第三章泛函分析初步

第三章泛函分析初步1第一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四第三章泛函分析初步§3.1線性空間§3.2線性子空間§3.3距離空間§3.4Banach空間§3.5Hilbert空間§3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開(kāi)第二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.1線性空間線性空間：設(shè)W≠?（W為非空集合）(1)W中元對(duì)“+”構(gòu)成交換群，即對(duì)

X,Y,ZW,有ⅰ.ⅱ.ⅲ.ⅳ.ⅴ.第三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.1線性空間(2)對(duì)

X,YW，α,βC（復(fù)數(shù)域）有：ⅵ.ⅶ.ⅷ.ⅸ.稱(chēng)W為線性空間；若α,βC，則W為復(fù)線性空間；若α,βR，則W為實(shí)線性空間。第四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.1線性空間

第五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.1線性空間線性空間W上的算子L為線性算子零狀態(tài)線性系統(tǒng)系統(tǒng)算子為線性算子第六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.2線性子空間線性子空間：設(shè)?≠V

W，V是W的線性子空間直和：設(shè)第七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間（度量空間——MetricSpace）距離空間：設(shè)W≠?，稱(chēng)W為距離空間，指在W中定義了映射：（包括0），

X,YW滿足以下三條公理：

稱(chēng)為W上的距離，為度量空間。第八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間例：例：第九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間例：第十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間－收斂收斂：定理：在中，每個(gè)收斂點(diǎn)列有唯一的極限點(diǎn)。第十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間－完備度量空間柯西序列——CauchySequence例：第十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間－完備度量空間中任意收斂序列是柯西序列中的柯西序列未必收斂到中例：第十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.3距離空間－完備度量空間完備度量空間——CompleteMetricSpace稱(chēng)為完備度量空間，指其中所有柯西序列都收斂。極限運(yùn)算在完備時(shí)可行如何完備化？W不要求線性空間第十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4巴拿赫（Banach）空間第十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間賦范線性空間：設(shè)W≠?是線性空間，若對(duì)

XW，

‖X‖

滿足： 稱(chēng)為X的范數(shù)（Norm），定義了范數(shù)的線性空間稱(chēng)為賦范線性空間，記為。第十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間（廣義）長(zhǎng)度的推廣：例1：

第十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間（廣義）長(zhǎng)度的推廣：例2：第十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間Minkowski不等式：第十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間

第二十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間例第二十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間強(qiáng)收斂：弱收斂：依泛函收斂。注：強(qiáng)收斂弱收斂。第二十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.1賦范線性空間度量空間與賦范線性空間的關(guān)系：

例第二十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.2.Banach空間Banach空間：完備的稱(chēng)為Banach空間。是Banach空間。在中，取完備。

第二十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.4.2.Banach空間定理：若H?lder不等式：證明思路：第二十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5Hilbert空間第二十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.1內(nèi)積空間內(nèi)積：設(shè)W≠?為實(shí)或復(fù)線性空間，若對(duì)

X,Y,Z∈W,λ∈C，均有一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，記為〈X,Y〉，滿足：則稱(chēng)〈X,Y〉為X與Y的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的空間為內(nèi)積空間。第二十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.1內(nèi)積空間注：

例子：

第二十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.1內(nèi)積空間例子：

第二十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.2Hilbert空間定義歐氏范數(shù)，則內(nèi)積（線性）空間成為賦范線性空間。Hilbert空間：依歐氏范數(shù)完備的內(nèi)積空間稱(chēng)為Hilbert空間。有限維內(nèi)積空間必完備：完備。完備，定義內(nèi)積。H空間是能量有限信號(hào)的集合。第三十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.2Hilbert空間Cauchy-Schwarz不等式：W為內(nèi)積空間，

X,Y∈W，有注：1.在H?lder不等式中，取，就成為Cauchy-Schwarz不等式。2.在空間中，有Cauchy不等式：3.在空間中，有Schwarz不等式：第三十一頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.3線性泛函算子—Operator：X,Y為線性空間，算子：

其中，為定義域，為值域。第三十二頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.3線性泛函泛函—Functional：值域是實(shí)／復(fù)數(shù)域的算子為泛函。注：定積分，距離，范數(shù)，內(nèi)積，函數(shù)（第三種定義），（普通）函數(shù)均為泛函。線性算子：X,Y為線性空間，，若對(duì)，有：則T為線性算子。第三十三頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.5.3線性泛函線性泛函：線性算子T的值域?yàn)閷?shí)／復(fù)數(shù)集。距離、范數(shù)是泛函，但非線性泛函。連續(xù)線性算子T線性算子：有界連續(xù)內(nèi)積為連續(xù)線性泛函積分算子第三十四頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6完備規(guī)范正交集上廣義傅里葉展開(kāi)第三十五頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.1正交—Orthogonal正交：在內(nèi)積空間W中，若，滿足：，則稱(chēng)正交，記為：。其中k為常數(shù)，為Kronecker符號(hào)－正交（子）集：中任意兩個(gè)元正交。第三十六頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.1正交集正交：若正交補(bǔ)：規(guī)范正交完備集V：1.（完備性）2.（規(guī)范正交）第三十七頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.1正交定理：Hilbert空間存在規(guī)范正交完備集。定理：W是Hilbert空間，，V是W的正交子集。第三十八頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.2正交投影—OrthogonalProjection正交投影：W是Hilbert空間，在V上的正交投影或投影，記為：。注：的距離最小，即正交投影使均方誤差最小化。第三十九頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.3廣義傅里葉展開(kāi)廣義傅里葉展開(kāi)：設(shè)是H空間W的規(guī)范正交完備集，則對(duì)為廣義傅里葉系數(shù)。注：是Hilbert空間W的規(guī)范且完備的一組基。是X在上的投影。第四十頁(yè)，共四十三頁(yè)，編輯于2023年，星期四§3.6.3廣義傅里葉展開(kāi)Parseval等式：設(shè)，則物理解釋?zhuān)盒盘?hào)的總能量＝各個(gè)分量的能量的和。幾何解釋?zhuān)簭V義勾