廣西壯族自治區(qū)桂林市荔浦縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

廣西壯族自治區(qū)桂林市荔浦縣第二中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過直線上的點(diǎn)作圓的切線，則切線長的最小值為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A2.已知△ABC中，D、E、F分別是AB，AC，BC的中點(diǎn)，則（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】利用平行四邊形法則求解即可.【詳解】依題意，，故故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3.(2015·湖北教學(xué)合作聯(lián)考)已知由不等式組確定的平面區(qū)域Ω的面積為7，定點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－2)，若N∈Ω，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值是()A．－8 B.－7C．－6 D.－4參考答案：B依題意，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域(如圖所示)可知其圍成的區(qū)域是等腰直角三角形，面積為8，由直線y＝kx＋2恒過點(diǎn)B(0,2)，且原點(diǎn)的坐標(biāo)恒滿足y－kx≤2，當(dāng)k＝0時(shí)，y≤2，此時(shí)平面區(qū)域Ω的面積為6，由于6<7，由此可得k<0.即z取得最小值－7，故選B.4.已知命題p：,x2－x+1≥0；命題q：若a2＜b2，則a＜b.下列命題為真命題的是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B由時(shí)成立知p是真命題，由可知q是假命題，故選B.5.如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖為正方形，俯視圖是腰長為的等腰直角三角形，則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B由三視圖還原原幾何體如圖：該幾何體為四棱錐A﹣BCDE，底面BCDE為矩形，BE=，DE=2，高為1，∴該幾何體的體積為.

6.若f(x)＝x2－x＋a，f(－m)＜0，則f(m＋1)的值

(

)A．正數(shù)

B．負(fù)數(shù)

C．非負(fù)數(shù)

D．與有關(guān)參考答案：B7.已知F是拋物線的焦點(diǎn)，則過F作傾斜角為60°的直線分別交拋物線于A，B（A在x軸上方）兩點(diǎn)，則的值為(

)A. B.2 C.3 D.4參考答案：C【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑的傾斜角和焦準(zhǔn)距的表示形式將表示出來，然后代入相應(yīng)值計(jì)算即可.【詳解】，∴.【點(diǎn)睛】焦點(diǎn)在軸上的拋物線，過拋物線的焦點(diǎn)傾斜角為的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且，則有，，.8.若集合M={（x，y）|x+y=0}，N={（x，y）|x2+y2=0，x∈R，y∈R}，則有（）A．M∪N=M B．M∪N=N C．M∩N=M D．M∩N=?參考答案：A【分析】據(jù)集合的表示法知兩個(gè)集合一個(gè)表示直線一個(gè)表示一個(gè)點(diǎn)且點(diǎn)在直線上，得到兩集合的并集．【解答】解：∵M(jìn)={（x，y）|x+y=0}表示的是直線x+y=0又N={（x，y）|x2+y2=0}表示點(diǎn)（0，0）∵（0，0）在直線x+y=0上∴M∪N=M故選項(xiàng)為A【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的表示法及兩個(gè)集合的并集的定義、據(jù)定義求并集．9.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A．

B．

C．

D．參考答案：A10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（1，2），B（3，1）到直線l的距離分別為1和2，則符合條件的直線條數(shù)有（）A．3 B．2 C．4 D．1參考答案：B【考點(diǎn)】IT：點(diǎn)到直線的距離公式．【分析】由于AB=＜2+1，故滿足條件的且和線段AB有交點(diǎn)的直線不存在，故滿足條件的直線有兩條，這兩條直線位于線段AB的兩側(cè)．【解答】解：AB=＜2+1，故不存在和線段AB有交點(diǎn)的直線．故滿足條件的直線有兩條，這兩條直線位于線段AB的兩側(cè)．故選B．如圖：

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．參考答案：【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的求值．【分析】利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：∵=sinx+sinx+cosx=sin（x+），令2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，解得：2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12.在直角坐標(biāo)系xOy中，有一定點(diǎn)M（﹣1，2），若線段OM的垂直平分線過拋物線x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，則該拋物線的準(zhǔn)線方程是．參考答案：【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先求出線段OM的垂直平分線方程，然后表示出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)并代入到所求方程中，進(jìn)而可求得p的值，即可得到準(zhǔn)線方程．【解答】解：依題意我們?nèi)菀浊蟮弥本€的方程為2x﹣4y+5=0，把焦點(diǎn)坐標(biāo)（，0）代入可求得焦參數(shù)p=，從而得到準(zhǔn)線方程，故答案為：．13.函數(shù)的最小正周期是_________．參考答案：略14.若在區(qū)間[0,1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）<1成立,則a的取值范圍是

。參考答案：（-∞，1）【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B32x（3x+a）＜1可化為a＜2-x-3x，

則在區(qū)間[0，1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）＜1成立，等價(jià)于a＜（2-x-3x）max，

而2-x-3x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴2-x-3x的最大值為20-0=1，∴a＜1，

故a的取值范圍是（-∞，1）.【思路點(diǎn)撥】2x（3x+a）＜1可化為a＜2-x-3x，則在區(qū)間[0，1]上存在實(shí)數(shù)x使2x（3x+a）＜1成立，等價(jià)于a＜（2-x-3x）max，利用函數(shù)的單調(diào)性可求最值．15.在極坐標(biāo)系中,圓的圓心到直線的距離是

參考答案：1如下圖,設(shè)圓心到直線距離為，因?yàn)閳A的半徑為，16.已知單位向量的夾角為60°，則=__________.

參考答案：略17.設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則=______________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=+lnx（a∈R）（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的最小值；（Ⅱ）若f（x）在（0，e]上的最小值為2，求實(shí)數(shù)a的值；（Ⅲ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，試判斷函數(shù)g（x）=f（x）+在其定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．參考答案：考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；函數(shù)的最值及其幾何意義；根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值；（Ⅱ）通過①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a∈（0，e]時(shí)，③當(dāng)a＞e時(shí)，通過x∈（0，e利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)的最值，推出a符合題意的值即可；（Ⅲ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值與0比較，判斷在其定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可．解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值：f（x）min=f（1）=1．

（Ⅱ）因?yàn)?，①?dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，e]上為增函數(shù)，此時(shí)f（x）在（0，e]上無最小值．②當(dāng)a∈（0，e]時(shí)，若x∈（0，a），則f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，若x∈（a，e]，則f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以f（x）min=f（a）=1+lna=2，∴a=e，符合題意；③當(dāng)a＞e時(shí)，x∈（0，e]，∴f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，所以，∴a=e，不符合題意；綜上所述，a=e時(shí)符合題意．

（Ⅲ）證明當(dāng)a=﹣1時(shí)，函數(shù)，，令φ（x）=2+x﹣lnx，（x＞0），則，所以x∈（0，1）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，所以，φ（x）min=φ（1）=3＞0，在定義域內(nèi)g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又g（1）=﹣1＜0，而，因此，函數(shù)g（x）在（1，e）上必有零點(diǎn)，又g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以函數(shù)在其定義域內(nèi)有唯一的零點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．考查分析問題解決問題的能力．19.如圖，在四棱錐P一ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,AB⊥BC,AD//BC,AD=3,PA=BC=2AB=2,PB＝．(Ⅰ)求證：BC⊥PB;(Ⅱ)求二面角P一CD一A的余弦值；(Ⅲ)若點(diǎn)E在棱PA上，且BE//平面PCD，求線段BE的長．

參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫妗推矫妫移矫嫫矫?，因?yàn)椤停移矫嫠浴推矫妫?/p>

……3分因?yàn)槠矫?，所以⊥?/p>

……4分

（Ⅱ）解：在△中，因?yàn)?，，，所以，所以⊥?/p>

……5分所以，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．所以，，，，，，．易知平面的一個(gè)法向量為．

……6分設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，

即，令，則．

……8分設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，則，即二面角的余弦值為．

…10分（Ⅲ）解：因?yàn)辄c(diǎn)在棱，所以，．

……11分因?yàn)椋?，．…?2分又因?yàn)槠矫妫瑸槠矫娴囊粋€(gè)法向量，所以，即，所以．…13分所以，所以．

……14分20.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).（Ⅰ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，證明；（Ⅲ）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明.參考答案：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法.考查函數(shù)思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（Ⅰ）解：由已知，有.因此，當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞增.所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）證明：記.依題意及（Ⅰ），有，從而.當(dāng)時(shí)，，故.因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而.所以，當(dāng)時(shí)，.（Ⅲ）證明：依題意，，即.記，則，且.由及（Ⅰ），得.由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因此.又由（Ⅱ）知，，故.所以，.

21.（12分）（2015?萬州區(qū)模擬）橢圓過點(diǎn)，離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)△F2AB的面積為時(shí)，求直線的方程．參考答案：【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的綜合問題．【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】：（1）由于橢圓過點(diǎn)，離心率為，可得，即，即可解出．（2）對(duì)直線l的斜率分類討論，與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．【解答】：（1）∵橢圓過點(diǎn)，∴①，又∵離心率為，∴，∴②，聯(lián)立①②得a2=4，b2=3．∴橢圓的方程為：（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，，==，不適合題意．②當(dāng)直線的傾斜角不為時(shí)，設(shè)直線方程l：y=k（x+1），代入得：（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，，∴|AB|===．點(diǎn)F2到直線l的距離d=，∴===，化為17k4+k2﹣18=0，解得k2=1，∴k=±1，∴直線方程為：x﹣y+1=0或x+y+1=0．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形的面積計(jì)算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．22.已知曲線C：xy＝1，過C上一點(diǎn)An(xn，yn)作一斜率為的直線交曲線C于另一點(diǎn)An＋1(xn＋1，y