第七章非線性系統(tǒng)的分析

第七章非線性系統(tǒng)的分析第一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四本章的主要內(nèi)容12描述函數(shù)法3典型非線性特性的描述函數(shù)4非線性系統(tǒng)的基本概念二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析非線性系統(tǒng)的諧波平衡法分析5安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四7-1非線性系統(tǒng)的基本概念一、非線性系統(tǒng)基本概念系統(tǒng)的非線性程度比較嚴(yán)重，無法用小范圍線性化方法化為線性系統(tǒng)，稱為非線性系統(tǒng)。有兩種情況（1）系統(tǒng)中存在非線性元件；（2）為了某種控制目的，人為引進(jìn)的非線性。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別1、線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而和系統(tǒng)的初始狀態(tài)無關(guān)。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和零輸入響應(yīng)的性質(zhì)不僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四2、線性系統(tǒng)只有兩種基本運(yùn)動(dòng)形式：發(fā)散（不穩(wěn)定）和收斂（穩(wěn)定）。

非線性系統(tǒng)除了發(fā)散和收斂兩種運(yùn)動(dòng)形式外，即使無外界作用，也可能會(huì)發(fā)生自持振蕩。3、在正弦輸入下，線性系統(tǒng)的輸出是同頻率正弦信號(hào)。非線性系統(tǒng)在正弦輸入下，輸出是周期和輸入相同、含有高次諧波的非正弦信號(hào)。4、線性系統(tǒng)分析可用迭加原理，在典型輸入信號(hào)下系統(tǒng)分析的結(jié)果也適用于其它情況。非線性系統(tǒng)不能應(yīng)用迭加原理，沒有一種通用的方法來處理各種非線性問題。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性，由線性微分方程描述。

非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中有非線性元件，輸入輸出間不具有疊加性，由非線性微分方程描述。

非本質(zhì)非線性:

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性用小偏差線性化方法不能解決的非線性。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。輸入輸出放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。1、飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響（1）使系統(tǒng)在大信號(hào)作用下開環(huán)增益下降，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利。（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)系。測量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)等等。死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。（2）減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，減弱動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振蕩傾向安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四輸出輸入3、間隙特性輸入輸出之間具有多值關(guān)系齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙間隙特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動(dòng)態(tài)特性變壞安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入4、繼電器特性理想繼電器

具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四繼電器特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響帶死區(qū)的繼電特性，將會(huì)增加系統(tǒng)的定位誤差，對(duì)其他動(dòng)態(tài)性能的影響，類似于死區(qū)、飽和非線性特性的綜合效果安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)１、系統(tǒng)的穩(wěn)定性２、系統(tǒng)的自持振蕩３、頻率響應(yīng)畸變４、系統(tǒng)共振系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，而且與初始狀態(tài)有關(guān)。產(chǎn)生某一固定振幅和頻率的振蕩輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出為包含一定數(shù)量的高次諧波的非正弦周期函數(shù)，還可能出現(xiàn)跳躍振蕩、倍頻和分頻振蕩等。不會(huì)產(chǎn)生線性系統(tǒng)那樣的共振現(xiàn)象安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四四、非線性系統(tǒng)的分析方法1、相平面法時(shí)域方法2、描述函數(shù)法頻域方法安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四7-2相平面分析法相平面法是一種通過圖解法求解二階非線性系統(tǒng)的準(zhǔn)確方法。相平面法是一種時(shí)域分析方法。設(shè)非線性系統(tǒng)框圖如圖所示，其中N表示非線性環(huán)節(jié)，G(S)是線性部分的傳遞函數(shù)。用相平面法分析非線性系統(tǒng)，線性部分傳遞函數(shù)G(S)必須是二階。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

描述二階系統(tǒng)的二階微分方程可以用兩個(gè)一階微分方程描述：以x1為橫軸，以x2為縱軸的二維狀態(tài)平面稱為相平面。當(dāng)t變化時(shí)，x1(t)對(duì)于x2(t)在相平面上形成的運(yùn)動(dòng)軌跡稱為相平面軌跡，簡稱相軌跡。相軌跡的斜率為不定值的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。奇點(diǎn)也必然是平衡點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：相平面圖是在平面中，繪制隨時(shí)間t變化的軌跡，稱為相軌跡。相軌跡的起點(diǎn)是。奇點(diǎn)是指的點(diǎn)。根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，奇點(diǎn)有不同名稱，據(jù)此可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。一、線性二階系統(tǒng)奇點(diǎn)的類型安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四1、無阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相平面圖如下無阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)，二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四3、過阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四4、系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四5、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四6、是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)軸系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見到。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四二、非線性系統(tǒng)的相平面分析借助Matlab等軟件工具可以方便地繪制非線性系統(tǒng)的相平面圖。例1：有死區(qū)繼電器非線性的系統(tǒng)框圖如下系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)，該二階系統(tǒng)的無阻尼自然振蕩角頻率，阻尼比，根據(jù)前面對(duì)奇點(diǎn)的分類，可知為穩(wěn)定焦點(diǎn)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四繼電器的輸入－輸出關(guān)系為在平面，根據(jù)繼電器的非線性特性，可分為三個(gè)區(qū)域，

設(shè)初始狀態(tài)，，繪制相軌跡如圖所示，(設(shè)r=3)

根據(jù)系統(tǒng)的相軌跡，可對(duì)系統(tǒng)的性能分析如下：安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四2、相軌跡最后沒有到達(dá)原點(diǎn)，即，說明系統(tǒng)在階躍信號(hào)輸入下，存在穩(wěn)態(tài)誤差，引起穩(wěn)態(tài)誤差的原因是死區(qū)繼電器特性。系統(tǒng)線性部分的傳遞函數(shù)表明，系統(tǒng)是Ⅰ型系統(tǒng)，對(duì)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)為0，可見死區(qū)繼電器非線性對(duì)穩(wěn)態(tài)精度的影響。1、系統(tǒng)的相軌跡收斂于A點(diǎn)，是穩(wěn)定的，奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。e是單調(diào)衰減的。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四例2：非線性系統(tǒng)框圖如下其中繼電器回環(huán)特性的參數(shù)M=0.2，a=0.2。系統(tǒng)的線性部分是欠阻尼情況，奇點(diǎn)是穩(wěn)定焦點(diǎn)。非線性環(huán)節(jié)的輸入－輸出關(guān)系為y＝

M

或－M

或安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十六頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)上述關(guān)系，可將平面分為二個(gè)區(qū)域。分別繪制初始狀態(tài)分別為和的兩條相軌跡。從圖知，無論從哪一組初始條件出發(fā)，相軌跡均收斂于極限環(huán)，這是一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，意味著系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。一般不希望系統(tǒng)有自持振蕩。當(dāng)振蕩難以消除時(shí)，應(yīng)盡量將振蕩限制在一個(gè)較小的、可以接收的范圍內(nèi)。實(shí)際上，對(duì)于此系統(tǒng)，通過減少繼電器回環(huán)的寬度a，可減小振蕩。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十七頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

描述函數(shù)是非線性特性的一種線性近似表示。用描述函數(shù)后，非線性系統(tǒng)可近似視為線性系統(tǒng)，用線性系統(tǒng)理論去分析，甚至設(shè)計(jì)。7-3非線性特性的一種線性近似表示—描述函數(shù)考慮一非線性環(huán)節(jié)N，其輸入為x(t)，輸出為n(t)。描述函數(shù)法：找出一個(gè)線性函數(shù)y(t)去逼近n(t)，并且要求按照均方誤差最小的準(zhǔn)則衡量，這種逼近是最佳的。一、描述函數(shù)的基本概念安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十八頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四針對(duì)一任意非線性系統(tǒng)，設(shè)輸入x=Xsinωt，輸出為n(t)

，則可以將n(t)表示為傅立葉級(jí)數(shù)形式：如果非線性環(huán)節(jié)N的特性是對(duì)稱的，則A0=0。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第二十九頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

非線性特性的線性化表示方法：以輸出n(t)的基波分量近似地代替整個(gè)輸出。亦即略去輸出的高次諧波，將輸出表示為一般高次諧波的振幅小于基波的振幅，因而為進(jìn)行近似處理提供了可靠的物理基礎(chǔ)。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四

描述函數(shù)：

輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。輸入：

x(t)

=Xsinωt輸出的基波分量：描述函數(shù)：

描述函數(shù)N(X)表示了當(dāng)X為正弦信號(hào)時(shí)，輸出基波分量與X在幅值和相位上的關(guān)系。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十一頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四二、典型非線性特性的描述函數(shù)1、死區(qū)非線性的描述函數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十二頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四2、理想繼電器非線性的描述函數(shù)安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十三頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四系統(tǒng)開環(huán)部分可分離為：

非線性環(huán)節(jié)N(A)

線性部分G(s)

非線性特性的描述函數(shù)表示了正弦輸入信號(hào)作用下，輸出信號(hào)的基波分量與輸入信號(hào)之間在幅值和相位上的相互關(guān)系，也就是包含有等效增益及等效相移兩方面的信息。7-4分析非線性系統(tǒng)的諧波平衡分析法

諧波平衡法：應(yīng)用描述函數(shù)所提供的信息去分析非線性系統(tǒng)的性能。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十四頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四和相平面法不同，諧波平衡法對(duì)非線性環(huán)節(jié)進(jìn)行諧波線性化處理，允許線性部分是任意階次。非線性系統(tǒng)的特征方程為即：稱為描述函數(shù)的負(fù)倒幅特性。安徽工業(yè)大學(xué)電氣信息學(xué)院第三十五頁，共三十九頁，編輯于2023年，星期四如果滿足上式，表示與有交點(diǎn)，此時(shí)非線性系統(tǒng)將出現(xiàn)自持振蕩，這相當(dāng)于線性系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖在復(fù)平面中穿過（－1，j0）點(diǎn)。將非線性的負(fù)倒幅特性和線性部分的極坐標(biāo)圖繪制在一個(gè)復(fù)平面中，根據(jù)二者的相對(duì)位置可