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河南省周口市薜廟中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.與橢圓共焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程是:A.
B.
C.
D.
參考答案:B略2.過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與其對(duì)稱軸垂直的直線與E交于A,B兩點(diǎn),若E在A,B兩點(diǎn)處的切線與E的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C,則△ABC外接圓的半徑是(
)A.
B.p
C.
D.2p
參考答案:B3.設(shè)全集,則A. B.C. D.參考答案:B4.已知數(shù)列的首項(xiàng),其前項(xiàng)和為,且滿足,若對(duì)任意恒成立,則的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D解:∵,,∴,即,即,故,由知,∴,;若對(duì)任意恒成立,只需使,即,解得5.已知函數(shù)且則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是()A. B. C. D.參考答案:A試題分析:函數(shù)的對(duì)稱軸為,因?yàn)?所以,即對(duì)稱軸()則是其中一條對(duì)稱軸,故選A.考點(diǎn):三角函數(shù)圖像輔助角公式定積分6.已知函數(shù)
,則的值是
A.
B.
C.
D.參考答案:B7.設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,已知,,則A.
B.
C.
D.參考答案:C略8.設(shè)定義在R上的函數(shù)是最小正周期為2π的偶函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù).當(dāng)x∈[0,π]時(shí),0<<1;當(dāng)x∈(0,π)且時(shí),>0.則函數(shù)在[-2π,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.2B.4
C.5
D.8參考答案:B由當(dāng)x∈(0,π)且x≠時(shí),,知又時(shí),0<f(x)<1,在R上的函數(shù)f(x)是最小正周期為2π的偶函數(shù),在同一坐標(biāo)系中作出和草圖像如下,由圖知y=f(x)-sinx在[-2π,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).9.已知非零向量,滿足||=1,且與﹣的夾角為30°,則||的取值范圍是() A.(0,) B. [,1) C. [1,+∞) D. [,+∞)參考答案:考點(diǎn): 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.專題: 平面向量及應(yīng)用.分析: 在空間任取一點(diǎn)C,分別作,則,并且使∠A=30°.從而便構(gòu)成一個(gè)三角形,從三角形中,便能求出的取值范圍.解答: 解:根據(jù)題意,作;∴,且∠A=30°;過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D,則CD的長(zhǎng)度便是的最小值;在Rt△CDA中,CA=1,∠A=30°,∴CD=;∴的取值范圍是[,+∞).故選D.點(diǎn)評(píng): 把這三個(gè)向量放在一個(gè)三角形中,是求解本題的關(guān)鍵.10.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各打靶5次,兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示,則(
)
甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù)
甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù)
甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差
甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差參考答案:C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的反函數(shù)為,如果函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn),那么函數(shù)的圖像一定過(guò)點(diǎn)______.參考答案:12.在中,三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,為以為直角頂點(diǎn)的直角三角形,則
.參考答案:3=(t﹣3,﹣1﹣t),=(﹣t﹣3,0),∵△ABC為以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形,∴=(t﹣3)(﹣t﹣3)+0=0,解得t=±3.t=﹣3時(shí),點(diǎn)B,C重合,因此舍去.故答案為:3
13.設(shè)直線和圓相交于點(diǎn)、,則弦的垂直平分線方程是.參考答案:試題分析:由得,所以圓的圓心為,根據(jù)圓的相關(guān)性質(zhì),可知所求的直線的斜率為,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)可得結(jié)果為.考點(diǎn):圓的性質(zhì),直線的方程,兩直線垂直關(guān)系的應(yīng)用.14.在平行四邊形ABCD中,已知,,,則四邊形ABCD的面積是_______.參考答案:4【分析】由,根據(jù)向量的線性運(yùn)算,得到,進(jìn)而得到四邊形ABCD是菱形,即可求得四邊形的面積,得到答案.【詳解】由題意,在平行四邊形ABCD中,,可得,所以所以四邊形是菱形,又由,,所以面積為.故答案為:4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,以及菱形的面積的計(jì)算,其中解答熟練應(yīng)用向量的減法運(yùn)算公式,以及向量的數(shù)量積的公式,求得四邊形為菱形是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.15.已知三被錐S﹣ABC的體積為,底面△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,且所有頂點(diǎn)都在直徑為SC的球面上.則此球的半徑為.參考答案:2【考點(diǎn)】LG:球的體積和表面積.【分析】設(shè)球心為O,球的半徑為R,過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,作SD⊥平面ABC交CO1的延長(zhǎng)線與D,用半徑表示出OO1、高SD,利用V三棱錐S﹣ABC=求出R的值.【解答】解:設(shè)球心為O,球的半徑為R,過(guò)ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1,則OO1⊥平面ABC,作SD⊥平面ABC交CO1的延長(zhǎng)線與D,如圖所示;∵△ABC是正三角形,∴CD=×2=,O1C=CD=,∴OO1=,∴高SD=2OO1=2;又△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,∴S△ABC=?22=,∴V三棱錐S﹣ABC=??2=,解得R=2.故答案為:2.16.設(shè)函數(shù),則下列結(jié)論正確的有
(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都寫(xiě)上).①的值域?yàn)?/p>
②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱③不是周期函數(shù)
④不是單調(diào)函數(shù)參考答案:①②④略17.由正整數(shù)組成的一組數(shù)據(jù),其平均數(shù)和中位數(shù)都是,且標(biāo)準(zhǔn)差等于,則這組數(shù)據(jù)為_(kāi)_________。(從小到大排列)參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.[選修4-5:不等式選講](共1小題,滿分0分)已知a>0,b>0,且a+b=1.(I)若ab≤m恒成立,求m的取值范圍;(II)若≥|2x﹣1|﹣|x+2|恒成立,求x的取值范圍.參考答案:【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題.【分析】(Ⅰ)由基本不等式可得;(Ⅱ)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為|2x﹣1|﹣|x+1|≤4,去絕對(duì)值化為不等式,解不等式可得.【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且a+b=1,∴ab≤()2=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)“=”成立,由ab≤m恒成立,故m≥;(Ⅱ)∵a,b∈(0,+∞),a+b=1,∴+=(+)(a+b)=5++≥9,故恒成立,則|2x﹣1|﹣|x+2|≤9,當(dāng)x≤﹣2時(shí),不等式化為1﹣2x+x+2≤9,解得﹣6≤x≤﹣2,當(dāng)﹣2<x<,不等式化為1﹣2x﹣x﹣2≤9,解得﹣2<x<,當(dāng)x≥時(shí),不等式化為2x﹣1﹣x﹣2≤9,解得≤x≤12綜上所述x的取值范圍為[﹣6,12].【點(diǎn)評(píng)】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法,分段函數(shù)知識(shí),考查運(yùn)算能力,轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想,是一道中檔題.19.已知函數(shù)f(x)=﹣x2+ax﹣4lnx﹣a+1(a∈R).(1)若,求a的值;(2)若存在,使函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x0,f(x0))和點(diǎn)處的切線互相垂直,求a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn),則是否存在實(shí)數(shù)m,使f(x)<m對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立?若存在,求出m的取值范圍,若不存在,說(shuō)明理由.參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(1)若,代入計(jì)算,建立方程,即可求a的值;(2)利用切線互相垂直,整理得,設(shè)f(t)=8t2﹣6at+a2+5,則f(t)在t∈(2,3)上有零點(diǎn),考慮到f(2)=32﹣12a+a2+5=(a﹣6)2+1>0,所以或,即可解得a的取值范圍;(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)極值點(diǎn),g(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)不同零點(diǎn),求出a的取值范圍,即可得出結(jié)論.【解答】解:(1)由得,,解得…(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞),,,由題意得,即,…整理得,設(shè),由,得t∈(2,3),則有8t2﹣6at+a2+5=0,…設(shè)f(t)=8t2﹣6at+a2+5,則f(t)在t∈(2,3)上有零點(diǎn),考慮到f(2)=32﹣12a+a2+5=(a﹣6)2+1>0,所以或,解得或8≤a<11,所以a的取值范圍是…(3),令g(x)=﹣2x2+ax﹣4,由題意,g(x)在區(qū)間(1,+∞)上有兩個(gè)不同零點(diǎn),則有,解得…設(shè)函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1和x2,則x1和x2是g(x)在區(qū)間(1,+∞)上的兩個(gè)不同零點(diǎn),不妨設(shè)x1<x2,則①,得且關(guān)于a在上遞增,因此…又由①可得②,當(dāng)x∈(1,x1)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)遞減;x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,f(x)遞增;當(dāng)x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,f(x)遞減,結(jié)合②可得=…設(shè),則,所以h(x)在上遞增,所以,從而,所以,又f(1)=0,所以存在m≥3﹣4ln2,使f(x)<m,綜上,存在滿足條件的m,m的取值范圍為[3﹣4ln2,+∞)…20.如圖,幾何體EF﹣ABCD中,DE⊥平面ABCD,CDEF是正方形,ABCD為直角梯形,AB∥CD,AD⊥DC,△ACB的腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形.(Ⅰ)求證:BC⊥AF;(Ⅱ)求二面角B﹣AF﹣C的大小.參考答案:【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法;直線與平面垂直的性質(zhì).【分析】(I)證明AC⊥BC.DE⊥BC.得到CF⊥BC.即可證明BC⊥平面ACF.推出BC⊥AF.(Ⅱ)以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DE分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABF的法向量,平面ACF的一個(gè)法向量,設(shè)二面角B﹣AF﹣C的大小為θ,利用空間向量的數(shù)量積求解即可.【解答】(I)證明:因?yàn)椤鰽CB是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形,所以AC⊥BC.因?yàn)镈E⊥平面ABCD,所以DE⊥BC.又DE∥CF,所以CF⊥BC.又AC∩CF=C,所以BC⊥平面ACF.所以BC⊥AF.(Ⅱ)解:以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DE分別為x,y,z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系:因?yàn)椤鰽CB是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形,所以,.所以,.所以DE=EF=CF=2.則點(diǎn)A(2,0,0),F(xiàn)(0,2,2),C(0,2,0),B(2,4,0).則.設(shè)平面ABF的法向量為,則由得得得令x=1,得是平面ABF的一個(gè)法向量;易知平面ACF的一個(gè)法向量;設(shè)二面角B﹣AF﹣C的大小為θ,則,又θ∈(0°,180°),解得θ=60°.故二面角B﹣AF﹣C的大小為60°.21.已知函數(shù),xR.(Ⅰ)求的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知,,.求證:.參考答案:本小題考查三角函數(shù)的性質(zhì),同角三角函數(shù)的關(guān)系,兩角和的正、余弦公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算能力,函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.(Ⅰ),∴的最小正周期,最小值.(Ⅱ)證明:由已知得,兩式相加得,∵,∴,則.∴.22.(12分)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an?an+1=()n,記T2n為{an}的前2n項(xiàng)的和,bn=a2n+a2n﹣1,n∈N*.(Ⅰ)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列,并求出bn;(Ⅱ)求T2n.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和;等比關(guān)系的確定;數(shù)列遞推式.【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】(1)利用等比數(shù)列的定義證明即可;(2)利用分組求和由等比數(shù)列的
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