第三章 測量誤差基本知識

第三章測量誤差基本知識第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四§9.1觀測誤差的分類一、觀測誤差基本概念1、觀測誤差：某量的各觀測值之間，或各觀測值與其理論上的應(yīng)有值(或最或然值)之間的不符值，統(tǒng)稱為觀測誤差。

2、真值與真誤差a.真值：觀測量在理論上的應(yīng)有值稱為觀測量的真值。

b.真誤差：觀測量的真值與觀測值之差稱為真誤差，即

3、最或然值與改正數(shù)a.最或然值：根據(jù)某量觀測值求得的該量的最終結(jié)果稱為最或然值，或最可靠值、平差值。

b.改正數(shù)：觀測量的最或然值與觀測值之差稱為改正數(shù)即

第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四二、觀測誤差產(chǎn)生因的原

1.人的原因

由于觀測者感覺器官的鑒別力的局限性，在進行儀器的安置、瞄準(zhǔn)、讀數(shù)等工作時，都會產(chǎn)生一定的誤差。與此同時，觀測者的技術(shù)水平、工作態(tài)度也會對觀測結(jié)果產(chǎn)生不同的影響。第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2.儀器的原因觀測所使用儀器都具有一定的精密度，而使觀測結(jié)果受到相應(yīng)的影響。例如使用只有厘米刻劃的普通鋼尺量距，就難以保證估讀厘米以下的尾數(shù)的準(zhǔn)確性。再說儀器本身也含有一定的誤差，例如水準(zhǔn)儀的視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管水準(zhǔn)軸、水準(zhǔn)尺的分劃誤差等等。顯然，使用這些儀器進行測量也就給觀測結(jié)果帶來誤差。

第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

3.外界環(huán)境的影響在觀測過程中所處的外界自然環(huán)境，如地形、溫度、濕度、風(fēng)力、大氣折射等因素都會給觀測結(jié)果帶來種種影響。而且這因素隨時都有變化，由此對觀測結(jié)果產(chǎn)生的影響也隨之變化，這就必然使觀測結(jié)果帶有誤差。無論觀測條件如何，都會含有誤差。但是各種因素引起的誤差性質(zhì)是各不相同的，表現(xiàn)在對觀測值有不同的影響，影響量的數(shù)學(xué)規(guī)律也是各不相同的。因此，有必要將各種誤差影響根據(jù)其性質(zhì)加以分類，以便采取不同的處理方法。

第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四三、觀測誤差的分類與處理原則1.系統(tǒng)誤差在相同觀測條件下對某個固定量所進行的一系列觀測中，在數(shù)值和符號上固定不變，或按一定的規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差對觀測結(jié)果的危害性很大，但由于它有規(guī)律性而可以設(shè)法將它消除或減弱。如在水準(zhǔn)測量中，可以用前后視距離相等的辦法來減少由于儀器不水平造成的誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，所以要盡量采取合適的儀器、合理的觀測方法來消除其影響。第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2.偶然誤差在相同的觀測條件下對某個量進行重復(fù)觀測中，如果單個誤差的出現(xiàn)沒有一定的規(guī)律性，也就是說單個誤差在大小和符號都不固定，表現(xiàn)出偶然性，這種誤差稱為偶然誤差，或稱為隨機誤差。在測量中，除不可避免的誤差之外，還可能發(fā)生錯誤。例如在觀測時讀錯讀數(shù)、記錄時記錯等等，在觀測結(jié)果中是不允許存在錯誤的。第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

3.粗差

由于觀測者的粗心或各種干擾造成的大于限差的誤差稱為粗差，如瞄錯目標(biāo)、讀錯大數(shù)等。4.誤差處理原則粗差是大于限差的誤差，是由于觀測者的粗心大意或受到干擾造成的錯誤。錯誤應(yīng)該可以避免，包含有錯誤的觀測值應(yīng)該舍棄，并重新進行觀測。系統(tǒng)誤差可通過采取適當(dāng)?shù)挠^測程序，或加以改正消除或削弱。偶然誤差則是不可避免的！第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四四、偶然誤差的特性（以兩組三角形閉合差為例）縱坐標(biāo)：頻率除以間隔橫坐標(biāo)：誤差大小+σ2+σ1-σ1-σ2第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

通過大量實驗統(tǒng)計結(jié)果表明，特別是當(dāng)觀測次數(shù)較多時，可以總結(jié)出偶然誤差具有如下的規(guī)律性：

1.在一定的觀測條件下，偶然誤差有界，即絕對值不會超過一定的限度；（界限性）2.絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會要大；（聚中性）3.絕對值相等的正誤差與負(fù)誤差，基其出現(xiàn)的機會基本相等。（對稱性）4.當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時、偶然誤差的算術(shù)平均值趨近于零。第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四§9.2衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)表征精度特征的量有如下幾種：一、方差當(dāng)觀測次數(shù)足夠多時，誤差分布符合正態(tài)分布，在一定的觀測條件下進行一組觀測，它對應(yīng)著一定的誤差分布。描述這種分布的方程為：

式中參數(shù)第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四式中參數(shù)

是觀測誤差的方差，是觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差），當(dāng)愈小時，誤差分布比較密集，表示該組觀測質(zhì)量好些；當(dāng)愈大時，誤差分布比較分散，表示該組觀測質(zhì)量差些

。由此可見，參數(shù)的值表征了誤差擴散的特征。

精度：是指誤差密集或離散的程度。第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

二、中誤差由于一組觀測誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測結(jié)果的精度。所以在評定觀測精度時，只要設(shè)法計算出該組誤差所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的值。在測量工作中，觀測個數(shù)總是有限的，為了評定精度，一般采用下述公式：

m稱為中誤差。這里的方括號表示總和，（i=1，2,…n）為一組同精度觀測誤差。從二者的公式可以看出，中誤差實際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值（估值）；隨著n的增大，m將趨近于。第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

三、平均誤差在測繪工作中，有時用平均誤差作為評定精度的指標(biāo)，計算公式如下：

稱為平均誤差，它是誤差絕對值的平均值。平均誤差與中誤差的關(guān)系為第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四四、相對中誤差有時中誤差不能很好的體現(xiàn)觀測結(jié)果的精度。例如，觀測5000米和1000米的兩段距離的中誤差都是±0.5米。從總的距離來看它們的精度是相同的，但這兩段距離單位長度的精度卻是不相同的。為了更好的體現(xiàn)類似的誤差，在測量中經(jīng)常采用相對中誤差來表示觀測結(jié)果的精度。第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

所謂相對中誤差就是利用中誤差與觀測值的比值來評定精度，通常稱此比值為相對中誤差。相對中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1／N。與相對誤差相對應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差、平均誤差都稱為絕對誤差。第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四五、容許誤差（極限誤差）由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。這個限值就稱為容許誤差。經(jīng)計算，絕對值大于一倍、二倍、三倍中誤差的偶然誤差的概率分別為31.7％，4.6％，0.3％；即大于二倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率很小，大于三倍中誤差的偶然誤差出現(xiàn)的概率近于零，屬于小概率事件。第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四在實際測量工作中，以三倍中誤差作為偶然誤差的極限誤差，即容許誤差：

在精度要求較高時，以二倍中誤差作為偶然誤差的容許值，即，在測量上將大于2倍或3倍中誤差的偶然誤差作為粗差，即錯誤來看待。第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四§9.3誤差傳播定律

闡述觀測值中誤差與觀測值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。一、誤差傳播定律一般形式設(shè)Z為獨立變量（即獨立觀測值）的函數(shù)，即

若已知獨立觀測量具有真誤差相應(yīng)的中誤差為，而Z的真誤差為ΔZ，相應(yīng)的中誤差，即第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

這些真誤差都是一個小量，將上式在處展開成級數(shù)，并取其近似值為：即：若對各獨立觀測量進行了k次觀測，每次所得方程自乘，然后相加可得：第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

上式中，當(dāng)時，上式中各偶然誤差Δ的交叉項總和為零，又有則

或上式就是函數(shù)中誤差與觀測值中誤差的一般關(guān)系式，即誤差傳播律的一般形式。第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

二、測量中常見的形式

1.倍數(shù)的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：式中Z為觀測值的函數(shù)，f為常數(shù)（無誤差，下同），x為觀測值，已知其中誤差為mx，現(xiàn)在求Z的中誤差mz，則有：

第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四2.和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)式中Z是的和或差的函數(shù)，為獨立觀測值，已知它們的中誤差為，現(xiàn)在求Z的中誤差,則有若各觀測值是同精度時，即，則有第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四3.線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)式中為獨立觀測值，已知它們的中誤差為，現(xiàn)在求Z的中誤差,則有

對于任意非線性的函數(shù)都可以展開成級數(shù)，變換成線性形式，再利用誤差傳播律進行計算。第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四§9.4算術(shù)平均值及觀測值的中誤差

設(shè)在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀測值為，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值確定出該未知量的最或然值。設(shè)未知量的真值為X，則可寫出觀測值的真誤差公式為

將上式相加得第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)以x表示上式觀測值的算術(shù)平均值，則有其中將上式兩邊取極限，得

由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測次數(shù)無限增多時，趨近于零，即

第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

可見：n趨近無窮大時，算術(shù)平均值即為真值。在實際應(yīng)用中，不論觀測次數(shù)的多少均以算術(shù)平均值x

作為未知量的最或然值，這是誤差理論中的一個公理。這種只有一個未知量的平差問題，在傳統(tǒng)的平差計算中稱為直接平差。第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式：式中，為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。以表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為

故

現(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式：式中，為常數(shù)。由于各獨立觀測值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m。以表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為

故

第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

可以看出，隨著n的增大，x的精度不斷提高，那么，隨意增加觀測個數(shù)對L的精度都有利而經(jīng)濟上又合算的呢？設(shè)觀測值精度在一定時，例如設(shè)m=1時，當(dāng)n取不同值時，可得mx值如表6.4-1：n1234561020304050100mx1.000.710.580.500.450.410.320.220.180.160.140.10表9.4-1第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

可以看出，隨著n的增大，mx值不斷減少，即x的精度不斷提高。但是，當(dāng)觀測次數(shù)增加到某一定的數(shù)目以后，再增加觀測次數(shù)，精度就提高得很少?？梢?，要提高最或然值的精度，單靠增加觀測次數(shù)是不經(jīng)濟的，需要考慮采用適當(dāng)?shù)膬x器、改進操作方法等。第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四§9.5加權(quán)平均值及其精度評定一、廣義算術(shù)平均值設(shè)對未知量進行了n次同精度觀測，得；現(xiàn)將n個觀測值分成兩組，其中第一組有n1個觀測值，第二組有n2個觀測值，則。將兩組觀測值分別進行平差計算。分別求得兩組觀測值的算術(shù)平均值，并以及表示為：

（1）第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

設(shè)觀測值的中誤差為m，則它們的中誤差可求得，為：

（2）根據(jù)全部同精度觀測值求該未知量的最或然值為：

（3）得

（4）第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

從上式可見，如果將及看成兩個不同精度觀測值，則為求被觀測量的最或然值時，在本例的情況下，只要考慮求得它們的觀測次數(shù)n1和n2，并代入（4）式就可求得。為了得出由不同精度觀測值求被觀測量的最或然值的一般公式，可將（2）式代入（4）式，得

（5）從上式可見，如果將上式中的m2換成另一常數(shù)，并不影響x的值。在測量工作中，令（6）第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四則（7）可以看出，的精度愈高，則mi愈小，而愈大，相應(yīng)的在x中的比重就大。反之，的精度愈低，即mi愈大，而愈小，相應(yīng)的在x中的比重就小。所以，也可以說：值的大小，權(quán)衡了觀測值在x中所占比重的大小，故稱為的權(quán)。

對于同精度觀測值的算術(shù)平均值L來說，其權(quán)就是參與計算的觀測值的次數(shù)。第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四當(dāng)對某未知量進行了n次不同精度觀測，得，其相應(yīng)的權(quán)為，求該量的最或然值時，可將（7）式擴充為：

稱上式為廣義算術(shù)平均值，或帶權(quán)平均值。第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期四

二、權(quán)求權(quán)的基本公式為（6）式，即（8）式中是任意常數(shù)。這個值含有什么意義呢？

可見：當(dāng)時，所以是權(quán)等于1的觀測值的中誤差，通常稱等于1的權(quán)為單位權(quán)，權(quán)