2021年湖南省岳陽(yáng)市汨羅樹沖中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021年湖南省岳陽(yáng)市汨羅樹沖中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.各項(xiàng)互不相等的有限正項(xiàng)數(shù)列,集合,集合,則集合中的元素至多有(

)個(gè). A． B． C． D．參考答案：A2.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D3.設(shè)集合A={x|1＜x＜4}，集合B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，則A∩（?RB）=（）A．（1，4） B．（3，4） C．（1，3） D．（1，2）∪（3，4）參考答案：B【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】集合．【分析】由題意，可先解一元二次不等式，化簡(jiǎn)集合B，再求出B的補(bǔ)集，再由交的運(yùn)算規(guī)則解出A∩（?RB）即可得出正確選項(xiàng)【解答】解：由題意B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，故?RB={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x|1＜x＜4}，∴A∩（?RB）=（3，4）故選B【點(diǎn)評(píng)】本題考查交、并、補(bǔ)的混合運(yùn)算，屬于集合中的基本計(jì)算題，熟練掌握運(yùn)算規(guī)則是解解題的關(guān)鍵4.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)（

）A. B. C. D.參考答案：B分析：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)求得z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得答案.詳解：，.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.5.若集合P=，，則集合Q不可能是（

）

＞

參考答案：D6.若集合,則的子集個(gè)數(shù)為(

)A．2

B．3

C．4

D．16參考答案：C7.在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生一次的概率不小于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是

(A)[0.4,1)

（B）(0,0.6]

（C）(0,0.4]

(D)[0.6,1)參考答案：C8.在△ABC中，點(diǎn)D是AC上一點(diǎn)，且，P為BD上一點(diǎn)，向量，則的最小值為（

）A．16

B．8

C．4

D．2參考答案：A由題意可知：，其中B,P,D三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線的充分必要條件可得：，則：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最小值為16.本題選擇A選項(xiàng).

9.已知集合,則A. B. C. D.參考答案：A10.若函數(shù)f（x）=x3﹣12x在區(qū)間（k﹣1，k+1）上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍（）A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3 B．不存在這樣的實(shí)數(shù)kC．﹣2＜k＜2 D．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意得，區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)必須含有導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，解之即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：由題意可得f′（x）=3x2﹣12在區(qū)間（k﹣1，k+1）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，而f′（x）=3x2﹣12的零點(diǎn)為±2，區(qū)間（k﹣1，k+1）的長(zhǎng)度為2，故區(qū)間（k﹣1，k+1）內(nèi)必須含有2或﹣2．∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，∴1＜k＜3或﹣3＜k＜﹣1，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，把函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，=，則=

．參考答案：由是周期為2的奇函數(shù)可知，.12.函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，滿足約束條件，則實(shí)數(shù)的最大值為

．參考答案：113.函數(shù)f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：1＜a＜【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】x＜0時(shí)，必有一個(gè)交點(diǎn)，x＞0時(shí)，由ax﹣x2=0，可得lna=，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出1＜a＜時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，即可得出結(jié)論．【解答】解：x＞0時(shí)，由ax﹣x2=0，可得ax=x2，∴xlna=2lnx，∴l(xiāng)na=，令h（x）=，則h′（x）==0，可得x=e，∴函數(shù)在（0，e）上單調(diào)增，在（e，+∞）上單調(diào)減，∴h（x）max=h（e）=，∴l(xiāng)na＜，∴1＜a＜時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)；又x＜0時(shí)，必有一個(gè)交點(diǎn)，∴1＜a＜時(shí)，函數(shù)f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故答案為：1＜a＜．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．14.數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如圖所示的三角形形狀，其中每一行比上一行增加兩項(xiàng)，若，則位于第10行的第8列的項(xiàng)等于

，在圖中位于

．（填第幾行的第幾列）參考答案：

第行的第列略15.若點(diǎn)在曲線（為參數(shù)，）上，則的取值范圍是

．參考答案：略16.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是

▲

.參考答案：-417.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的俯視圖的面積為

，該三棱錐的體積為

．參考答案：，．【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】該三棱錐的俯視圖為腰長(zhǎng)為1等腰直角三角形，即可得出面積與體積．【解答】解：該三棱錐的俯視圖為腰長(zhǎng)為1等腰直角三角形，其面積==，該三棱錐的體積V==．故答案為：，．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（1）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）證明：時(shí)，。參考答案：（1）即為。當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，無(wú)解當(dāng)時(shí)，，得。所以時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為。…………5分（2）證明：…………10分19.設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.（1）若，求的值；（2）設(shè)邊上的高為，求的最大值。

參考答案：解：（1）由已知，，即∵，，則，從而，∴，即。∵，，由正弦定理，得。（2）∵，，，則由余弦定理，得，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為。略20.(16分)如圖,P-ABC是底面邊長(zhǎng)為1的正三棱錐,D、E、F分別為棱長(zhǎng)PA、PB、PC上的點(diǎn),截面DEF∥底面ABC,且棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等.(棱長(zhǎng)和是指多面體中所有棱的長(zhǎng)度之和)(1)

證明：P-ABC為正四面體；(2)

若PD=PA,求二面角D-BC-A的大小；(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)(3)

設(shè)棱臺(tái)DEF-ABC的體積為V,是否存在體積為V且各棱長(zhǎng)均相等的直平行六面體,使得它與棱臺(tái)DEF-ABC有相同的棱長(zhǎng)和?若存在,請(qǐng)具體構(gòu)造出這樣的一個(gè)直平行六面體,并給出證明；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：解析：【證明】(1)∵棱臺(tái)DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長(zhǎng)和相等,

∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.

又∵截面DEF∥底面ABC,

∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°,∴P-ABC是正四面體.

【解】(2)取BC的中點(diǎn)M,連拉PM,DM.AM.

∵BC⊥PM,BC⊥AM,∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,

則∠DMA為二面角D-BC-A的平面角.

由(1)知,P-ABC的各棱長(zhǎng)均為1,

∴PM=AM=,由D是PA的中點(diǎn),得

sin∠DMA=,∴∠DMA=arcsin.(3)存在滿足條件的直平行六面體.

棱臺(tái)DEF-ABC的棱長(zhǎng)和為定值6,體積為V.

設(shè)直平行六面體的棱長(zhǎng)均為,底面相鄰兩邊夾角為α,

則該六面體棱長(zhǎng)和為6,體積為sinα=V.

∵正四面體P-ABC的體積是,∴0<V<,0<8V<1.可知α=arcsim(8V)故構(gòu)造棱長(zhǎng)均為,底面相鄰兩邊夾角為arcsim(8V)的直平行六面體即滿足要求.21.如圖，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD=，AD=BD，EC丄底面ABCD，F(xiàn)D丄底面ABCD且有EC=FD=2．（I）求證：AD丄BF；（II）若線段EC上一點(diǎn)M在平面BDF上的射影恰好是BF的中點(diǎn)N，試求二面角B﹣MF﹣C的余弦值．參考答案：考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角．分析：（I）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠BDC=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABD=45°，又AD=DB，從而得到∠ADB=90°，可得AD⊥DB；由線面垂直的性質(zhì)可得FD⊥DB，利用線面垂直的判定定理可得AD⊥平面FDB，即可得到線線垂直；（II）通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．解答：（Ⅰ）證明：∵∠BCD=90°，BC=CD=，∴，∠BDC=45°又由AB∥DC，可知∠ABD=∠BDC=45°，∵AD=DB，∴∠BAD=∠ABD=45°，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB．∵FD丄底面ABCD，∴FD⊥DB．又FD∩DB=D，∴AD⊥平面FBD，∴AD⊥BF．（Ⅱ）解：如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線CD、CB、CE方向?yàn)閤、y、z軸建系．可得D，，，，．又∵N恰好為BF的中點(diǎn)，∴，，．設(shè)M（0，0，z0），∴．又∵，，可得z0=1．∴M（0，0，1），故M為線段CE的中點(diǎn)．設(shè)平面BMF的一個(gè)法向量，且，，由，可得，令y=1，則x=3，z=．得．又∵平面MFC的一個(gè)法向量為，∴==．故所求二面角B﹣MF﹣C的余弦值為．點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、線線垂直、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得出二面角是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，AD//BC，底面，∠ADC=90°，BC=AD=1，PD=CD=2，Q為AD的中點(diǎn)．（Ⅰ）若點(diǎn)M在棱PC上，設(shè)PM=tMC，是否存在實(shí)數(shù)t，使得PA//平面BMQ，若存在，給出證明并求t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三棱