2024學(xué)年福州第三中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2024學(xué)年福州第三中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某手機上網(wǎng)套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個月的費用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M2．已知中心在坐標原點，焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.3．高中生在假期參加志愿者活動，既能服務(wù)社會又能鍛煉能力．某同學(xué)計劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個單位參加志愿者活動，則參加圖書館活動的概率為（）A. B.C. D.4．若圓C：上有到的距離為1的點，則實數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.5．德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念．在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對，且．總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.6．如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為A. B.C. D.7．已知直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，則實數(shù)a的值為（）A.﹣2 B.C.1 D.1或﹣28．若且，則下列選項中正確的是（）A B.C. D.9．與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.10．設(shè)是數(shù)列的前項和，已知，則數(shù)列（）A.是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列 B.是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列，也是等差數(shù)列 D.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列11．某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式，規(guī)則如下：兩位老師獨立評分，稱為一評和二評，當兩者所評分數(shù)之差的絕對值小于或等于分時，取兩者平均分為該題得分；當兩者所評分數(shù)之差的絕對值大于分時，再由第三位老師評分，稱之為仲裁，取仲裁分數(shù)和一、二評中與之接近的分數(shù)的平均分為該題得分.如圖所示，當，，時，則（）A. B.C.或 D.12．設(shè)雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實數(shù)、滿足，則的取值范圍為___________.14．已知長方體中，，，則點到平面的距離為______15．過點，且周長最小的圓的標準方程為______16．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年國務(wù)院政府工作報告中指出，扎實做好碳達峰、碳中和各項工作，制定2030年前碳排放達峰行動方案，優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu).汽車行業(yè)是碳排放量比較大的行業(yè)之一，若現(xiàn)對CO2排放量超過130g/km的MI型新車進行懲罰(視為排放量超標)，某檢測單位對甲、乙兩類MI型品牌的新車各抽取了5輛進行CO2排放量檢測，記錄如下(單位：g/km)：甲80110120140150乙100120xy160經(jīng)測算發(fā)現(xiàn)，乙類品牌車CO2排放量的均值為乙＝120g/km.（1）求甲類品牌汽車的排放量的平均值及方差；（2）若乙類品牌汽車比甲類品牌汽車CO2的排放量穩(wěn)定性好，求x的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點（1）求a的取值范圍；（2）設(shè)的兩個極值點分別為，證明：19．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，焦距為，過點作直線交橢圓于兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓相交于兩點，求定點與交點所構(gòu)成的三角形面積的最大值.20．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點.（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓(xùn)（稱為B類工人）.現(xiàn)用分層抽樣方法（按A類，B類分二層）從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力（生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)）（1）A類工人中和B類工人各抽查多少工人？（2）從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2：表1：生產(chǎn)能力分組人數(shù)48x53表2：生產(chǎn)能力分組人數(shù)6y3618①先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖.就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個體間的差異程度與B類工人中個體間的差異程度哪個更?。浚ú挥糜嬎?，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論）②分別估計A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）圖1A類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖圖2B類工人生產(chǎn)能力的頻率分布直方圖22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為2的正方形，，F(xiàn)，G分別是，的中點（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得小明的上網(wǎng)流量.【題目詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠遠沒達到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C2、A【解題分析】根據(jù)離心率求出的值，再根據(jù)漸近線方程求解即可.【題目詳解】因雙曲線焦點在軸上，所以漸近線方程為：，又因為雙曲線離心率為，且，所以，解得，即漸近線方程為：.故選：A.3、D【解題分析】對4個單位分別編號，利用列舉法求出概率作答.【題目詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個單位中任選兩個的試驗有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動的事件有AC，BC，CD，共3個基本事件，所以參加圖書館活動的概率.故選：D4、C【解題分析】利用圓與圓的位置關(guān)系進行求解即可.【題目詳解】將圓C的方程化為標準方程得，所以．因為圓C上有到的距離為1的點，所以圓C與圓：有公共點，所以因為，所以，解得，故選：C5、C【解題分析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【題目詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C6、D【解題分析】設(shè)AA1=2AB=2，因為，所以異面直線A1B與AD1所成角，，故選D.7、B【解題分析】由題意，利用兩直線垂直的性質(zhì)，兩直線垂直時，一次項對應(yīng)系數(shù)之積的和等于0，計算求得a的值【題目詳解】∵直線l1：ax+2y＝0與直線l2：2x+（2a+2）y+1＝0垂直，∴a×2+2×（2a+2）＝0，求得a＝﹣，故選：B8、C【解題分析】對于A，作商比較，對于B，利用基本不等式的推廣式判斷，對于C，利用在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積判斷，對于D，利用放縮法判斷【題目詳解】，故錯誤；，故錯誤；在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積（必修三閱讀材料割圓術(shù)），則，故正確；，故錯誤故選：C【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：此題考查不等式的綜合應(yīng)用，考查基本不等式的推廣式的應(yīng)用，考查放縮法的應(yīng)用，對于C項解題的關(guān)鍵是利用了在單位圓中，內(nèi)接正邊形的面積小于內(nèi)接正邊形的面積求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于難題9、D【解題分析】點關(guān)于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)，據(jù)此即可求解.【題目詳解】設(shè)(x，y)是與直線關(guān)于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為.故選：D.10、B【解題分析】根據(jù)與的關(guān)系求出通項，然后可知答案.【題目詳解】當時，，當時，，綜上，的通項公式為，數(shù)列為等差數(shù)列同理，由等比數(shù)列定義可判斷數(shù)列不是等比數(shù)列.故選：B11、B【解題分析】按照框圖考慮成立和不成立即可求解.【題目詳解】因為，，，所以輸入，當成立時，，即，解得，，滿足條件；當不成立時，，即，解得，，不滿足條件；故.故選：B.12、A【解題分析】根據(jù)是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質(zhì)即可求得答案.【題目詳解】線段的中點在y軸上,設(shè)的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】直接利用換元法以及基本不等式，求出結(jié)果【題目詳解】解：設(shè)，由于，所以，由于，(當且僅當時取等號)所以(當且僅當時取等號)，(當且僅當時取等號)，故，，所以，整理得：故的取值范圍為的取值范圍故答案為：14、##2.4【解題分析】過作于，可證即為點到平面的距離.【題目詳解】過作于，∵是長方體，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，設(shè)點到平面的距離為，∵∥平面，∴根據(jù)等面積法得，故答案為：.15、【解題分析】方法一：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【題目詳解】方法一：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標準方程為方法二：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標準方程為16、##【解題分析】根據(jù)線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標，再由，得到邊的中點坐標，代入雙曲線方程求解.【題目詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設(shè)，則，因為，所以邊的中點坐標為，因為邊的中點在雙曲線上，所以，因為，所以，即，解得，因為，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），600（2）【解題分析】用平均數(shù)及方差公式計算即可.用平均值得、之間的關(guān)系，再由，解不等式可得解.【小問1詳解】甲類品牌汽車的排放量的平均值，甲類品牌汽車的排放量的方差.【小問2詳解】由題意知乙類品牌汽車的排放量的平均值＝120(g/km)，得x＋y＝220，故y＝220－x，所以乙類品牌汽車的排放量的方差，因為乙類品牌汽車比甲類品牌汽車的排放量穩(wěn)定性好，所以，解得.18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，把問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)值為0的方程有兩個正根，再構(gòu)造函數(shù)求解作答.(2)將所證不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討其單調(diào)性作答.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得：，依題意，函數(shù)在上有兩個不同極值點，于是得有兩個不等的正根，令，，則，當時，，當時，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，因，恒成立，即當時，的值從遞減到0(不能取0)，又，有兩個不等的正根等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的公共點，如圖，因此有，所以a取值范圍是.【小問2詳解】由(1)知分別是方程的兩個不等的正根，，即，作差得，則有，原不等式，令，則，于是得，設(shè)，則，因此，在單調(diào)遞增，則有，即成立，所以.【題目點撥】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.19、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)題意可得，，再由，即可求解.（2）設(shè)直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立求得關(guān)于的方程，利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離求出點到直線的距離，利用三角形的面積公式配方即可求解.【題目詳解】解（1）由題意得：，，∴，∴∴橢圓的方程為(2)∵直線的斜率為，∴可設(shè)直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立可得：①設(shè)兩點的坐標為，由韋達定理得：，∴點到直線的距離，∴由①知：，，令，則，∴令，則在上的最大值為∴的最大值為綜上所述：三角形面積的最大值2.【題目點撥】本題考查了根據(jù)求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓額位置關(guān)系中三角形面積問題，考查了學(xué)生的計算能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解題分析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設(shè)，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，令，則同理可得，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.21、（