積分變換第講拉氏逆變換

積分變換第講拉氏逆變換第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一拉氏逆變換第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一前面主要討論了由已知函數(shù)f(t)求它的象函數(shù)F(s),但在實(shí)際應(yīng)用中常會(huì)碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù)f(t).本節(jié)就來解決這個(gè)問題.

由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,實(shí)際上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏變換.第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一因此,按傅氏積分公式,在f(t)的連續(xù)點(diǎn)就有等式兩邊同乘以ebt,則第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一右端的積分稱為拉氏反演積分,它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負(fù)無窮積分到虛部的正無窮.而積分路線中的實(shí)部b則有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計(jì)算.第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一定理若s1,s2,...,sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(diǎn)(適當(dāng)選取b使這些奇點(diǎn)全在Re(s)<b的范圍內(nèi)),且當(dāng)s時(shí),F(s)0,則有第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一什么叫一個(gè)復(fù)變函數(shù)f(s)的奇點(diǎn)?那就是此函數(shù)沒有定義的點(diǎn),或者說是取值無窮大的點(diǎn).

例如函數(shù)在0,2,-3處有三個(gè)奇點(diǎn),可記為s1=0,s2=2,s3=-3復(fù)習(xí)：第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一假設(shè)s0是f(s)的一個(gè)奇點(diǎn),則f(s)總可以在s0處展開為羅朗級數(shù),形式為:其中-1次方項(xiàng)(s-s0)-1的系數(shù)c-1就稱為f(s)在s0點(diǎn)處的留數(shù),記作

Res[f(s),s0]=c-1或第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一圍繞著f(s)的奇點(diǎn)s0的附近繞一圈環(huán)的積分就等于其中C是只圍繞s0轉(zhuǎn)一圈的任意閉合曲線.第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一如果函數(shù)f(s)有s1,s2,...,sn共n個(gè)奇點(diǎn),閉合曲線C包圍了這n個(gè)奇點(diǎn),則實(shí)軸虛軸s1s2s3留數(shù)定理第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一定理的證明作下圖,閉曲線C=L+CR,CR在Re(s)<b的區(qū)域內(nèi)是半徑為R的圓弧,當(dāng)R充分大后,可以使F(s)est的所有奇點(diǎn)包含在閉曲線C圍成的區(qū)域內(nèi).RO實(shí)軸虛軸LCRb+jRb-jR為奇點(diǎn)b第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)留數(shù)定理可得在上式左方取R的極限,并根據(jù)Jordan引理,當(dāng)t>0時(shí),有第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一最常見的情況,是函數(shù)F(s)是有理函數(shù),即其中A(s)和B(s)是不可約的多項(xiàng)式,B(s)的次數(shù)是n,A(s)的次數(shù)小于B(s)的次數(shù),這時(shí)F(s)滿足定理所要求的條件.第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一如果一元n次方程B(s)=0只有單根,這些單根稱作B(s)的一階零點(diǎn),也就是第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一一階極點(diǎn)處留數(shù)的求法第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一如方程B(s)=0有一個(gè)二重根s1,稱s1為B(s)的二階零點(diǎn),也是F(s)est的二階極點(diǎn),這時(shí)F(s)est在s=s1處可展開為羅朗級數(shù),其形式為:第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一m階極點(diǎn)處留數(shù)的求法？第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換.根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一最后得第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一卷積第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一1.卷積的概念

在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質(zhì).兩個(gè)函數(shù)的卷積是指如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當(dāng)t<0時(shí),f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一今后如不特別聲明,都假定這些函數(shù)在t<0時(shí)恒等于零,它們的卷積都按(2.20)式計(jì)算tOf1(t)f2(t)tOf1(t)f2(t-t)t第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一按(2.20)計(jì)算的卷積亦有

|f1(t)*

f2(t)||f1(t)|*|f2(t)|,

它也滿足交換律:

f1(t)*

f2(t)=f2(t)*

f1(t)

同樣,它還滿足結(jié)合律與對加法的交換律,即

f1(t)*[f2(t)*

f3(t)]=[f1(t)*

f2(t)]*

f3(t)

f1(t)*[f2(t)+f3(t)]=f1(t)*

f2(t)+f1(t)*

f3(t)第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一例1求t

*sint第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一卷積定理

假定f1(t),f2(t)滿足拉氏變換存在定理中的條件,且L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),則

f1(t)*

f2(t)的拉氏變換一定存在,且第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一t=ttOt第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一由于二重積分絕對可積,可以交換積分次序令t-t=u,則第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期一不難推證,若fk(t)(k=1,2,...,n)滿足拉氏變換存在定理中的條件,且

L[fk(t)]=Fk(s)(k=1,2,...,n)

則有

L[f1(t)*

f2(t)*...*

fn(t)]

=F1(s)F2(s)...Fn(s)第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期