第七章極小值原理與典型最優(yōu)控

第七章極小值原理與典型最優(yōu)控1第一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四主要內(nèi)容極小值原理典型最優(yōu)控制2第二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.1極小值原理極小值原理研究最優(yōu)控制問題的現(xiàn)代理論對古典變分學(xué)的發(fā)展一些文獻(xiàn)中也被稱為極大值原理以Bolza問題為對象描述極小值原理

3第三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四考慮等式約束的一種特定的情況-n維向量,f-n維向量函數(shù)u

–

m維控制向量函數(shù)容許控制-是一給定的有界集合假定終端時間滿足4第四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四假設(shè)對于具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)這種光滑性假定，對于任何分段連續(xù)的函數(shù)保證了存在唯一的屬于式（1）的容許軌線可定義容許控制函數(shù)集合是這類分段連續(xù)的函數(shù)并假定對于一個容許的和給定的初始條件，在所考慮的控制區(qū)域內(nèi)，式（1）確定了一個唯一的容許解

5第五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四確定一個容許控制函數(shù)使下述的性能指標(biāo)為極小

6第六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四采用Lagrange乘子法

7第七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四定義標(biāo)量函數(shù)Hamilton函數(shù)為8第八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四特性指標(biāo)為

9第九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四積分可得

10第十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四如果是最優(yōu)控制律對應(yīng)于邊界條件有

11第十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四也可以寫成12第十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四滿足邊界條件

13第十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四極小值原理與變分學(xué)區(qū)別在于極值條件不同極小值原理的極值條件是Hamilton函數(shù)變分學(xué)的極值條件是

14第十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四極大（?。┲翟淼囊饬x容許控制條件放寬取得全局最小值沒有H對u的可微性要求狀態(tài)方程、協(xié)態(tài)方程和橫截條件依舊只給出最優(yōu)控制的必要條件，而非充分條件（更沒有涉及存在性問題）15第十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四例研究線性時不變系統(tǒng)的時間最優(yōu)控制問題16第十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四解：Hamiliton函數(shù)為為使H相對于所選擇的u(t)盡可能小，必須有：即u(t)取單位向量，17第十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四18第十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四如19第十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四20第二十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四21第二十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四22第二十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四23第二十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.2典型最優(yōu)控制

主要內(nèi)容LQR問題線性伺服機(jī)構(gòu)Bang-Bang控制奇異控制離散系統(tǒng)最優(yōu)控制

24第二十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.2.1LQR（LinearQuadraticRegulator）問題對于線性系統(tǒng)LQR問題為25第二十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四LQR問題的普遍性LQR問題的提法具有普遍意義，不限于哪種物理系統(tǒng)，而且人們證明這樣的提法易于獲得解析解，最為可貴的是能獲得線性反饋解。線性系統(tǒng)最優(yōu)控制所的結(jié)果也適用于小信號下運(yùn)行的非線性系統(tǒng)，可以作為一次近似提供了一種統(tǒng)一的框架。26第二十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四應(yīng)用極小值原理實現(xiàn)最優(yōu)控制要求滿足

27第二十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四確定閉環(huán)控制假設(shè)則得28第二十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四在數(shù)學(xué)中，稱為Riccati方程，所以（7）式也稱為Riccati方程29第二十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四最優(yōu)控制律為

令則求得閉環(huán)解（9）30第三十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四計算二階變分故極小值條件為(存在最優(yōu)控制的充分條件)（10）31第三十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四在某些情況下，S矩陣的某些元素大到足以引起計算上的困難，在此情況下，用逆Riccati方程求解。令（11）（12）32第三十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四則逆Riccati方程為33第三十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四最優(yōu)反饋控制結(jié)構(gòu)P(t)34第三十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四P(t)的計算由將Riccati方程寫成差分格式取步長為負(fù)值，反向積分，即35第三十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四P(t)的對稱性，即所以P待求的元素個數(shù)為n(n+1)/236第三十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四P(t)的半正定性可以證明但故37第三十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四無限時間調(diào)節(jié)器問題上述問題有解的條件：系統(tǒng)完全可控38第三十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四39第三十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四線性定常調(diào)節(jié)器40第四十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四為下列代數(shù)Riccati方程的解或是Riccati微分方程的穩(wěn)態(tài)解41第四十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四PI調(diào)節(jié)器42第四十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四43第四十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四例：考慮如下標(biāo)量系統(tǒng)的最優(yōu)控制問題44第四十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四解如下Riccati方程可得45第四十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四其中：調(diào)整，使如：(a)46第四十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四(b)(c)(d)當(dāng)47第四十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四48第四十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四49第四十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.2.2線性伺服機(jī)構(gòu)

線性伺服機(jī)構(gòu)問題的描述為50第五十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四使得-“噪聲”向量

51第五十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對應(yīng)矩陣的要求按照處理調(diào)節(jié)器問題一樣的方式進(jìn)行

52第五十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四

53第五十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四為了確定閉環(huán)控制假設(shè)則得

54第五十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四

55第五十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四線性伺服機(jī)由兩部分組成（1）線性調(diào)節(jié)器部分（2）由系統(tǒng)輸出的期望值確定最優(yōu)驅(qū)動函數(shù)的前置濾波器最優(yōu)控制規(guī)律

56第五十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四存在問題在計算上該最優(yōu)控制實際上常常不能實現(xiàn)因為它包含有，必須由到反向求解需要知道在所有時間內(nèi)的和當(dāng)則問題為“輸出調(diào)節(jié)器”問題

57第五十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四輸出調(diào)節(jié)器問題58第五十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四最優(yōu)控制律其中P(t)是如下Riccati方程的解59第五十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四存在輸出調(diào)節(jié)器的必要條件是系統(tǒng)客觀（不是系統(tǒng)可控）但當(dāng)S變成無窮大時，或終端時刻為無窮大時，則要求系統(tǒng)可控，即為無限時間調(diào)節(jié)器問題。輸出調(diào)節(jié)器反饋的仍然是系統(tǒng)狀態(tài)。60第六十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.2.3Bang-Bang控制

對于非線性系統(tǒng)61第六十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四最小化Hamilton函數(shù)62第六十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四Hamilton函數(shù)對控制向量是線性的對于的極小化要求63第六十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四由此可見控制線性地出現(xiàn)在系統(tǒng)和性能指標(biāo)中另外，如果控制向量的每一個分量是有界的則該最優(yōu)控制就是砰磅控制（Bang—Bang控制）

64第六十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四只是在情況下例外不是的函數(shù)它相對于不可能有極小當(dāng)式（6）在時間上只是對于孤立點(diǎn)成立即該最優(yōu)控制問題具有一個奇異解如（6）的第個分量是零相當(dāng)于特定的控制分量可能是一個奇異解

65第六十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對Bang–Bang控制問題-由式（5）確定

66第六十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四兩點(diǎn)邊值問題很難解決的問題考慮一種特殊情況最短時間問題67第六十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四希望轉(zhuǎn)移一個維向量定常系統(tǒng)以最短的時間到達(dá)原點(diǎn)使

68第六十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四具有限制要求所以

69第六十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四由于末端時刻自由，又與無明顯的關(guān)系根據(jù)（21）和（39）式沿最優(yōu)軌線有70第七十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四正則方程為71第七十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四為了避免一個奇異解必須保證在一段非零的時間間隔內(nèi)，不能為零

72第七十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論1（唯一性）（9）、（10）式所表示的最優(yōu)控制問題若存在最小時間控制則控制，是唯一的73第七十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論2（開關(guān)次數(shù)）（9）、（10）式所表示的最優(yōu)控制問題(A的特征值為實根)若存在最小時間控制則控制，至多切換次

74第七十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.2.4奇異控制

考慮如下問題使得

75第七十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對于非零的必須使

上式表明最優(yōu)控制運(yùn)行在邊界上但在之間取值是可能的

76第七十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四由此可見是一種可能的解此時與完全無關(guān)不可能根據(jù)的選擇使為極小此問題即為奇異問題求解

77第七十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四設(shè)初始為正則所以78第七十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)時若取則在內(nèi)存在一個奇異解且

79第七十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四+1-112tx(t)u(t)80第八十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四奇異控制問題的提法對于一般的Bolga問題給定，可以固定，可以自由

81第八十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四其Hamilton函數(shù)為82第八十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)控制變量在約束的邊界范圍內(nèi)取值時極值條件應(yīng)為（11）式稱為Legendre-Clebsch（勒讓德—克萊勃希）條件若條件（11）只取嚴(yán)格的不等號，則稱強(qiáng)化的勒讓德—克萊勃希條件

83第八十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四如果在某一時間間隔上矩陣是奇異的即或非負(fù)定，即不滿足強(qiáng)化的勒讓德—克萊勃希條件，則稱Bolza問題為奇異的84第八十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四此時的最優(yōu)控制奇異最優(yōu)控制與此對應(yīng)的最優(yōu)軌線部分稱為奇異弧，則稱為奇異區(qū)間實際上若是控制向量的一個或多個元的線性函數(shù)則問題是奇異的

85第八十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四工程中奇異最優(yōu)控制問題廣泛存在，而且很重要求解奇異最優(yōu)控制比求解正常的最優(yōu)控制要困難得多奇異解通常由正?；。˙ang-Bangarc）和奇異弧組成86第八十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四總的說對于奇異最優(yōu)控制問題已有的理論和方法尚嫌不足需要探索新的理論和方法

87第八十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四定理若Hamilton函數(shù)H滿足則泛函極值存在的必要條件為88第八十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)最優(yōu)化問題的奇異解使得

89第八十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四

90第九十頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四若問題存在奇異解則在奇異弧段上有下式成立91第九十一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四根據(jù)定理即

92第九十二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四所以此處假設(shè)存在若不可逆，則奇異控制不存在93第九十三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四由（14）、（18）、（23）可求若不顯含且未定則

94第九十四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四例1研究以下例子使得

95第九十五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四解：奇異弧使得

96第九十六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對于一個有限的時間區(qū)間具有正則方程和協(xié)態(tài)方程

97第九十七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四在奇異弧上閉環(huán)控制是

98第九十八頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四在一奇異弧上99第九十九頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四一根典型的軌線包含三部分最初用控制的一個極值使系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到奇異弧然后用奇異控制直到應(yīng)用控制的另一極值的數(shù)值極值控制使此系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)

100第一百頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四研究兩種情況（1）101第一百零一頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四102第一百零二頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四（2）,使令可得奇異弧是兩條直線

103第一百零三頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對于直線則所以104第一百零四頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四對于直線閉環(huán)控制所以105第一百零五頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四若在這段奇異弧上

運(yùn)動是不穩(wěn)定的它的方向是離開原點(diǎn)

106第一百零六頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四107第一百零七頁，共一百一十九頁，編輯于2023年，星期四6.3離散系統(tǒng)最優(yōu)控制

主要內(nèi)容離散的極大值原理

離散線性調(diào)節(jié)器問題

108第一百零八頁，共一百一十九頁，