分析】（1）由題意，可判斷時(shí)，，當(dāng)，所以可判斷出最多只能過關(guān)；（2）記一次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，兩次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，得基本事件的總數(shù)以及滿足題意的基本事件的個(gè)數(shù)，計(jì)算出，，從而根據(jù)概率相乘求解得連過前兩關(guān)的概率；（3）設(shè)前兩次和為，第三次點(diǎn)數(shù)為，列出第三關(guān)過關(guān)的基本事件的個(gè)數(shù)，利用概率相乘即可得連過前三關(guān)的概率.【小問1詳解】因?yàn)轺蛔映霈F(xiàn)的點(diǎn)數(shù)最大為，當(dāng)時(shí)，，而，所以時(shí)，這次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和均小于，所以最多只能過關(guān).【小問2詳解】記一次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個(gè)，符合題意的點(diǎn)數(shù)為，共個(gè)，所以；記兩次拋擲所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和大于為事件，基本事件總數(shù)為個(gè)，不符合題意的點(diǎn)數(shù)為，共個(gè)，則由對(duì)立事件的概率得，所以連過前兩關(guān)的概率為;【小問3詳解】前兩次和為，第三次點(diǎn)數(shù)為則考慮再考慮2種3種4種5種6種5種4種3種2種1種所以滿足共有因此某人連過前三關(guān)的概率是.21、（1）（2）是，【解題分析】(1)由拋物線方程求出其焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)列出，的方程，解方程求，由此可得橢圓方程，(2)聯(lián)立直線橢圓橢圓方程，求出弦的長(zhǎng)和其中垂線方程，再計(jì)算，由此完成證明.【小問1詳解】拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），，又，又，∴，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立消元得到，顯然，，∴，又的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的中垂線的斜率為