第三章動量矩定理

第三章動量矩定理第一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四§3-1動量矩§3-2動量矩定理§3-3剛體的定軸轉(zhuǎn)動微分方程§3-4相對于質(zhì)心的動量矩定理動量矩定理§3-5剛體的平面運動微分方程第二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四§3-1動量矩1.質(zhì)點動量矩的計算◆質(zhì)點對點的動量矩：◆質(zhì)點對軸的動量矩質(zhì)點對點的動量矩是矢量，大小為DOMD面積的兩倍，矢量從矩心O畫出，其方位垂直于質(zhì)點矢徑r和動量mv所組成的平面，指向按右手規(guī)則確定；質(zhì)點對軸的動量矩等于對點的動量矩矢量在相應(yīng)軸上的投影，對軸的動量矩是代數(shù)量。第三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四2.質(zhì)點系動量矩的計算◆質(zhì)點系對點的動量矩：◆質(zhì)點系對軸的動量矩

質(zhì)點系對點O的動量矩為質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點對同一點O動量矩的矢量和，一般用Lo表示。

質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點對某軸的動量矩的代數(shù)和稱為質(zhì)點系對該軸的動量矩,一般用Lx、Ly,Lz表示。LO

=∑MO(mivi)=∑rmivi第四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例已知小球C和D質(zhì)量均為m，用直桿相連，桿重不計，直桿中點固定在鉛垂軸AB上，如圖示。如桿繞軸AB以勻角速度ω轉(zhuǎn)動，求質(zhì)點系對定點O的動量矩。解：質(zhì)點C對點O的動量矩為：方向垂直CD同樣質(zhì)點D對點O的動量矩為：故有：若考慮桿子的質(zhì)量，則需要進(jìn)行積分。Lo方向同上第五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)剛體以速度v平動，剛體內(nèi)任一點A的矢徑是ri,該點的質(zhì)量為mi，速度大小是vi

。LO=∑MO(mivi)=∑(miri)×vC該質(zhì)點對點O的動量矩為

MO(mivi)=ri

×miviOriAmivi因為剛體平動

vi=v=vCLO=∑

MO(mivi)=∑ri

×mivi又因為

(∑mi

)rC=∑miri所以

LO=∑mi

rC

×vC=rC×∑mi

vC3.平動剛體對固定點的動量矩第六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四4.定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩

由動量矩定義得：

其中,Jz=∑miri2稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。即：定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩等于剛體對于該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度乘積。只適用于定軸,不是轉(zhuǎn)軸及點都不成立第七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四常見剛體對軸的轉(zhuǎn)動慣量在工程中，常將轉(zhuǎn)動慣量表示為其物理意義：相當(dāng)于將質(zhì)量集中與一點，該點距軸的距離為ρz—剛體轉(zhuǎn)動慣性的度量,是剛體內(nèi)所有各點的質(zhì)量與其對該軸的轉(zhuǎn)動半徑的平方的乘積的總和。

影響轉(zhuǎn)動慣量大小的因素●

整個剛體質(zhì)量的大小?！?/p>

剛體各部分的質(zhì)量分布。●

轉(zhuǎn)軸的位置。第八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四A勻質(zhì)細(xì)桿對z軸的轉(zhuǎn)動慣量：Cl/2l/2xdxxz簡單形狀勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量第九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四B勻質(zhì)薄圓環(huán)對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量：C勻質(zhì)薄圓板對于中心軸的轉(zhuǎn)動慣量：式中：第十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四D勻質(zhì)薄圓板對于徑向軸的轉(zhuǎn)動慣量：第十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四E轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理第十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四轉(zhuǎn)動慣量的計算：（1）簡單—查表（2）規(guī)則形狀組合—疊加（3）形狀復(fù)雜—實驗例：圖示為一簡化鐘擺，已知均質(zhì)細(xì)桿和均質(zhì)圓盤的質(zhì)量分別為m1和m2，桿長l，圓盤直徑為d。求擺對經(jīng)過懸掛點O的水平軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：第十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四勻質(zhì)曲桿OAB如圖所示

。已知質(zhì)量是m，求曲桿對通過桿端O并與曲桿面垂直的軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量。解：OCaAbB第十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)Oxyz是固連在剛體上的坐標(biāo)系，軸線OL與坐標(biāo)軸x，y，z的夾角用，β，γ表示。剛體對軸OL的轉(zhuǎn)動慣量

因，故

xzAOrLyBLαβγ由矢量投影定理得

剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量·慣性積和慣性主軸

A第十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四于是，剛體對軸OL的轉(zhuǎn)動慣量是

（a）第十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四定義

分別是剛體對軸x，y

和z的轉(zhuǎn)動慣量。

(1)(2)分別稱為剛體對軸y和z,對軸z和x以及對軸x和y的慣性積。慣性積可正、可負(fù)，也可等于零（轉(zhuǎn)動慣量永遠(yuǎn)是正）。

（a）第十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

把式（1）和式（2）代入（a）式最后得剛體對于軸OL的轉(zhuǎn)動慣量

剛體對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量

慣性主軸●適當(dāng)?shù)剡x擇坐標(biāo)系Oxyz的方位，總可使剛體的兩個慣性積同時等于零，例如Jyz=Jzx

。這時與這兩個慣性積同時相關(guān)的軸Oz稱為剛體在O處的慣性主軸。●剛體對慣性主軸的轉(zhuǎn)動慣量稱為主轉(zhuǎn)動慣量。如果慣性主軸還通過剛體質(zhì)心，則稱為中心慣性主軸。對剛體的任一點O都可以有三個相互垂直的主軸。

第十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

過固定點O建立固定坐標(biāo)系Oxyz，以質(zhì)點系的質(zhì)心C為原點，建立平動坐標(biāo)系Cxyz,

質(zhì)點系對固定點O的動量矩為LC——質(zhì)點系相對質(zhì)心C的動量矩OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr質(zhì)點系對固定點O的動量矩計算公式5.平面運動剛體對固定點O的動量矩第十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

過固定點O建立固定坐標(biāo)系Oxyz，以質(zhì)點系的質(zhì)心C為原點，取平動坐標(biāo)系Cxyz,它以質(zhì)心的速度vC

運動。質(zhì)點系內(nèi)任一質(zhì)點A的絕對速度v=ve+vr=vc+vr,則質(zhì)點系對固定點O的動量矩證明OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr動系定系質(zhì)心的性質(zhì)第二十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四LC——質(zhì)點系相對質(zhì)心C

的動量矩0則上式可以寫為OAvxyzvCz'y'x'CvCvrrCrr只適用于質(zhì)心那么LC如何求解？第二十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四如圖所示一半徑為r的勻質(zhì)圓盤在水平面上純滾動,已知圓盤對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為JO，角速度為，質(zhì)心O點的速度為vO。試求圓盤對水平面上O1點的動量矩。

思考題解:OrvOO1x第二十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四行星齒輪機構(gòu)在水平面內(nèi)運動。質(zhì)量為m1的均質(zhì)曲柄OA帶動齒輪II在固定齒輪I上純滾動。齒輪II的質(zhì)量為m2，半徑為r2。定齒輪I的半徑為r1。求輪II對軸O的動量矩。

思考題0ⅠⅡOAPr1r2α2解:第二十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

長度為l，質(zhì)量不計的桿OA與半徑為R、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓盤B在A處鉸結(jié)，桿OA有角速度ω

，輪B有相對桿OA的角速度（逆時針向）。求圓盤對軸O的動量矩。OθBAωω

思考題解:第二十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四若輪B有相對桿OA的角速度－ω。求圓盤對軸O的動量矩。OθBAωω解:勻質(zhì)圓盤B平移OθBAω若圓盤與桿固結(jié)第二十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.質(zhì)點動量矩定理

質(zhì)點對固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點上的力對同一點的力矩。A對固定點§3-2動量矩定理第二十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點的所有力對于同一軸之矩的代數(shù)和。B固定軸將上式兩邊分別向坐標(biāo)軸投影，再利用對點和對軸動量矩公式可得質(zhì)點對定點的動量矩定理在三個坐標(biāo)軸的投影方程不獨立第二十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點在有心力作用下的運動

若質(zhì)點在運動過程中始終只受到指向某固定點的力的作用，稱該質(zhì)點在有心力作用下運動。

（行星）繞太陽，月亮繞地球運動等，都屬于這種情況。力的作用線恒通過定點，因此力F對于該點的矩恒等于0，于是質(zhì)點動量矩守恒，即動量矩大小和方向不發(fā)生變化，方向不變說明mv和r始終在一個平面內(nèi)且質(zhì)點繞相同的方向運行；

mvr大小不變，說明vr若大小不變，若r小則v大。第二十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

把單擺看成一個在圓弧上運動的質(zhì)點A，設(shè)其質(zhì)量為m，擺線長l。又設(shè)在任一瞬時質(zhì)點A具有速度v，擺線OA與鉛垂線的夾角是。例試用動量矩定理導(dǎo)出單擺(數(shù)學(xué)擺)的運動微分方程。解：

取通過懸點O而垂直于運動平面的固定軸z，對此軸應(yīng)用質(zhì)點的動量矩定理OAmgFvlA第二十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四2.質(zhì)點系動量矩定理

質(zhì)點系對固定點的動量矩對于時間的一階導(dǎo)數(shù)等于外力系對同一點的主矩。A對固定點第三十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點系對某固定軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于該質(zhì)點系的所有力對于同一軸之矩的代數(shù)和。B固定軸將上式兩邊分別向坐標(biāo)軸投影，質(zhì)點系對定點的動量矩定理在三個坐標(biāo)軸的投影方程獨立第三十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.如果∑MO(Fi（e))

0，則LO=常矢量.2.如果∑Mz(F（e）)

0，則Lz=常量。對定點的動量矩定理對定軸的動量矩定理結(jié)論如作用于質(zhì)點系的所有外力對某固定點(或固定軸)的主矩始終等于零,則質(zhì)點系對該點(或該軸)的動量矩保持不變。這就是質(zhì)點系的動量矩守恒定理.3.質(zhì)點系動量矩守恒定理第三十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

實例：

爬繩比賽的力學(xué)分析初始靜止

Lz0=0第三十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例題如圖所示，在靜止的水平勻質(zhì)圓盤上，一人沿盤邊緣由靜止開始相對盤以速度u行走，設(shè)人質(zhì)量為m2，盤的質(zhì)量為m1

，盤半徑r，摩擦不計。求盤的角速度。uABzrOω

解：以人和盤為研究對象。FBzm2gFBxm1gFByFAxFAy初始靜止Lz0=0第三十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四§3-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程根據(jù)質(zhì)點系動量矩定理有繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動量矩為：轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動微分方程第三十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四

例題勻質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。OPW

解：以整個系統(tǒng)為研究對象。aP

=

RvOPWaPFxmgFy第三十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四思考：

圖示三種情況下（同一圓輪），在該瞬時圓輪轉(zhuǎn)動的角加速度是否相同？大小順序？（a）是用不計重量的鐵條將重為P的物塊焊在圓輪上；（b）是用不計重量的繩索將重為P的物塊懸掛在同一圓輪上；（c）是在與圓輪連接的不計重量的繩索上作用大小為P的力。第三十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例題兩個鼓輪固連在一起，其總質(zhì)量是m，對水平轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量是JO。鼓輪的半徑是r1

和r2

。繩端懸掛的重物A和B質(zhì)量分別是m1和m2，且m1>m2。試求鼓輪的角加速度。(a)OABr1r2

取系統(tǒng)為研究對象。對鼓輪的轉(zhuǎn)軸z(垂直于圖面)應(yīng)用動量矩定理OABr1r2v1αv2m1gm0gm2gF0y考慮到v1=r1

，v2=r2

，方向為逆鐘向。第三十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四解:由,得研究系統(tǒng)，受力分析如圖，例已知：R,J,M,,m,小車不計摩擦.系統(tǒng)初始靜止.求:上升過程小車的加速度。第三十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例

提升機構(gòu)如圖所示，設(shè)啟動時電動機的轉(zhuǎn)矩M視為常量，大齒輪及卷筒對于軸AB的轉(zhuǎn)動慣量為J2，小齒輪、聯(lián)軸器及電動機轉(zhuǎn)子對于軸CD的轉(zhuǎn)動慣量為J1，被提升的重物重為P，卷筒、大齒輪及小齒輪的半徑分別為R、r2及r1。略去摩擦及鋼絲繩質(zhì)量，開始靜止,求重物上升的加速度。第四十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例題已知電機產(chǎn)生的轉(zhuǎn)矩MO與其角速度ω的關(guān)系為MO=MO1(1ω/ω1)，其中MO1表示電機的啟動轉(zhuǎn)矩,ω1表示電機無負(fù)載時的空轉(zhuǎn)角速度,且MO1和ω1都是已知常量.作用在飛輪上的阻力矩MF可以認(rèn)為不變。電機軸連同其上的飛輪對軸O的轉(zhuǎn)動慣量是JO，試求當(dāng)MO>MF時電機啟動后角速度ω隨時間t而變化的規(guī)律。MFMOOmgFxFy電機的轉(zhuǎn)動微分方程為令第四十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四由題意MO>MF

知，b

cω>0，故飛輪作加速轉(zhuǎn)動。上式可分離變量而化為求積，有MFMOOmgFxFy當(dāng)t→∞時，上式括號內(nèi)的第二項趨近于零；這時飛輪將以極限角速度ω∞轉(zhuǎn)動，第四十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例題復(fù)擺由可繞水平軸轉(zhuǎn)動的剛體構(gòu)成。已知復(fù)擺的質(zhì)量是m，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸O的距離為b，復(fù)擺對轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動慣量是JO，設(shè)擺動開始時OC與鉛直線的偏角是0,且復(fù)擺的初角速度為零，試求復(fù)擺的微幅擺動規(guī)律。軸承摩擦和空氣阻力不計。OC0b解：

研究復(fù)擺,在任意位置時受力分析，為便于計算，把軸承反力沿質(zhì)心軌跡的切線和法線方向分解成兩個分力F1和F2。OCbF1F2mg第四十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四OCbF1F2mg當(dāng)復(fù)擺作微擺動時，令sin≈,可得復(fù)擺微幅擺動的微分方程復(fù)擺的微幅振動是簡諧運動?？紤]到復(fù)擺運動的初始條件：當(dāng)t=0時第四十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四擺動的頻率ω0和周期T分別是復(fù)擺運動規(guī)律為工程上常利用上式測定形狀不規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量。為此把剛體做成復(fù)擺并用試驗測出它的擺動頻率ω0和周期T，然后求得轉(zhuǎn)動慣量OCbF1F2mg第四十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四§3-4質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理動量矩定理是相對于慣性坐標(biāo)系中固定點或固定軸而言的，并不適用于非慣性系的情況。質(zhì)點系相對質(zhì)心時,其動量矩與力矩之間有什么樣的關(guān)系?vr第四十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四質(zhì)點系相對質(zhì)心動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩。第四十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四相對于質(zhì)心軸的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心軸的動量矩對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對該軸的主矩。討論1.在以質(zhì)心為原點的平動坐標(biāo)系中，質(zhì)點系對質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動量矩定理的形式與對定點（或定軸）的動量矩定理的形式相同；2.質(zhì)點系相對于質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動量矩的改變，只與質(zhì)點系的外力有關(guān)，即內(nèi)力不能改變質(zhì)點系對質(zhì)心（或質(zhì)心軸）的動量矩。第四十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四剛體相對質(zhì)心的動量矩定理平面剛體相對質(zhì)心的動量矩剛體相對質(zhì)心的動量矩定理vir第四十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例題長度為l，質(zhì)量為m1的均質(zhì)桿OA與半徑為R，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤B在A處鉸接，鉸鏈O，A均光滑。初始時，桿OA有偏角θ0，輪B有角速度ω0（逆時針向）。求系統(tǒng)在重力作用下的運動。OθBAωB第五十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四1.考慮圓盤B

，受力如圖所示，根據(jù)相對質(zhì)心的動量矩定理2.考慮桿輪系統(tǒng)，受力如圖所示,應(yīng)用對固定點O的動量矩定理

解：LO=LC+rC×pOθBAm2gm1gFOyFOxωBBAm2gFAyFAx第五十一頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四3.運動特性：圓盤的轉(zhuǎn)動不影響系統(tǒng)的擺動，而系統(tǒng)的擺動也不影響圓盤的轉(zhuǎn)動。微幅振動時的運動規(guī)律為ωBBAm2gFAxFAyOθBAm2gm1gFOyFOx?非耦合運動!第五十二頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四§3-5剛體平面運動微分方程平面運動隨質(zhì)心平動繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動投影式：剛體平面運動動力學(xué)方程第五十三頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四投影式：

質(zhì)心運動定理與剛體相對質(zhì)心動量矩定理的結(jié)合完成了對剛體平面運動的完整描述.當(dāng)aC=0及=0時,變成了平面一般力系平衡方程.建立了質(zhì)點系的運動量(動量和動量矩)與力系的特征量(主矢和主矩)之間的關(guān)系.剛體平面運動微分方程第五十四頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓輪沿水平直線軌道純滾動。設(shè)輪的回轉(zhuǎn)半徑為rC，作用于圓輪上的力矩為M，圓輪與地面間的靜摩擦系數(shù)為f。求（1）輪心的加速度；（2）地面對圓輪的約束力；（3）在不滑動的條件下力矩M的最大值。解:第五十五頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四欲使圓輪只滾動而不滑動（純滾動）第五十六頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四xyOCφ若在斜面上?xyOCAFNFmgαaCmaC=mgsin－F

0=FN－mgcos

JCα

=F

r

aC=rαFN=mgcos求得圓柱滾動而不滑動的條件tan

≤3fs

討論若此條件不成立，如何分析？即圓柱有滑動，故運動學(xué)關(guān)系aC=rα不成立。則應(yīng)用關(guān)系F=FNfs

做為補充方程。第五十七頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四例

均質(zhì)細(xì)桿AB，長l，重P，兩端分別沿鉛垂墻和水平面滑動，不計摩擦，如圖所示。若桿在鉛垂位置受干擾后，由靜止?fàn)顟B(tài)沿鉛垂面滑下，求桿在任意位置的角加速度(q的函數(shù))。解

以桿為研究對象，在任意位置的受力如圖所示。其質(zhì)心的坐標(biāo)為:質(zhì)心的加速度為：第五十八頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)桿的平面運動微分方程第五十九頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四聯(lián)立上面3個微分方程,有:

若還要求解任一瞬時的角速度,則可進(jìn)一步積分:第六十頁，共六十九頁，編輯于2023年，星期四已知鼓輪轉(zhuǎn)動慣量為Jo,大小輪半徑為r1,r2,懸掛重物質(zhì)量分別為m1,m2

。求鼓輪的角加速度和軸承的約束力。解：研究系統(tǒng)，受力分析如圖，v2v1(逆時針