電子電路基礎(chǔ)定理

電子電路基礎(chǔ)定理第一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.2基爾霍夫定律牢固掌握基爾霍夫定律

基本要求：能正確和熟練地應(yīng)用KCL和KVL列寫(xiě)電路方程第二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.2基爾霍夫定律1、有關(guān)術(shù)語(yǔ)

基爾霍夫定律概括了電路中電流和電壓分別遵循的基本規(guī)律，是用以分析和計(jì)算電路的基本依據(jù)。

KCL適用于電路中的任一“節(jié)點(diǎn)”，

KVL適用于電路中的任一“回路”。（1）支路：二端元件（2）節(jié)點(diǎn)：元件的端點(diǎn)（3）回路：電路中任一閉合路經(jīng)（4）網(wǎng)孔：內(nèi)部不含組成回路以外支路的回路（5）網(wǎng)絡(luò)：含元件較多的電路第三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

網(wǎng)孔的概念僅適用于平面電路。平面電路是指支路間沒(méi)有交叉點(diǎn)的電路。右圖為非平面電路?！?.2基爾霍夫定律第四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2、基爾霍夫電流定律

對(duì)于任一集中參數(shù)電路中的任一節(jié)點(diǎn)，在任一瞬間，流出（或流入）該節(jié)點(diǎn)的所有支路電流的代數(shù)和等于零。

KCL反映了電路中會(huì)合到任一節(jié)點(diǎn)的各電流間相互約束關(guān)系。§1.2基爾霍夫定律（基爾霍夫第一定律）KCL

第五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

對(duì)右圖所示電路應(yīng)用KCL,取流出節(jié)點(diǎn)的支路電流為正，流入節(jié)點(diǎn)的支路電流為負(fù)，則有

KCL的實(shí)質(zhì)是電流連續(xù)性原理在集中參數(shù)電路中的表現(xiàn)。所謂電流連續(xù)性：在任何一個(gè)無(wú)限小的時(shí)間間隔里，流入節(jié)點(diǎn)和流出節(jié)點(diǎn)的電流必然是相等的，或在節(jié)點(diǎn)上不可能有電荷的積累，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)上電荷守恒?！?.2基爾霍夫定律請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在列寫(xiě)根據(jù)KCL寫(xiě)出的電路方程稱(chēng)為KCL方程

第六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一KCL的重要性和普遍性還體現(xiàn)在該定律與電路中元件的性質(zhì)無(wú)關(guān)，即不管電路中的元件是R、L、C、M、受控源、電源，也不管這些元件是線(xiàn)性、時(shí)變、非時(shí)變、…

KCL的也適用于廣義節(jié)點(diǎn)，即適合于一個(gè)閉合面。右圖所示電路，根據(jù)KCL設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，則

-i1-i2-i3=0

應(yīng)用KCL時(shí)必須注意和電流的兩套符號(hào)打交道。

§1.2基爾霍夫定律第七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一3、基爾霍夫電壓定律

對(duì)于任一集中參數(shù)電路中的任一回路，在任一瞬間，沿該回路的所有支路電壓的代數(shù)和等于零。

KVL反映了回路中各支路電壓間的相互約束關(guān)系?！?.2基爾霍夫定律（基爾霍夫第二定律）KVL

應(yīng)用KVL時(shí)，應(yīng)指定回路的繞行方向(可任意選取，可取順時(shí)針?lè)较?，也可取逆時(shí)針?lè)较?。當(dāng)支路電壓的參考方向與回路繞行方向一致時(shí)，該支路電壓取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。第八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

對(duì)右圖所示電路應(yīng)用KVL,取支路電壓方向與回路方向一致時(shí)為正，否則為負(fù)，則有：

KVL實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在集中參數(shù)電路中的反映。單位正電荷在電場(chǎng)作用下，由任一點(diǎn)出發(fā)，沿任意路經(jīng)繞行一周又回到原出發(fā)點(diǎn)，它獲得的能量（即電位升）必然等于在同一過(guò)程中所失去的能量（即電位降）。

§1.2基爾霍夫定律請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在列寫(xiě)根據(jù)KVL寫(xiě)出的電路方程稱(chēng)為KVL方程第九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一KVL的重要性和普遍性也體現(xiàn)在該定律與回路中元件的性質(zhì)無(wú)關(guān)。KCL、KVL只對(duì)電路中各元件相互連接時(shí)，提出了結(jié)構(gòu)約束條件。因此，對(duì)電路只要畫(huà)出線(xiàn)圖即可得方程。

例：右圖所示電路中Ec=12V，Rc=5kΩ，Re=1kΩ，Ic=1mA，Ib=0.02mA，

求：Uce及c點(diǎn)、e點(diǎn)的電位c、

e。請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在求解

§1.2基爾霍夫定律第十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

基本要求：初步建立網(wǎng)絡(luò)圖論的概念圖、連通圖和子圖的概念樹(shù)、回路和割集的概念樹(shù)的選取，基本回路和基本割集的選取第十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

1、網(wǎng)絡(luò)圖論概論

圖論是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)十分重要的分支，這里所涉及的只是圖論在網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用，稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)圖論。網(wǎng)絡(luò)圖論也稱(chēng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)洹?/p>

為在計(jì)算機(jī)上系統(tǒng)地列出一個(gè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方程以便分析，就要用到網(wǎng)絡(luò)圖論和線(xiàn)性代數(shù)的一些概念。

隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)圖論已成為計(jì)算機(jī)輔助分析中很重要的基礎(chǔ)知識(shí)，也是網(wǎng)絡(luò)分析、綜合等方面不可缺少的工具。第十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一2、圖及其概念

圖論是數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)始的。1736年歐拉解決了有名的難題，肯尼希堡城七橋問(wèn)題。該鎮(zhèn)的普雷格爾河中有兩個(gè)小島，共有七座橋與兩岸彼此連通，問(wèn)題：從陸地或島上任一地方開(kāi)始，能否通過(guò)每座橋一次且僅僅一次就能回到原地。

歐拉用頂點(diǎn)表示陸地區(qū)域，用聯(lián)接相應(yīng)頂點(diǎn)的線(xiàn)段表示各座橋（如左圖），于是七橋問(wèn)題就變?yōu)橐坏罃?shù)學(xué)問(wèn)題：在左圖中是否可能連續(xù)沿各線(xiàn)段，從某一始點(diǎn)出發(fā)只經(jīng)過(guò)各線(xiàn)段一次且僅僅一次又回到出發(fā)點(diǎn)，即是否存在一條“單行曲線(xiàn)”?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一附錄：歐拉(Euler)

歐拉(Euler)，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國(guó)彼得堡去逝。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲碩士學(xué)位。

歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，平均每年寫(xiě)出八百多頁(yè)的論文，還寫(xiě)了大量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法等的課本，《無(wú)窮小分析引論》、《微分學(xué)原理》、《積分學(xué)原理》等都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。第十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

歐拉得出了一般結(jié)論，即存在單行曲線(xiàn)的必要、充分條件是奇次頂點(diǎn)（聯(lián)接于頂點(diǎn)的線(xiàn)段數(shù)為奇數(shù)）的數(shù)目為0。顯然右圖不滿(mǎn)足此條件，因此，七橋問(wèn)題的答案是否定的。

在七橋問(wèn)題中，歐拉用點(diǎn)表示陸地，用線(xiàn)段表示橋。圖論中，把一些事物及其之間的聯(lián)系用點(diǎn)和連接于點(diǎn)與點(diǎn)之間的線(xiàn)段來(lái)表示，因此，圖就是一些點(diǎn)與線(xiàn)段的集合。§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一網(wǎng)絡(luò)圖論中的一條標(biāo)準(zhǔn)支路

在網(wǎng)絡(luò)圖中，將支路用線(xiàn)段表示，支路間的連接用點(diǎn)表示?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

右圖網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)圖中包含有兩個(gè)獨(dú)立部分。雖然網(wǎng)絡(luò)中存在互感，但在網(wǎng)絡(luò)圖中并不反映出磁耦合M，因?yàn)镸屬于網(wǎng)絡(luò)中支路的特性，而不屬于網(wǎng)絡(luò)圖的性質(zhì)。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)圖可以有多個(gè)獨(dú)立部分。

左面兩個(gè)圖，上面的圖中包含有一個(gè)單獨(dú)節(jié)點(diǎn)，下面的圖中有一條支路的兩端終止在同一個(gè)節(jié)點(diǎn)上，稱(chēng)“自環(huán)”。這些情況都屬于圖，但對(duì)“自環(huán)”圖，將不作討論?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一網(wǎng)絡(luò)圖：一組節(jié)點(diǎn)和一組支路的集合，且每條支路的兩端終止在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上（排除了“自環(huán)”情況）有向圖：若圖中的一組支路都標(biāo)有方向，則這樣的圖稱(chēng)有向圖。子圖：存在網(wǎng)絡(luò)圖G，若G1中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)和每條支路就是G中的節(jié)點(diǎn)和支路，則G1是G的子圖。也即若存在圖G，則可從G中刪去某些支路或某些節(jié)點(diǎn)，得到子圖G1。§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一連通圖與非連通圖:當(dāng)圖G的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在著一條由支路構(gòu)成的通路，這樣的圖就稱(chēng)連通圖，如左上圖，否則就是非連通圖，如左中圖和左下圖所示。

一個(gè)連通圖也可以說(shuō)成是一個(gè)獨(dú)立部分，一個(gè)非連通圖至少有兩個(gè)獨(dú)立部分，而每個(gè)獨(dú)立部分又是一個(gè)連通的子圖。

§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一回路：回路是一條閉合的路經(jīng)。確切地說(shuō)，有圖G，存在一個(gè)子圖G1，且①G1是連通的，②G1中與每個(gè)節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)的支路數(shù)恰好是2條。

對(duì)每個(gè)回路，可根據(jù)KVL，寫(xiě)出Σu=0

的回路方程?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第二十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一樹(shù)：一個(gè)連通圖G的一個(gè)子圖，如果滿(mǎn)足下列條件就稱(chēng)為G的一棵樹(shù)：①連通的，②沒(méi)有回路，③包括G的全部節(jié)點(diǎn)。

構(gòu)成樹(shù)的支路稱(chēng)樹(shù)支，其余的支路稱(chēng)連支。右圖中1、2、3號(hào)支路與所有節(jié)點(diǎn)構(gòu)成樹(shù)T，4、5、6號(hào)支路為連支。

左圖中2、4、6號(hào)支路與全部節(jié)點(diǎn)構(gòu)成樹(shù)T，1、3、5號(hào)支路為連支?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖

第二十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

同一個(gè)圖G，可選擇不同的樹(shù)。設(shè)圖G有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，如果任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都有一條支路聯(lián)接，則可選出nn-2個(gè)不同的樹(shù)。

右圖中有n=4個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以可找到42=

16種樹(shù)（樹(shù)數(shù)的一般計(jì)算式子為detAAT，其中A為圖的降階關(guān)聯(lián)矩陣）?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一割集：割集是一組不包括節(jié)點(diǎn)的支路集合。有一連通圖G，存在一組支路集合，如果留下任一支路不取掉，則剩下的圖仍然是連通的，換言之，割集是一極小支路集。

取走割集將使連通圖分成兩個(gè)獨(dú)立部分，可以抽象地用高斯面（閉合面）將某一獨(dú)立部分包圍起來(lái)，由高斯面所切割的一組支路，就是割集。

左圖所示高斯面切割的1、4、5號(hào)支路構(gòu)成割集。§1.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

在網(wǎng)絡(luò)圖中，可以將閉合面看作一個(gè)廣義節(jié)點(diǎn)。根據(jù)KCL，流出或者流入高斯面的支路電流的代數(shù)和為零，即流經(jīng)一組割集的電流的代數(shù)和為零Σi=0

閉合面如何封閉是任意的（這主要是觀察位置不同，若在圖內(nèi)觀察，則高斯面把圈外部分閉合），封閉面一旦閉合，一般以流出高斯面的電流為正，流入為負(fù)，因此也可認(rèn)為割集有方向，一般取由閉合面里面指向外面為正方向?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

有些圖，某些割集不便用高斯面，如下左圖中的1、2、3、4號(hào)支路就不能用高斯面切割，這時(shí)可改變一下圖的畫(huà)法。

有些圖，與高斯面相交的支路集不是割集。如右圖中的支路1、2、3、4，當(dāng)這些支路取走后，將出現(xiàn)三個(gè)獨(dú)立部分。一般來(lái)說(shuō)，如果圖G具有S個(gè)獨(dú)立部分，取走一組割集后，圖所應(yīng)具有S+1個(gè)獨(dú)立部分?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一3、圖論的基本定理

若給定一個(gè)具有nt個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的連通圖G及G的一個(gè)樹(shù)T。在G的任何兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間，總有由T的樹(shù)支組成的唯一路經(jīng)。若不考慮根節(jié)點(diǎn)(或起始節(jié)點(diǎn))，每條樹(shù)支都有一個(gè)終止節(jié)點(diǎn)，則樹(shù)支數(shù)n=nt-1，連支數(shù)l=b-

(nt-1)=b-nt+1

每條連支都可以和一些樹(shù)支構(gòu)成一個(gè)唯一的回路(因?yàn)闃?shù)本身沒(méi)有回路，增加一條連支，就可得一個(gè)回路)，即l=b-nt+1個(gè)回路，并稱(chēng)單連支回路(也稱(chēng)基本回路)?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十六頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一每條樹(shù)支都能和一些連支構(gòu)成唯一的割集，共有n=nt-1個(gè)單樹(shù)支割集(基本割集)(∵樹(shù)本身是連通的，當(dāng)取走一條樹(shù)支后，樹(shù)就分成兩個(gè)獨(dú)立部分，∴一條樹(shù)支和一些連支能構(gòu)成一個(gè)割集)一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)圖有nt-1個(gè)基本割集，運(yùn)用KCL可得nt-1個(gè)獨(dú)立的基本割集方程。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的網(wǎng)絡(luò)圖有b-nt+1個(gè)基本回路，由KVL可得b-nt+1個(gè)獨(dú)立的基本回路方程。每條支路都有一個(gè)支路約束方程，b條支路就有b個(gè)約束方程?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十七頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一因此，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)總共可以有2b個(gè)獨(dú)立方程。

對(duì)每條支路來(lái)說(shuō)，涉及兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)變量，ik和uk，共有2b個(gè)變量。

由于獨(dú)立方程數(shù)和網(wǎng)絡(luò)變量數(shù)相等，完全可由2b個(gè)獨(dú)立方程求出2b個(gè)未知變量?！?.3從網(wǎng)絡(luò)到圖第二十八頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.4KCL、KVL的矩陣形式基本要求：掌握關(guān)聯(lián)矩陣和降階關(guān)聯(lián)矩陣用降階關(guān)聯(lián)矩陣表示的KCL和KVL的矩陣形式第二十九頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.4KCL、KVL的矩陣形式1、KCL的矩陣形式（系統(tǒng)分析方法）

右上圖所示為一個(gè)直流電阻電路N，可得其拓?fù)鋱D，如右下圖所示。

從拓?fù)鋱D中知，支路1與節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)④關(guān)聯(lián)，支路2與節(jié)點(diǎn)①和節(jié)點(diǎn)②關(guān)聯(lián)，…，由此可以得到一個(gè)節(jié)點(diǎn)對(duì)支路的關(guān)聯(lián)矩陣Aa

第三十頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一關(guān)聯(lián)矩陣由左圖，根據(jù)KCL，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)列方程AaIb=0Aa矩陣描述了圖中節(jié)點(diǎn)對(duì)支路的關(guān)聯(lián)關(guān)系，即Aa=(aik)

§1.4KCL、KVL的矩陣形式第三十一頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.4KCL、KVL的矩陣形式就每條支路而言，電流總是從一個(gè)節(jié)點(diǎn)流入，從另一個(gè)節(jié)點(diǎn)流出，所以關(guān)聯(lián)矩陣的每一列總有兩個(gè)非零元素，一個(gè)是正1，一個(gè)是負(fù)1。因此，把Aa的全部行加起來(lái)將得到一行全為零，就是說(shuō)，Aa的所有行不是線(xiàn)性獨(dú)立的。AaIb=0就電路方程組而言，只要把四個(gè)方程任意劃去一個(gè)，剩下的三個(gè)方程就是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的。因此，就Aa而言，只要?jiǎng)澣ト我恍校镁仃嚲褪蔷€(xiàn)性獨(dú)立的。第三十二頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一∴對(duì)nt個(gè)節(jié)點(diǎn)，b條支路的拓?fù)鋱D而言，可得ntb階關(guān)聯(lián)矩陣Aa，Aa的秩為nt-1

在關(guān)聯(lián)矩陣Aa中，任意劃去一行，得矩陣A，其秩仍為nt-1，A稱(chēng)為降階關(guān)聯(lián)矩陣。

對(duì)電網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，總是把與參考節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的行劃去，同樣可得矩陣方程：AIb=0

§1.4KCL、KVL的矩陣形式第三十三頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一§1.4KCL、KVL的矩陣形式已知一網(wǎng)絡(luò)圖，可以求得Aa或A。同樣，如果知道了Aa或A，也一定可得網(wǎng)絡(luò)圖。

如果已知降階關(guān)聯(lián)矩陣A，則先根據(jù)Aa中每列有兩個(gè)非零元素，且一個(gè)為1，另一個(gè)為-1的性質(zhì)，求得Aa，再求有向圖。第三十四頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，星期一

設(shè)e1、e2、e3、e4為節(jié)點(diǎn)電位，u1、u2、u3、u4、u5為支路電壓，并選擇節(jié)點(diǎn)④為參考節(jié)點(diǎn)，即e4=0。根據(jù)KVL可得支路電壓與節(jié)點(diǎn)電位間的關(guān)系。Ub=ATEn

2、KVL的矩陣形式（系統(tǒng)分析方法）§1.4KCL、KVL的矩陣形式第三十五頁(yè)，共三十九頁(yè)，編輯于2023年，