第一節(jié) 二重積分的概念與性質

第一節(jié)二重積分的概念與性質第一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四柱體體積=底面積×高【特點】平頂.柱體體積=？【特點】曲頂.曲頂柱體１．曲頂柱體的體積一、問題的提出——引例第二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解法】類似定積分解決問題的思想:給定曲頂柱體:底：xoy

面上的閉區(qū)域D頂:連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢的邊界為準線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“分割,取近似,求和,取極限”第三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【步驟如下】②取近似、③求和：用若干個小平頂柱體體積之和近似表示曲頂柱體的體積，①分割：先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域，得曲頂柱體的體積④取極限：第四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四２．求平面薄片的質量⑴分割：將薄片分割成若干小塊，⑵近似：取典型小塊，將其近似看作均勻薄片，⑶求和：所有小塊質量之和近似等于薄片總質量【分析】

=常數時，質量=·，其中為面積.⑷取極限：得薄片總質量若為非常數，仍可用“分割,取近似,求和,取極限”解決.第五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四兩個問題的共性：(1)解決問題的步驟相同(2)所求量的結構式相同“分割,取近似,求和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質量:第六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四二、二重積分的概念第七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四積分區(qū)域積分和被積函數積分變量被積表達式面積元素第八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四2.【對二重積分定義的說明】存在的必要條件.(1)積分存在時，值與區(qū)域的分法和點的取法無關代替？不能用連續(xù)是二重積分存在的充分條件第九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四3.【二重積分的幾何意義】4.【物理意義】表曲頂柱體的體積.1)若表曲頂柱體體積的負值.2)若3)若表區(qū)域D的面積.［幾個特殊結果］第十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四根據分割的任意性，當二重積分存在時，在直角坐標系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D（特殊分割的二重積分與任意分割的二重積分相等）故二重積分可寫為D則直角坐標系下面積元素為即第十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【性質1】【性質2】（二重積分與定積分有類似的性質）三、二重積分的性質逐項積分【線性性質】線性性質可以推廣至有限個函數的情形。第十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【性質3】對區(qū)域具有可加性【性質4】若為D的面積，【性質5】若在D上特殊地則有比較性質第十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【性質6】【性質7】（二重積分中值定理）（二重積分估值不等式）【幾何意義】曲頂柱體的體積等于一個平頂柱體的體積第十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【證明】以下僅證性質7（中值定理）由估值性質得據有界閉域上的連續(xù)函數的介值定理變形后【得證】第十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【例1】

比較下列積分的大小:其中【解】積分域D的邊界為圓周它與x

軸交于點(1,0),而區(qū)域D位從而于直線的上方,故在D上作業(yè)題、課后習題第十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解】第十七頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解】第十八頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解】【分析】被積函數在積分區(qū)域上的正負決定二重積分的符號.（比較性質的特例）第十九頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解】課后習題第二十頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【解】區(qū)域D的面積故即課后習題第二十一頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【例7】1.設函數D位于x軸上方的部分為D1,在D上當區(qū)域關于y

軸對稱,函數關于變量x

有在閉區(qū)域D上連續(xù),D關于x

軸對稱,則則奇偶性時,仍有類似結果.第二十二頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四在第一象限部分,則有【說明】將該結論熟記，對以后計算帶來很大方便.（要兼顧被積函數的奇偶性和積分區(qū)域的對稱性）【例如】第二十三頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四二重積分的定義二重積分的性質（7條）二重積分的幾何意義（曲頂柱體的體積）（積分和式的極限）四、小結二重積分的物理意義（平面薄片的質量）第二十四頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【思考題】

1.將二重積分定義與定積分定義進行比較，找出它們的相同之處與不同之處.2.在二重積分定義中能否用來代替?為什么?第二十五頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四1.定積分與二重積分都表示某個和式的極限值，且此值只與被積函數及積分區(qū)域有關．不同的是定積分的積分區(qū)域為區(qū)間，被積函數為定義在區(qū)間上的一元函數，而二重積分的積分區(qū)域為平面區(qū)域，被積函數為定義在平面區(qū)域上的二元函數．【思考題解答】2.不能.第二十六頁，共二十八頁，編輯于2023年，星期四【練習】——機動被積函數相同,且非負,【解】

由它們的積分域范圍可知1.比較下列積分值的大小關系:第二十七頁，共二十八頁，編