2023屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)提升微專題幾何篇第32講簡(jiǎn)單幾何體含解析

Page1第32講簡(jiǎn)單幾何體、三視圖與直觀圖的綜合問(wèn)題一、知識(shí)與方法1簡(jiǎn)單幾何體（1）多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)。（2）旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在的平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體，如圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球.2空間幾何體的三視圖將幾何體放正并擺在三投影體系中,然后利用正投影將該立體分別向三個(gè)投影面投射,即可得到該幾何體的正面投影、水平投影和側(cè)面投影,3個(gè)投影分別叫作主視圖、俯視圖和左視圖.(1)主視圖:向正立投影面面)投射得到的視圖;（2）俯視圖:向水平投影面面）投射得到的視圖;(3)左視圖:向側(cè)立投影面面）投射得到的視圖.3斜二側(cè)畫法水平放置空間幾何體的直觀圖用“斜二側(cè)畫法”,這種畫法的規(guī)則如下.(1)在已知圖形中取互相垂直的軸,畫直觀圖時(shí),把它們畫成對(duì)應(yīng)的軸,,使(或),它所確定的平面表示水平面.(2)已知圖形中平行于軸或軸的線段,在直觀圖中分別畫成平行于軸或軸的線段.（3）已知圖形中平行于軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行于軸的線段其長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.二、典型例題【例1】某幾何體的一條棱長(zhǎng)為,在該幾何體的主視圖中,這條棱的投影是長(zhǎng)為的線段,在該幾何的左視圖與俯視圖中,這條棱的投影分別是長(zhǎng)為和的線段,則的最大值為A. B. C.4 D.【分析】的最大值與這條側(cè)棱與底面以及與側(cè)面所成的角的大小有關(guān)，故可以考慮運(yùn)用三角知識(shí)結(jié)合基本不等式求解.【解析】如圖所示,設(shè)與底面所成角為與側(cè)面所成角為..則.而, ..故選.【例2】已知三棱雉的三視圖如圖所示.其中側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為的正三角形,則該幾何體的外接球的體積為().A. B. C. D.【分析】把三視圖還原為直觀圖,通過(guò)補(bǔ)體法即可運(yùn)用向荲坐標(biāo)法或立體幾何方法求解.【解法－】通過(guò)側(cè)視圖計(jì)算長(zhǎng)方體的高.作長(zhǎng)、寬、高分別為的長(zhǎng)方體,通過(guò)三視圖還原直觀圖三棱雉,建立如圖的空間直角坐標(biāo)系. 則.同理,故在以為直徑的球面上.,故選B.【解法二】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)球心坐標(biāo)為,球半徑為,則 由,解得,則,故選B.【例3】某個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示(其中分別是的中點(diǎn)).(1)求異面直線與所成角的余弦值;(2)求證:平面;（3）求三棱雉的體積.【分析】平面上反映空間物體的形狀與大小不是一件簡(jiǎn)單的事,因此必須把它畫得從各個(gè)方面看都很清楚,通過(guò)畫3幅不同方向看到的圖末反映物體的形狀與大小,這就是三視圖,找出原圖中與視圖中的關(guān)系至關(guān)重要.本例是一個(gè)入口較乍的立體幾何試題,解答的關(guān)鍵是由直觀圖的畫法規(guī)則及三視圖的規(guī)則并結(jié)合圖中給出的數(shù)據(jù),將原圖中的各線段長(zhǎng)度準(zhǔn)確寫出末.【解析】（1）依題意知該多面體為底面是正方形的四棱雉.且底面,取中點(diǎn),聯(lián)結(jié)(見(jiàn)圖).則底面.即為異面直線與所成的角.在中,.(2)如圖所示,取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié),則.平面平面.四邊形為矩形.為等腰斜邊的中點(diǎn),,又平面平面三、易錯(cuò)警示【例】若底面為等腰直角三角形的三棱柱的正視圖是邊長(zhǎng)為10的正方形,求它的體積【錯(cuò)解】如圖所示.棱柱的主視圖是邊長(zhǎng)為10的正方形,三棱柱的底面為等腰直角三角形,并且其直角邊長(zhǎng)為.三棱柱的底面積.三棱柱的體積【評(píng)析及正解】要確定一個(gè)幾何體只有主視圖是不夠的,還要考慮幾何體的左視圖正確的解如如下:【解析】把這個(gè)三棱柱用不同的方法放置,總共有3種放置方法.除錯(cuò)解中僅給出的一種外,還有另兩種情形如圖和圖3-69所示.若幾何體如圖時(shí),三棱柱的主視圖是邊長(zhǎng)為10的正方形．三棱柱的底面為等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為三棱柱的底面積三棱柱的體積.若幾何體如圖時(shí),三棱柱的主視圖是邊長(zhǎng)為10的正方形,設(shè)底面等腰直角三角形斜邊上的中點(diǎn)分別為,斜邊所對(duì)的頂點(diǎn)分別為,則四邊形為邊長(zhǎng)為10的正方形三棱柱的底面等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為三棱柱的底面積三棱桂的體積,綜上所述,三棱柱的體積為250或500或1000.四、難題攻略【例】已知幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.(1)求異面直線與所成角的余弦值;（2）求二面角的平面角的正弦值;(3)求此幾何體的體積的大小.【分析】本題中幾何體的幾何特征和數(shù)量特征通過(guò)三視圖反映出末.解題的關(guān)鍵是把三視圖還原為直觀圖再求解,對(duì)于求空間角的問(wèn)題通常有兩個(gè)思考方向.一是立體幾何方法,常用定義法求解;另一是空間向量坐標(biāo)法.【解法一】(定義法)(1)如圖(1)所示,取的中點(diǎn),聯(lián)結(jié),則.或其補(bǔ)角即為異面直線與所成的角.聯(lián)結(jié),在中,, 異面直線與所成角的余弦值為.(2)平面,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn),聯(lián)結(jié),可得平面,從而為二面角的平面角,在中,..二面角的平面角的正弦值為.(3)幾何體的體積為16.【解法二】(向量坐標(biāo)法)(1)如圖(2)所示,以為原點(diǎn),以所在直線為軸、軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,4),.,即異面直線與所成角的余弦值為.(2)平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則二面角的平面角的正弦值為.（3）同解法一.五、強(qiáng)化訓(xùn)練1.四面體及其三視圖如圖所示,過(guò)棱的中點(diǎn)作平行于的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).(1)求證:四邊形是矩形;(2)求直線與平面的夾角的正弦值.【解析】（1）證明：由該四面體的三視圖可知，，由題設(shè)，平面，平面平面，平面平面，∴，∴，同理可得，∴.∴四邊形是平行四邊形.