高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)講義北師大版

6.2垂直關(guān)系的性質(zhì)第一章

§6垂直關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系.問題導(dǎo)學(xué)達(dá)標(biāo)檢測(cè)題型探究?jī)?nèi)容索引問題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的性質(zhì)定理思考在日常生活中常見到一排排和地面垂直的電線桿.一排電線桿中的每根電線桿都與地面垂直，這些電線桿之間的位置關(guān)系是什么？答案

平行.梳理性質(zhì)定理平行文字語言如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線_____符號(hào)語言?a∥b圖形語言知識(shí)點(diǎn)二平面與平面垂直的性質(zhì)思考黑板所在平面與地面所在平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案

容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫直線必與地面垂直.文字語言如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在

垂直于它們

的直線

于另一個(gè)平面符號(hào)語言α⊥β，α∩β＝l，

，

?a⊥β圖形語言梳理性質(zhì)定理垂直一個(gè)平面內(nèi)交線aαa⊥l[思考辨析判斷正誤]1.若平面α⊥平面β，任取直線lα，則必有l(wèi)⊥β.(

)2.已知兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.(

)××題型探究例1

如圖所示，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交.求證：EF∥BD1.類型一線面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用證明證明

如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，且A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.反思與感悟證明線線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn).(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線.(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行.(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行.跟蹤訓(xùn)練1如圖，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分別為A，B，aα，a⊥AB.求證：a∥l.證明證明

∵PA⊥α，lα，∴PA⊥l.同理PB⊥l.∵PA∩PB＝P，∴l(xiāng)⊥平面PAB.又∵PA⊥α，aα，∴PA⊥a.∵a⊥AB，PA∩AB＝A，∴a⊥平面PAB.∴a∥l.類型二面面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用例2

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明證明

如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD平面PAB.∴AD⊥平面PBC.又BC平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC，又∵PA∩AD＝A，PA，AD平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又AB平面PAB，∴BC⊥AB.反思感悟證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直的問題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于它們的交線.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，ABCD是∠DAB＝60°且邊長(zhǎng)為a的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為邊AD的中點(diǎn).求證：(1)BG⊥平面PAD；證明證明∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，又G為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG平面ABCD，∴BG⊥平面PAD.(2)AD⊥PB.證明證明由(1)可知BG⊥AD，由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD.又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PBG，又PB平面PBG，∴AD⊥PB.類型三垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用命題角度1線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化例3如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：(1)PA⊥底面ABCD；證明證明

∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得PA⊥平面ABCD.(2)BE∥平面PAD；證明

∵AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，故四邊形ABED為平行四邊形，故有BE∥AD.又AD平面PAD，BE?平面PAD，∴BE∥平面PAD.證明(3)平面BEF⊥平面PCD.證明證明

在平行四邊形ABED中，∵AB⊥AD，∴四邊形ABED為矩形，∴BE⊥CD.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.又E，F(xiàn)分別為CD和PC的中點(diǎn)，∴EF∥PD，∴CD⊥EF.∵EF∩BE＝E，EF，BE平面BEF，∴CD⊥平面BEF.又∵CD平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.反思與感悟在空間垂直關(guān)系中，線面垂直是核心，已知線面垂直，既可為證明線線垂直提供依據(jù)，又可為利用判定定理證明面面垂直作好鋪墊.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線，從而把面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直問題，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AB⊥AC，DC⊥BC.求證：平面ABD⊥平面ACD.證明證明

∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，在平面ABC內(nèi)，作AE⊥BC于點(diǎn)E，如圖，則AE⊥平面BCD.又CD平面BCD，∴AE⊥CD.又BC⊥CD，AE∩BC＝E，AE，BC平面ABC，∴CD⊥平面ABC，又AB平面ABC，∴AB⊥CD.又AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC，CD平面ACD.∴AB⊥平面ACD.又AB平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.命題角度2垂直中的探索性問題例4

已知在三棱錐A－BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F(xiàn)分別是AC，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且

＝λ(0＜λ＜1).(1)求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；證明證明∵∠BCD＝90°，∴BC⊥CD.∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.∵

，∴EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.又∵EF平面BEF，∴平面BEF⊥平面ABC.故不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC.(2)當(dāng)λ為何值時(shí)，平面BEF⊥平面ACD?解答解

由(1)得EF⊥平面ABC，BE平面ABC，∴EF⊥BE.要使平面BEF⊥平面ACD，只需BE⊥AC.∵∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，又∵AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，反思與感悟解決開放性問題一般先從結(jié)論入手，分析得到該結(jié)論所需的條件或與其等價(jià)的條件，此類型題考查空間想象能力、推理論證能力、分析問題和解決問題的能力.跟蹤訓(xùn)練4如圖所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)求證：D1C⊥AC1；證明證明

在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，連接C1D，∵DC＝DD1，∴四邊形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C.又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，∴AD⊥平面DCC1D1，∴AD⊥D1C.∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.∵AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1.(2)設(shè)E是DC上一點(diǎn)，試確定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并說明理由.解答解

連接AD1，AE，設(shè)AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，連接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，需使MN∥D1E.又M是AD1的中點(diǎn)，∴N是AE的中點(diǎn)，又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE，即E是DC的中點(diǎn).綜上所述，當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時(shí)，可使D1E∥平面A1BD.達(dá)標(biāo)檢測(cè)答案1.給出下列說法：①垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；②垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行；③一條直線在平面內(nèi)，另一條直線與這個(gè)平面垂直，則這兩條直線垂直.其中正確說法的個(gè)數(shù)是A.0 B.1C.2 D.312345√2.平面α⊥平面β，直線a∥α，則A.a⊥β B.a∥βC.a與β相交 D.以上都有可能12345答案√解析因?yàn)閍∥平面α，平面α⊥平面β，所以直線a與β垂直、相交、平行都有可能.解析233.已知直線l⊥平面α，直線m平面β.有下面四個(gè)說法：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)說法是A.①② B.③④ C.①③ D.②④451答案√解析

∵l⊥α，α∥β，mβ，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵