初中數學滬科版八年級下冊四邊形19．1多邊形內角和“衡水賽”一等獎

中物理滬科版數學八年級下冊第19章四邊形19.1.1多邊形的內角和由這個圖形你能抽象出什么幾何圖形？三角形觀察四邊形由這個圖形你能抽象出什么幾何圖形？觀察五邊形由這個圖形你能抽象出什么幾何圖形？觀察六邊形由這個圖形你能抽象出什么幾何圖形？觀察八邊形由這個圖形你能抽象出什么幾何圖形？觀察

由n條線段組成，五邊形···,今天我們給這些圖形取了一個統(tǒng)一的名字：多邊形···組成的封閉圖形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形三角形的定義:

在平面內，由三條不在同一條直線上的線段首尾順次相接叫做三角形.四邊形四條四邊形.五邊形五條五邊形.多邊形若干條多邊形.如果一個多邊形那么這個多邊形就叫做n邊形.如

三角形、

四邊形、三角形是最簡單的多邊形.(n≥3)

所組成的角多邊形的有關概念

你能類比三角形的有關概念，說說什么是多邊形的邊、頂點、內角和外角嗎.ADCB組成多邊形的線段邊E頂點內角相鄰兩邊的公共端點

多邊形的內角，多邊形的邊.叫做叫做多邊形的頂點.

多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做簡稱多邊形的角.叫做在頂點處一邊與另一邊的延長線多邊形的外角.外角外角五邊形

在多邊形的每個頂點處都有2個外角，且這2個外角為對頂角.注意：多邊形的有關概念

你能類比三角形的有關概念，說說什么是多邊形的邊、頂點、內角和外角嗎.ADCB邊E頂點內角外角外角五邊形叫做多邊形的對角線.多邊形中不相鄰兩個頂點的線段，連接多邊形的表示方法

并用它各個頂點的字母順次排列來表示.多邊形一般按邊數命名，ABCDACBDEACBDEF四邊形五邊形ABCDEABCD六邊形ABCDEF注意：①多邊形有幾條邊就是幾邊形②多邊形用頂點的字母表示時，可順時針方向表示，也可逆時針方向表示.比一比觀察下面兩個圖形，它們有什么共同點和不同點？ABCDABCD凸多邊形不是凸多邊形(凹多邊形)本教科書中所研究的都是凸多邊形.一個多邊形，如果把它任何一邊雙向延長，其他各邊都在

延長線所得直線的同一旁，這樣的多邊形叫做凸多邊形.對應練習看圖填空

多邊形邊數內角數三角形四邊形五邊形六邊形七邊形···n邊形34567···n34567···n68101214···2n34567···n頂點數外角數一個n邊形2n個外角.有n個頂點，n條邊，n個內角，(1)三角形內角和是多少度？探究：多邊形的內角和三角形的內角和為180°(3)長方形、正方形的內角和是多少？4×90°=360°能猜想任意四邊形內角和是多少度嗎？ADCB你有什么方法驗證你的猜想？

把四邊形分割成2個三角形，方法①：從四邊形的一個頂點作1條對角線，ABDC則四邊形的內角和為2×180°=360°任意四邊形內角和

4×180°任意四邊形內角和ABDC方法②：在四邊形內部任取一點P，將點P與各頂點相連，把四邊形分割成4個三角形，則四邊形的內角和為P=360°-360°

則四邊形的內角和為

把點P與各頂點相連，3×180°任意四邊形內角和ABDCP方法③：在四邊形一邊上任取一點P將四邊形分割成3個三角形，(頂點除外)，-180°=360°任意四邊形內角和ABDC方法④：在四邊形外部任取一點P，則四邊形的內角和為把點P與各頂點相連，將四邊形分割成3個三角形，

P3×180°-180°=360°想一想：五邊形的內角和是多少度呢？你能動手做一做嗎?ABCDE

把四邊形分割成3個三角形，方法①：從五邊形的一個頂點作2條對角線，則五邊形的內角和為3×180°=540°想一想：五邊形的內角和是多少度呢？你能動手做一做嗎?ABCDE

5×180°方法②：在五邊形內部任取一點P，將點P與各頂點相連，把五邊形分割成5個三角形，則五邊形的內角和為=540°-360°P想一想：五邊形的內角和是多少度呢？你能動手做一做嗎?ABCDEP

則五邊形的內角和為

把點P與各頂點相連，4×180°方法③：在五邊形一邊上任取一點P將五邊形分割成4個三角形，(頂點除外)，-180°=540°想一想：五邊形的內角和是多少度呢？你能動手做一做嗎?ABCDEP方法④：在五邊形外部任取一點P，則五邊形的內角和為把點P與各頂點相連，將五邊形分割成4個三角形，

4×180°-180°=540°多邊形邊數圖形一個頂點出發(fā)的對角線條數分成三角形的個數計算規(guī)律三角形四邊形五邊形六邊形n邊形……………3456n1234n-2(n-2)·180°4×180°3×180°2×180°1×180°…0n-3123按照第一種分割的做法來看：歸納總結=180°=360°=540°=720°

這些對角線把n邊形分成

(n-2)個三角形.(n為不小于3的整數)多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等于

(n-2)?180°規(guī)律總結：②

n邊形一共可以作條對角線.①從n邊形一個頂點出發(fā)，可作(n-3)條對角線，歸納總結

你能用其他的方法證明n邊形內角和定理嗎？③多邊形的邊數增加1，內角和就增加180°.

把原多邊形分割成n個三角形，

將點P與各頂點相連，則n邊形的內角和為求證：A1A3A2AnA4A5證明2：在n邊形內部任取一點P，P

n×180°=(n-2)?180°-360°(n為不小于3的整數)n邊形的內角和等于

(n-2)?180°

將n邊形分割成

(n-1)個三角形，求證：A1A3A2AnA4A5證明3：P(n為不小于3的整數)n邊形的內角和等于

(n-2)?180°則n邊形的內角和為把點P與各頂點相連，(n-1)×180°在n邊形一邊上任取一點P(頂點除外)，-180°=(n-2)?180°

將n邊形分割成

(n-1)個三角形，求證：A1A3A2AnA4A5證明4：P(n為不小于3的整數)n邊形的內角和等于

(n-2)?180°則n邊形的內角和為

把點P與各頂點相連，(n-1)×180°在n邊形外部任取一點P，-180°=(n-2)?180°1、十邊形的內角和為

.1440o

2、若從n邊形的一個頂點可引5條對角線，則這個多邊形是

邊形，它共有

條對角線.820

這些對角線把n邊形分成

(n-2)個三角形.規(guī)律總結：②

n邊形一共可以作條對角線.①從n邊形一個頂點出發(fā)，可作(n-3)條對角線，鞏固練習3、從一個多邊形的一個頂點出發(fā)，分別連接這個頂點與其余各頂點，若把這個多邊形分割成6個三角形.求這個多邊形的邊數.

解：設多邊形的邊數為n.根據題意，得n-2=6

解得n=8∴這個多邊形的邊數為8.4、已知一個多邊形，它的內角和等于900°，求這個多邊形的邊數.

解：設多邊形的邊數為n.根據題意，得

(n-2)?180°=900o

解得n=7∴這個多邊形的邊數為7.5、已知多邊形每個內角都等于150°，求它的邊數及內角和.答：此多邊形邊數為12，內角和為1800°.解：設多邊形的邊數為n.根據題意，得（n-2)·180°=150°·n

解得n=12150o×12∴這個多邊形的內角和為=1800°5、一個多邊形的每一個內角都相等，且內角和等于540°，求這個多邊形各內角的度數.

解：設多邊形的邊數為n.根據題意，得

(n-2)?180°=540o

解得n=5∴

這個多邊形各內角的度數為540°÷5=108°6、在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180o，∠B：∠C：∠D=1：2：3，求∠A的度數。解：又∵

在四邊形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360o，∵

∠B：∠C：∠D=1：2：3∴

設∠B=x°，∠C=2x°，∠D=3x°∴

180+x+3x=360解得x=45∴∠C=2x°=90°∴∠A=且∠A+∠C=180o180°-90°=90°創(chuàng)新思維練練你的“本領”

有一張長方形的桌面，現在鋸掉它的一個角，剩下的桌面是一個幾邊形？它的內角和是多少？①不過頂點，內角和為540°.增加一條邊剩下的桌面是五邊形，②過一個頂點，內角和為360°.邊數不變剩下的桌面是四邊形，③過兩個頂點，內角和為180°.減少一條邊剩下的桌面是三邊形，變式練習(四川涼山州中考)一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內角和為1080°，那么原多邊形的邊數為()A、7B、7或8C、8或9D、7或8或9D

所得的余數就是多加的角；

即多邊形的內角和為180°的整數倍，拓展提升1：多邊形中的“多角問題”小明在求一個多邊形的內角和時，由于疏忽，把一個內角加了兩遍，而求出來的結果為2004°，那么這個內角的度數是多少度？這個多邊形是幾邊形.再根據多邊形的內角和即可求出邊數.解：∵2004°÷180°=24°∴

這個角是24°設多邊形的邊數為n.根據題意，得(n-2)·180°=2004°-24°解得n=13∴

這個內角是24°，該多邊形是十三邊形.分析：n邊形的內角和為(n-2)·180°，用2004°除以180°，11······

所得的余數與去掉的一個內角互補；

即多邊形的內角和為180°的整數倍，拓展提升2：多邊形中的“缺角問題”

如果一個多邊形，除了一個內角外，其余各內角之和等于1205°，那么這個內角的度數及多邊形的邊數是多少？再根據多邊形的內角和即可求出邊數.解：∵1205°÷180°=∴

去掉的內角為設多邊形的邊數為n.根據題意，得(n-2)·180°=1205°+55°解得n=9∴

這個內角是55°，多邊形的邊數是9.分析：n邊形的內角和為(n-2)·180°，用1205°除以180°，6······125°180°-125°=55°

總結如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數.解：2G1ABCDEFH∵∠1是△BGC的外角∴∠1=∠B+∠C∵∠2是△DHE的外角∴∠2=∠D+∠E∴∠A+∠B+∠C+∠D+