天津第二南開中學 2021-2022學年高二數(shù)學文月考試題含解析

天津第二南開中學2021-2022學年高二數(shù)學文月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.命題：，都有，則（

）A．：，使得

B．：，都有C．：，使得

D．：，都有參考答案：A2.已知命題：若，則；命題：若，則．在命題：①；②；③；④中，真命題是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：C略3.已知平面α截一球面得圓M，過圓心M且與α成60°二面角的平面β截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為()A．7πB．9πC．11πD．13π參考答案：D如圖，由題意可知∠AMN＝60°，設(shè)球心為O，連結(jié)ON、OM、OB、OC，則ON⊥CD，OM⊥AB，且OB＝4，OC＝4.在圓M中，∵π·MB2＝4π，∴MB＝2.在Rt△OMB中，OB＝4，∴OM＝2.在△MNO中，OM＝2，∠NMO＝90°－60°＝30°，∴ON＝.在Rt△CNO中，ON＝，OC＝4，∴CN＝，∴S＝π·CN2＝13π.

4.已知復數(shù)滿足，其中是的共軛復數(shù)，，則復數(shù)的虛部為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D設(shè)復數(shù)，由題得所以復數(shù)z的虛部為故選D.

5.已知復數(shù)則，復數(shù)Z的虛部為（

）

A．-3i

B．3i

C．3

D．-3參考答案：D略6.雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點到漸近線的距離為，則C的焦距等于(

)A．2 B．2 C．4 D．4參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】根據(jù)雙曲線的離心率以及焦點到直線的距離公式，建立方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，∴e=，雙曲線的漸近線方程為y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，則c=2a，b=，∵焦點F（c，0）到漸近線bx﹣ay=0的距離為，∴d=，即，解得c=2，則焦距為2c=4，故選：C【點評】本題主要考查是雙曲線的基本運算，利用雙曲線的離心率以及焦點到直線的距離公式，建立方程組是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．7.已知平面?，?，直線l，m，且有l(wèi)⊥?，m??，則下列四個命題正確的個數(shù)為（

）．①若?∥?，則l⊥m； ②若l∥m，則l∥?；③若?⊥?，則l∥m； ④若l⊥m，則l⊥?；（A）1 （B）2 （C）3 （D）4參考答案：A8.已知雙曲線的左、右焦點為F1和F2，在左支上過點F1的弦AB的長為10，若2a=9，則△ABF2的周長為（）A．16 B．26 C．21 D．38參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】由雙曲線的定義可得AF2+BF2=28，△ABF2的周長是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB，計算可得答案．【解答】解：由雙曲線的定義可得AF2﹣AF1=2a，BF2﹣BF1=2a，∴AF2+BF2﹣AB=4a=18，即AF2+BF2﹣10=18，AF2+BF2=28．△ABF2（F2為右焦點）的周長是（AF1+AF2）+（BF1+BF2）=（AF2+BF2）+AB=28+10=38．故選：D．【點評】本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，求出AF2+BF2=28是解題的關(guān)鍵．9.復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】A5：復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復數(shù)的除法運算法則化簡復數(shù)，求解即可．【解答】解：復數(shù)===．復數(shù)（i為虛數(shù)單位）的共軛復數(shù)是：．故選：D．10.口袋中有n(n∈N*)個白球，3個紅球．依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球．記取球的次數(shù)為X.若P(X＝2)＝，則n的值為()A．5

B．6

C．7

D．8參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若此函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是

▲

；若此函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是

▲

．參考答案：

考點：對數(shù)函數(shù)12.在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點在平面直角坐標系中，橢圓的中心為原點，焦點在軸上，離心率為。過的直線L交C于兩點，且的周長為16，那么的方程為

。參考答案：13.以下四個關(guān)于圓錐曲線的命題中：①設(shè)A、B為兩個定點，k為非零常數(shù)，若，則動點P的軌跡為雙曲線；②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，O為坐標原點，若，則動點P的軌跡為橢圓；③拋物線的焦點坐標是；④曲線與曲線（且）有相同的焦點．其中真命題的序號為____________（寫出所有真命題的序號）．參考答案：③④略14.已知,則的最大值是

；參考答案：1015.已知復數(shù)z=x+yi（x，y∈R，x≠0）且|z﹣2|=，則的范圍為

．參考答案：考點：復數(shù)求模．專題：計算題．分析：利用復數(shù)的運算法則和模的計算公式、直線與圓有公共點的充要條件即可得出．解答： 解：∵|z﹣2|=|x﹣2+yi|，，∴．∴（x﹣2）2+y2=3．設(shè)，則y=kx．聯(lián)立，化為（1+k2）x2﹣4x+1=0．∵直線y=kx與圓有公共點，∴△=16﹣4（1+k2）≥0，解得．∴則的范圍為．故答案為．點評：熟練掌握復數(shù)的運算法則和模的計算公式、直線與圓有公共點的充要條件是解題的關(guān)鍵．16.空間四邊形ABCD的兩條對棱AC，BD互相垂直，AC，BD的長分別為8和2，則平行四邊形兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，面積的最大值是．參考答案：4【考點】直線與平面平行的性質(zhì)．【專題】證明題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形，設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積），利用EN∥BD，可得=1=+，整理可得8=4x+y，利用基本不等式即可解得面積的最大值．【解答】解：如圖，假設(shè)EFGN是截面四邊形，EFGN為平行四邊形；設(shè)EN=x（0＜x≤2），F(xiàn)E=y（0＜y≤8），xy=S（S為所求面積）；由EN∥BD，可得：=，==，兩式相加，得：=1=+，化簡，得8=4x+y，可得：8=4x+y≥2，（當且僅當2x=y時等號成立），解得：xy≤4，解得：S=xy≤4．故答案為：4．【點評】本題考查了直線與平面平行的性質(zhì)，四邊形取值范圍的求法，是中檔題，解題要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．17.已知有窮等差數(shù)列{an}中，前四項的和為124，后四項的和為156，又各項和為210，那么此等差數(shù)列的項數(shù)為

．參考答案：6【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】：由題意可得a1+a2+a3+a4=12，并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156，所以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1+an=70，再結(jié)合等差數(shù)列的前n項和的表達式可得答案．【解答】解：由題意可得，a1+a2+a3+a4=124，…①并且an+an﹣1+an﹣2+an﹣3=156，…②由等差數(shù)列的性質(zhì)可知①+②可得：4（a1+an）=280，所以a1+an=70．由等差數(shù)列的前n項和公式可得：=210，所以解得n=6．故答案為6．【點評】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的前n項和公式的簡單運用，屬于對基礎(chǔ)知識的簡單綜合．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，四個頂點分別為為A、B、C、D，且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P．（1）求橢圓的方程；

（2）證明：為定值；

（3）試問x軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在求出點Q的坐標；若不存在請說明理由．

參考答案：解：（1）

∴橢圓方程為

（2）直線CM：代入橢圓方程得

（定值）

（3）設(shè)存在

則由從而得m=0∴存在Q（0，0）滿足條件

略19.已知數(shù)列{an}的首項，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且滿足．（1）若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a的值；（2）確定a的取值集合M，使時，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．參考答案：（1）（2）【分析】（1）分別令，及，結(jié)合已知可由表示，，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可求；（2）由，得，化簡整理可得進而有，則，兩式相減可得數(shù)列的偶數(shù)項和奇數(shù)項分別成等差數(shù)列，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求的范圍.【詳解】（1）在中分別令，及得，因為，所以，．因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即，解得．經(jīng)檢驗時，，，滿足．（2）由，得，即，即，因為，所以，①

所以，②②－①，得．③所以，④④－③，得即數(shù)列及數(shù)列都是公差為6的等差數(shù)列，因為．所以要使數(shù)列是遞增數(shù)列，須有，且當為大于或等于3的奇數(shù)時，，且當為偶數(shù)時，，即，（n為大于或等于3的奇數(shù)），（n為偶數(shù)），解得．所以，當時，數(shù)列是遞增數(shù)列．【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，數(shù)列的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于數(shù)列的綜合應(yīng)用，求出的通項公式是解本題的關(guān)鍵.20.已知橢圓的離心率為，右焦點為（,0），斜率為1的直線與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3,2）.

（1）求橢圓G的方程；

（2）求的面積.參考答案：（Ⅰ）由已知得解得，又所以橢圓G的方程為（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為由得設(shè)A、B的坐標分別為AB中點為E，則；因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此時方程①為解得所以所以|AB|=.此時，點P（—3，2）到直線AB：的距離所以△PAB的面積S=

略21.（理）如圖，點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點，交于點，交于點.（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明。（3）在（2）中，我們看到了平面圖形中的性質(zhì)類比到空間圖形的例子，這樣的例子還有不少。下面請觀察平面勾股定理的條件和結(jié)論特征，試著將勾股定理推廣到空間去。勾股定理的類比三角形ABC四面體O-ABC條件AB⊥ACOA、OB、OC兩兩垂直結(jié)論AB2+AC2=BC2？請在答題紙上完成上表中的類比結(jié)論，并給出證明.參考答案：(1)證：；（4分）(2)解：在斜三棱柱中，有，其中為平面與平面所組成的二面角.

（7分）上述的二面角為，在中，T，由于，有.

（10分）（3）空間勾股定理的猜想：已知四面體O-ABC的三條側(cè)棱OA、OB、OC兩兩垂直，則有.

（13分）證法一：作OD⊥AB，垂足為D，連結(jié)CD

（16分）證法二：作OH⊥平面ABC，垂足為H，易得H為△ABC的垂心。連結(jié)CH并延長交AB于E，連結(jié)OE，則有OE⊥AB。在△OAB中，在Rt△EOC中，同理，，于是

（16分）證法三：建立空間直角坐標系，設(shè)，，作OD⊥AB，垂足為D，則D滿足平方相加：

（16分）22.某電視臺為宣傳本省,隨機對本省內(nèi)15～65歲的人群抽取了人,回答問題“本省內(nèi)著名旅游景點有哪些”，統(tǒng)計結(jié)果如圖表所示.組號分組回答正確的人數(shù)回答正確的人數(shù)占本組的頻率第1組[15,25)0.5第2組[25,35)18第3組[35,45)0.9第4組[45,55)90.36第5組[55,65]3(1)分別求出的值.(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)