積分曲線的知識

積分曲線的知識第一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一定義1:聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.

例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程

第二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程.都是常微分方程1.常微分方程如第三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一如果在一個微分方程中,自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程.注:本課程主要研究常微分方程.同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程.2.偏微分方程如都是偏微分方程.第四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.二、微分方程的階如:第五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一n階微分方程的一般形式為第六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一

是線性微分方程.

三線性和非線性如1.如果方程第七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一是非線性微分方程.

如2.n階線性微分方程的一般形式不是線性方程的方程稱為非線性方程第八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一四微分方程的解定義4第九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例2證明:第十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一1顯式解與隱式解相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.第十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例如有顯式解:和隱式解:第十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一2通解與特解定義5如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:n階微分方程通解的一般形式為第十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一注1:第十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例3證明:由于故第十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一又由于第十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一注2:注3:類似可定義方程的隱式通解,如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解.第十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如定義6第十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一3定解條件為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題.常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:當(dāng)定解條件是初始條件時,相應(yīng)的定解問題稱為初值問題.第十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一注1:n階微分方程的初始條件有時也可寫為注2:第二十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例4解由于且第二十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一解以上方程組得第二十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一第二十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一思考1、微分方程的解是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？2、微分方程解的定義區(qū)間是否可以是一個點？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解嗎？第二十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一五積分曲線和方向場1積分曲線一階微分方程稱為微分方程的積分曲線.第二十五頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一2方向場在方向場中,方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場.第二十六頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一圖1.2等斜線積分曲線：圖中實線例：討論微分方程等斜線是雙曲線：積分曲線的分布概況如左圖.拐點所在的曲線第二十七頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一

方向場畫法：適當(dāng)畫出若干條等斜線，再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個點畫出對應(yīng)的向量,這樣即可畫出這個方向場.例畫出方程所確定的方向場示意圖.解方程的等斜線為畫出五條等斜線,再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個點畫出對應(yīng)的向量，如圖方向場。第二十八頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一根據(jù)方向場即可大致描繪出積分曲線．經(jīng)過點(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三條積分曲線．如左圖所示。第二十九頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例5第三十頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一例6積分曲線方向場第三十一頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一方向場示意圖

積分曲線

例7第三十二頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一六、微分方程組定義：用兩個及兩個以上的關(guān)系式表示的微分方程稱為微分方程組。Lorenz方程Volterra兩種種群競爭模型(1.18)(1.19)第三十三頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一高階微分方程的另一種形式（如果可能！）如果把都理解為未知函數(shù)，并作變換上述高階微分方程可以變?yōu)橄铝形⒎址匠探M并可以記為向量形式其中均為向量函數(shù)．分析：微分方程（組）的向量形式為其用線性代數(shù)知識進行研究討論提供了方便。第三十四頁，共三十六頁，編輯于2023年，星期一七、駐定與非駐定、動力系統(tǒng)如果方程組的右端不含自變量，即則稱為駐定（自治）的，否則就稱為非駐定的（非自治）的。注：對于非駐定方程組總可以引入變換變?yōu)轳v定方程組。把滿足恒同性和可加性的映射稱為動力系統(tǒng)。動力系統(tǒng)分為連續(xù)和離散系統(tǒng)兩種類型，對應(yīng)有連續(xù)動力系統(tǒng)和離散動力系統(tǒng)。注：記為單參數(shù)的的映射（變換），則映射滿足恒同性和可加性，即：和第三十五頁，共三十六頁