第一章 集合與常用邏輯用語集合

第一章集合與常用邏輯用語集合第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四●課程標(biāo)準(zhǔn)一、集合1．集合的含義與表示①通過實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系．②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題，感受集合語言的意義和作用．2．集合間的基本關(guān)系①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．②在具體情境中，了解全集與空集的含義．第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四3．集合的基本運(yùn)算①理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡單集合的并集、交集．②理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．③能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對理解抽象概念的作用．第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四二、常用邏輯用語1．命題及其關(guān)系①了解命題的逆命題、否命題與逆否命題．②理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系．2．簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義．第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四3．全稱量詞與存在量詞①通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例，理解全稱量詞與存在量詞的意義．②能正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定．第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四●命題趨勢1．集合的概念與運(yùn)算，主要從以下三個(gè)方面考查：一是對集合基本概念的認(rèn)識和理解水平，如集合的表示法、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系、集合的運(yùn)算；二是以集合為工具考查對集合語言和集合思想的應(yīng)用水平，在考查集合知識的同時(shí)突出考查準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)語言能力及用數(shù)形結(jié)合、分類討論思想解決問題的能力；三是以集合為載體考查對信息的收集、捕捉、加工能力．這一部分命題保持相對穩(wěn)定，主要是簡單的概念與運(yùn)算的選擇題，有時(shí)會(huì)以集合為載體考查函數(shù)的定義域、值域、方程與不等式及與解析幾何聯(lián)系的中檔題．第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2．充要條件的判斷與命題的關(guān)系是考查的主要方向，主要用客觀題考查，在大題中會(huì)和其它知識結(jié)合，以載體形式出現(xiàn)．3．邏輯聯(lián)結(jié)詞、存在量詞、全稱量詞，一般不會(huì)單獨(dú)命題，通常會(huì)在題目中間接考查，若單獨(dú)命題，則是簡單的客觀題．第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四●復(fù)習(xí)指南1．集合的復(fù)習(xí)應(yīng)抓好基本概念與運(yùn)算的落實(shí)和對集合語言的識讀理解能力．建議重點(diǎn)訓(xùn)練一下集合的運(yùn)算及其與新定義題型、解析幾何的嫁接．2．常用邏輯用語復(fù)習(xí)時(shí)，要掌握各種邏輯用語的含義、表示方法、用法及注意事項(xiàng)，理解命題結(jié)構(gòu)及邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，掌握四種命題的內(nèi)在聯(lián)系，熟練判斷充要條件．主要進(jìn)行客觀題訓(xùn)練，注意解答題中關(guān)鍵的聯(lián)結(jié)詞.第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：①理解集合、子集的概念②了解空集的概念和意義③了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義④理解集合的交、并、補(bǔ)概念及性質(zhì)⑤會(huì)用韋恩圖及數(shù)軸解有關(guān)集合問題難點(diǎn)：子集與真子集、屬于與包含關(guān)系、交集與并集之間的區(qū)別與聯(lián)系．第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四知識歸納1．集合的基本概念(1)某些指定的對象集在一起就成為一個(gè)集合．其中每個(gè)對象叫做集合中的元素．集合中的元素具有確定性、互異性和無序性．(2)集合有三種表示方法：

、

、

還可以用區(qū)間來表示集合．(3)集合中元素與集合的關(guān)系分為屬于與不屬于兩種，分別用∈和?來表示．(4)不含任何元素的集合叫空集，用?表示．列舉法描述法圖示法．第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2．集合之間的關(guān)系(1)若集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，則稱集合A是集合B的子集，記作

.(2)由所有

的元素所組成的集合，叫做A與B的交集，記作A∩B.若x∈A∩B，則x∈A x∈B.(3)由所有

的元素所組成的集合，叫做A與B的并集，記作A∪B.若x∈A∪B，則x∈A x∈B.(4)若已知全集U，集合A?U，則?UA＝{x|x∈U且x?A}．A?B屬于集合A且屬于集合B且屬于集合A或?qū)儆诩螧或第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四3．集合中的常用性質(zhì)(1)A?B，B?A，則A

B；A?B，B?C，則A

C；(2)??A，若A≠?，則?A；(3)A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A；(4)A∪A＝A，A∪B＝B∪A，A∪?＝A；(5)A∩?UA＝ ，A∪?UA＝

；(6)A∩B?A?A∪B；(7)?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)；(8)A?B?A∩B＝

?A∪B＝

.＝??UAB第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四誤區(qū)警示1．集合中元素的互異性如：設(shè)P、Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P*Q＝{x|x＝a·b，“·”為通常的乘法運(yùn)算，a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,4}，Q＝{1,2,6}，則P*Q中元素的個(gè)數(shù)是(

)A．9

B．8

C．7

D．6解析：由題意可知P*Q＝{0,2,4,8,12,24}．故選D.第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2．區(qū)分?jǐn)?shù)集與點(diǎn)集以數(shù)或點(diǎn)為元素的集合分別叫做數(shù)集或點(diǎn)集．這是我們研究的主要對象，研究集合必須搞清集合中的元素是什么．3．解集合之間的關(guān)系題時(shí)，不要忘了空集，正確區(qū)分交集與并集、子集與真子集第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四4．解決集合的子集、交集、并集、補(bǔ)集關(guān)系問題時(shí)，要特別注意區(qū)間端點(diǎn)的值能否取到．你會(huì)求解下列問題嗎？集合A＝{x|－2≤x<1}．(1)若B＝{x|x>m}，A?B，則m的取值范圍是______．(2)若B＝{x|x<m}，A?B，則m的取值范圍是______．答案：(1)m<－2

(2)m≥1第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四1．“數(shù)形結(jié)合”思想(1)準(zhǔn)確把握集合元素的特征性質(zhì)，把集合用數(shù)軸、幾何圖形、Venn圖等直觀表示，可方便地獲得問題的解決．(2)關(guān)于不等式的解集的關(guān)系及運(yùn)算借助數(shù)軸討論尤其方便2．子集個(gè)數(shù)問題第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例]

集合A＝{一條邊長為2，一個(gè)角為30°的等腰三角形}，則集合A的子集的個(gè)數(shù)為(

)A．4

B．16C．15 D．無數(shù)個(gè)分析：首先搞清集合A中元素個(gè)數(shù)n，然后根據(jù)公式2n求出子集個(gè)數(shù)．第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四解析：邊長為2的邊是等腰三角形的底邊時(shí)，30°的角可以是三角形的底角，也可以是頂角．故這樣的三角形有兩個(gè)．邊長為2的邊是等腰三角形的腰長時(shí)，30°的角可以是三角形底角，也可以是頂角，故這樣的三角形也有兩個(gè)．故適合條件的三角形共有4個(gè)．所以子集個(gè)數(shù)為24＝16個(gè)．選B.第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四點(diǎn)評：關(guān)于有限集的子集個(gè)數(shù)有如下結(jié)論：(1)若A＝{a1，a2，…，an}，則A的子集個(gè)數(shù)為2n，其中含有m(m≤n)個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為Cnm個(gè)，A的真子集個(gè)數(shù)為2n－1，A的非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2個(gè)．(2)若{a1，a2…，am}?A?{a1，a2…，am，am＋1，…，an}，則A的個(gè)數(shù)為2n－m個(gè)，若{a1，a2，…，am}A?{a1，a2，…，am，am＋1，…，am}則A的個(gè)數(shù)為2n－m－1個(gè)，若{a1，a2，…，am}A{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}則A的個(gè)數(shù)為2n－m－2個(gè)．(3)若{a1，a2，…，am}∪B＝{a1，a2，…，am，am＋1，…，an}，則B的個(gè)數(shù)為2m個(gè)．第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例1]設(shè)全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m<0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≥0}，那么點(diǎn)P(2,3)∈A∩(?UB)的充要條件是(

)A．m>－1且n<5B．m<－1且n<5C．m>－1且n>5D．m<－1且n>5第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四分析：準(zhǔn)確理解集合元素的特征性質(zhì)和集合中的元素與集合的關(guān)系、補(bǔ)集和交集的概念是正確解題的前提．若點(diǎn)P∈A，則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足集合A中元素的特征性質(zhì)．解析：∵P∈A，∴m<－1，又?UB＝{(x，y)|x＋y－n<0}，P∈?UB，∴n>5，故選D.答案：D點(diǎn)評：一般地，若a∈A，則元素a一定滿足集合A中元素的共同屬性．第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(09·北京)設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么k是A的一個(gè)“孤立元”．給定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________個(gè)．解析：根據(jù)題意不含孤立元的集合中，每個(gè)元素必須有與其相鄰的元素．則滿足條件的集合只能是{1,2,3}、{2,3,4}、……、{6,7,8}共6個(gè)．答案：6第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例2]已知全集I＝R，集合M＝{x||x|<2，x∈R}，P＝{x|x>a}，并且M?IP，那么a的取值集合是(

)A．{2} B．{a|a≤2}C．{a|a≥2} D．{a|a<2}解析：∵M(jìn)＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}

?IP＝{x|x≤a}M?IP，∴a≥2，如下圖數(shù)軸上所示．故選C.答案：C第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四點(diǎn)評：1.一般地，在處理帶參數(shù)的不等式解集之間的關(guān)系時(shí)，要把所涉及的集合表示在數(shù)軸上，借助其直觀性正確判定．要特別注意是否包括分界點(diǎn)即a＝2.2．集合運(yùn)算與不等式的聯(lián)系是近年來高考的主要題型第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四答案：B

第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例3]已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(?RB)＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (

)A．a(chǎn)≤1 B．a(chǎn)<1C．a(chǎn)≥2 D．a(chǎn)>2解析：?RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，又A∪(?RB)＝R，利用數(shù)軸可得a≥2，故選C.答案：C點(diǎn)評：解答集合運(yùn)算的題目，要緊扣交、并、補(bǔ)運(yùn)算的定義求解．第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(2010·鎮(zhèn)海中學(xué))設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，集合M＝{x|x2－4<0}，N＝{x|(x－2)2<1}，則圖中陰影部分所表示的集合是(

)A．{x|－2<x≤1}B．{x|1<x≤2}C．{x|－2≤x≤1}D．{x|x≥3}第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四解析：Venn中的陰影部分在集合M中，不在集合N中，故所表示的集合為M∩?UN.∵M(jìn)＝{x|x2－4<0}＝{x|－2<x<2}，N＝{x|(x－2)2<1}＝{x|1<x<3}，∴M∩?UN＝{x|－2<x≤1}，故選A.答案：A第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例4]設(shè)集合S＝{A0，A1，A2，A3}，在S上定義運(yùn)算⊕為：Ai⊕Aj＝Ak，其中k為i＋j被4除的余數(shù)，i、j＝0、1、2、3，則滿足關(guān)系式(x⊕x)⊕A2＝A0的x(x∈S)的個(gè)數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4解析：由⊕的定義知，A0⊕A2＝A2，A1⊕A2＝A3，A2⊕A2＝A0，A3⊕A2＝A1，A0⊕A0＝A0，A1⊕A1＝A2，A3⊕A3＝A2，∵(x⊕x)⊕A2＝A0，∴x⊕x＝A2，所以x＝A1或A3.第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四答案：B點(diǎn)評：解答新定義題型，一定要先弄清新定義所提供的信息的含義，進(jìn)行必要的提煉加工，等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識，然后利用已掌握知識方法加以解答．第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四答案：C點(diǎn)評：該題立意新穎，背景公平．對考生的思維能力和分析解決問題能力有較高的區(qū)分度.第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[例5]已知集合A＝{(x，y)|x2－y2－y＝4}，B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}，C＝{x|x－2y＝0}，D＝{(x，y)|x＋y＝0}．(1)判斷B、C、D間的關(guān)系；(2)求A∩B.解析：(1)B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}＝{(x，y)|(x－2y)(x＋y)＝0}＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}，∴DB，集合B、D與集合C無任何關(guān)系．第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四點(diǎn)評：用描述法給出的集合，要特別注意集合的“代表元素”是什么．本題易出現(xiàn)如下錯(cuò)解：(1)B＝{(x，y)|x2－xy－2y2＝0}＝{(x，y)|(x－2y)(x＋y)＝0}＝{(x，y)|x－2y＝0或x＋y＝0}＝{(x，y)|x－2y＝0}∪{(x，y)|x＋y＝0}＝C∪D.第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四解析：∵A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y>1}，∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故選A.答案：A第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(理)已知集合M＝{(x，y)|y－1＝k(x－1)，x，y∈R}，集合N＝{(x，y)|x2＋y2－2y＝0，x，y∈R}，那么M∩N中(

)A．不可能有兩個(gè)元素B．至多有一個(gè)元素C．不可能只有一個(gè)元素D．必含無數(shù)個(gè)元素第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四解析：y－1＝k(x－1)表示經(jīng)過定點(diǎn)(1,1)，斜率為k的直線，不包括通過(1,1)與x軸垂直的直線即x＝1.x2＋y2－2y＝0，可化為x2＋(y－1)2＝1，表示圓心在(0,1)半徑等于1的圓，又(1,1)是圓上的點(diǎn)，∴直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，故選C.答案：C點(diǎn)評：集合與平面解析幾何結(jié)合是高考的又一熱點(diǎn)，這類題型一般以集合為載體考查解析幾何基本圖形的性質(zhì)及相互之間的關(guān)系，解題關(guān)鍵是抓住表達(dá)式的幾何意義．第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四一、選擇題1．(文)(2010·北京市東城區(qū))已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{2,3,5}，N＝{4,5}，則?U(M∪N)等于 (

)A．{1,3,5} B．{2,4,6}C．{1,5} D．{1,6}[答案]

D[解析]

∵M(jìn)∪N＝{2,3,4,5}，∴?U(M∪N)＝{1,6}．第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(理)(2010·華南師大附中)設(shè)集合A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1,2,4,5}，全集U＝A∪B，則集合?U(A∩B)中的元素共有(

)A．3個(gè) B．4個(gè)C．5個(gè) D．6個(gè)[答案]

A[解析]

由題意得，U＝A∪B＝{0,1,2,3,4,5}，A∩B＝{1,2,4}，∴?U(A∩B)＝{0,3,5}，故選A.第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2．(2010·溫州中學(xué))已知集合M＝{x|1＋x>0}，N＝{x|y＝lg(1－x)}，則M∩N＝(

)A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>1}C．{x|－1<x<1} D．{x|x≥－1}[答案]

C[解析]

∵y＝lg(1－x)有意義，∴1－x>0，∴x<1，∴M∩N＝{x|－1<x<1}．第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四3．(文)(2010·重慶市南開中學(xué))設(shè)集合A＝{a，b}，則滿足A∪B＝{a、b、c，d}的所有集合B的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B．4

C．8

D．16[答案]

B[解析]

集合B中必有元素c、d，由含元素a、b的個(gè)數(shù)知，這樣的集合B共有22＝4個(gè)．第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四(理)已知集合P∩Q＝{a，b}，P∪Q＝{a、b、c，d}，則符合條件的不同集合P，Q有 (

)A．3對B．4對C．5對D．6對[答案]

B[解析]

根據(jù)交集、并集的概念知，集合P，Q中必有元素a，b，然后逐一選擇元素c，d與元素a，b構(gòu)成不同的集合P，Q.集合P，Q分別為：①{a，b}和{a、b、c，d}；②{a、b、c}和{a，b，d}；③{a，b，d}和{a、b、c}；④{a、b、c，d}和{a，b}，共4對．故選B.第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[點(diǎn)評]

P＝{a，b}，Q＝{a、b、c，d}與P＝{a、b、c，d}，Q＝{a，b}是不同的．第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四4．已知集合M＝{a、b、c}中的三個(gè)元素為某一三角形的三邊長，那么此三角形一定不是(

)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形[答案]

D[解析]

由于a、b、c三個(gè)元素不相同，故由它組成的三角形一定不是等腰三角形．第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四5．定義集合A、B的一種運(yùn)算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈B}，若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，則A*B中所有元素之和為(

)A．9

B．14

C．18

D．21[答案]

B[解析]

A*B中所有元素為2,3,4,5.∴和為14.第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四6．(2010·山東青島)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|y＝ln(x－1)}，則圖中的陰影部分表示的集合是 (

)A．(－∞，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，0]∪(1,2)C．(－∞，0)∪(1,2)D．(－∞，0)∪(1,2][答案]

D[分析]

可以先求出集合A、B，把陰影部分用集合A，B表示出來然后進(jìn)行具體計(jì)算．也可以利用陰影部分在集合A∪B中，不在A∩B中來求解．第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[解析]

由題意得A＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，B＝(1，＋∞)，圖中的陰影部分表示的集合是[A∩(?UB)]∪[(?UA)∩B]，而A∩(?UB)＝(－∞，0)，(?UA)∩B＝(1,2]，故陰影部分表示的集合是(－∞，0)∪(1,2]．第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四[答案]

B

第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期四2．已知集合P＝{4,5,6}，Q＝{1,2,3}，定義P⊕Q＝{x|x＝p－q，p∈P，q∈Q}，則集合P⊕Q的所有真子集的個(gè)數(shù)為(

)A．32 B．31C．30 D．以上都不對[答案]

B[解析]

由所定義的運(yùn)算可知P⊕Q＝{1,2,3,4,5}，∴P⊕Q的所有真子集的個(gè)數(shù)為25－1＝31