離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)

離散數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)第一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21數(shù)學(xué)的基本結(jié)構(gòu)序結(jié)構(gòu)：數(shù)的大小，次序拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)：平面幾何，立體幾何（歐氏空間）代數(shù)結(jié)構(gòu)：群第二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21Chapter4AlgebraSystem第三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.1代數(shù)系統(tǒng)的引入

(1)

一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)需要滿足下面三個(gè)條件：（1）有一個(gè)非空集合S；（2）有一些建立在S上的運(yùn)算；（3）這些運(yùn)算在集合S上是封閉的。第四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(1)

4.2.1運(yùn)算的概念定義

假設(shè)A是一個(gè)集合，AA到A的映射稱為A上的二元運(yùn)算。一般地，An到A的映射稱為A上的n元運(yùn)算。第五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(2)

4.2.2運(yùn)算的性質(zhì)（1）封閉性

如果

SA，對(duì)任意的

a,bS，有a*bS，則稱

S對(duì)運(yùn)算*是封閉的。假設(shè)*,+都是集合A上的運(yùn)算第六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(3)

4.2.2運(yùn)算的性質(zhì)（2）交換律

如果對(duì)任意的a,bA，都有a*b=b*a，則稱運(yùn)算*是可交換的。（3）結(jié)合律

如果對(duì)任意的a,b,cA，都有(a*b)*c=a*(b*c)，則稱運(yùn)算*是可結(jié)合的。第七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(4)

（4）分配律

如果對(duì)任意的a,b,cA，都有a*(b+c)=(a*b)+(a*c)

則稱*對(duì)+運(yùn)算滿足左分配；如果對(duì)任意的a,b,cA，都有(b+c)*a=(b*a)+(c*a)

則稱*對(duì)+運(yùn)算滿足右分配。如果運(yùn)算*對(duì)+既滿足左分配又滿足右分配，則稱運(yùn)算*對(duì)+滿足分配律。第八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(5)

（5）消去律

如果對(duì)任意的a,b,cA，當(dāng)a*b=a*c，必有b=c，則稱運(yùn)算*滿足左消去律；如果對(duì)任意的a,b,cA，當(dāng)b*a=c*a，必有b=c，則稱運(yùn)算*滿足右消去律；如果運(yùn)算*既滿足左消去律又滿足右消去律，則稱運(yùn)算*滿足消去律。第九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(6)

（6）吸收律

如果對(duì)任意的a,bA，都有a*(a+b)=a，則稱運(yùn)算*關(guān)于運(yùn)算+滿足吸收律。

（7）等冪律

如果對(duì)任意的aA，都有a*a=a，則稱運(yùn)算*滿足等冪律。

第十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.2運(yùn)算

(7)

第十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(1)

4.3.1代數(shù)系統(tǒng)的概念定義

假設(shè)A是一個(gè)非空集合，f1,f2,…,fn

是

A上的運(yùn)算（運(yùn)算的元素可以是不相同的），則稱A

在運(yùn)算f1,f2,…,fn

下構(gòu)成一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為：<A,f1,f2,…,fn>

第十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(2)

4.3.1代數(shù)系統(tǒng)的概念定義

假設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，SA，如果S

對(duì)*是封閉的，則稱<S,*>

為<A,*>的子代數(shù)系統(tǒng)。第十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(3)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（1）單位元（幺元）

假設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果eLA,對(duì)于任意元素xA，都有eL*x=x,則稱

eL為A

中關(guān)于運(yùn)算*的左單位元;

如果erA,對(duì)于任意元素xA，都有x*er=x,則稱er為A

中關(guān)于運(yùn)算*的右單位元;

如果A

中一個(gè)元素e

既是左單位元又是右單位元，則稱

e

為A

中關(guān)于運(yùn)算*的單位元。第十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(4)

第十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(5)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（1）單位元（幺元）

定理

假設(shè)<A,*>

是代數(shù)系統(tǒng)，并且A

關(guān)于運(yùn)算*有左單位元eL和右單位元er，則eL=er=e

并且單位元唯一。第十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(6)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（2）零元

假設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果LA,對(duì)于任意元素xA，都有L*x=L,則稱L為A

中關(guān)于運(yùn)算*的左零元;

如果rA,對(duì)于任意元素xA，都有x*r=r,則稱r

為A

中關(guān)于運(yùn)算*的右零元;

如果A

中一個(gè)元素既是左零元又是右零元，則稱為A

中關(guān)于運(yùn)算*的零元。第十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(7)

第十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(8)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（2）零元

定理

假設(shè)<A,*>

是代數(shù)系統(tǒng)，并且A

關(guān)于運(yùn)算*有左零元L

和右零元r，則L=r=

并且零元唯一。第十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(9)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（3）逆元

假設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，e

是<A,*>的單位元。對(duì)于元素aA，如果存在bA，使得b*a=e，則稱a為左可逆的，b

為a

的左逆元；如果存在cA，使得

a*c=e，則稱元素a

是右可逆的，c

為a

的右逆元。如果存在a’A，使得a’*a=a*a’=e，則稱a是可逆的，a’

為a

的逆元。a的逆元記為：a-1。第二十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(10)

第二十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(11)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（3）逆元

定理

設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，且

A

中存在單位元e，每個(gè)元素都存在左逆元。如果運(yùn)算*是可結(jié)合的，那么，任何一個(gè)元素的左逆元也一定是該元素的右逆元，且每個(gè)元素的逆元唯一。第二十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(12)

4.3.2代數(shù)系統(tǒng)中的特殊元素（4）冪等元

定義：在代數(shù)系統(tǒng)<A,*>中，如果元素a滿足a*a=a，那么稱a是A中的冪等元。第二十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.3代數(shù)系統(tǒng)

(12)

第二十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(1)

4.4.1基本概念定義

設(shè)<A,*>

和<B,>

是代數(shù)系統(tǒng)，f:AB,

如果f

保持運(yùn)算，即對(duì)x,yA,有f(x*y)=f(x)f(y)。稱f為代數(shù)系統(tǒng)<A,*>

到<B,>的同態(tài)映射，簡(jiǎn)稱同態(tài)。也稱之為兩代數(shù)系統(tǒng)同態(tài)。第二十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(2)

4.4.1基本概念定義設(shè)<A,*>

和<B,>

是代數(shù)系統(tǒng)，f

是A

到B

的同態(tài)。如果f

是單射的，稱f

為單同態(tài)；如果f是滿射的，稱

f

為滿同態(tài)；如果f是雙射的，稱f

為同構(gòu)映射，簡(jiǎn)稱為同構(gòu)。第二十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(3)

4.4.1基本概念定義

設(shè)<A,*>

是代數(shù)系統(tǒng)，若存在函數(shù)f:AA,并且對(duì)x,yA,有f(x*y)=f(x)*f(y)。稱f為<A,*>

的自同態(tài)；如果f是雙射的，則稱f為<A,*>

的自同構(gòu)。第二十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(4)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)（1）如果兩函數(shù)是同態(tài)、同構(gòu)的，則復(fù)合函數(shù)也是同態(tài)、同構(gòu)的。

定理

假設(shè)

f

是<A,*>

到<B,>的同態(tài)，g是<B,>到<C,>

的同態(tài)，則gf是<A,*>

到<C,>的同態(tài)；如果f

和g

是單同態(tài)、滿同態(tài)、同構(gòu)時(shí)，則gf也是單同態(tài)、滿同態(tài)和同構(gòu)。

第二十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(5)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)（2）滿同態(tài)保持結(jié)合律

定理

假設(shè)f

是<A,*>

到<B,>的滿同態(tài)。如果*運(yùn)算滿足結(jié)合律，則運(yùn)算也滿足結(jié)合律，即滿同態(tài)保持結(jié)合律。（3）滿同態(tài)保持交換律

第二十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(6)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理

假設(shè)

f是<A,*>

到<B,>的滿同態(tài)。e

是<A,*>

的單位元，則f(e)

是<B,>的單位元。（4）滿同態(tài)保持單位元

第三十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(7)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理

假設(shè)f是<A,*>到<B,>的滿同態(tài)。eA和eB分別是<A,*>和<B,>的單位元，如果A

中元素x和x’互逆，則B中元素f(x)和f(x’)也互逆。（5）滿同態(tài)保持逆元

第三十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(8)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理

假設(shè)f

是<A,*>

到<B,>的滿同態(tài)。是<A,*>

的零元，則f()

是<B,>的零元。（6）滿同態(tài)保持零元

第三十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(9)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理

假設(shè)f

是<A,*>到<B,>的滿同態(tài)。并且xA是<A,*>的冪等元，則f(x)B是<B,>的冪等元。（7）滿同態(tài)保持冪等元

第三十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.4同態(tài)與同構(gòu)

(10)

4.4.2同態(tài)、同構(gòu)的性質(zhì)定理

假設(shè)

f

是<A,*>

到<B,>的同構(gòu)映射。則

f-1是<B,>

到<A,*>

的同構(gòu)映射。（8）同構(gòu)映射運(yùn)算性質(zhì)雙向保持

第三十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.5同余關(guān)系與商代數(shù)

選講4.5.1同余關(guān)系定義

假設(shè)<A,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，E

是A上的等價(jià)關(guān)系。如果對(duì)x1,x2,y1,y2A，當(dāng)x1Ex2,y1Ey2時(shí)，必有(x1*y1)E(x2*y2)，則稱E是A上的同余關(guān)系。第三十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.6直積

(1)

定義：

設(shè)<A,*>

和<B,>

為兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，<AB,>

稱為兩代數(shù)系統(tǒng)的直積。其中AB

是A

和B

的笛卡爾乘積，定義如下：對(duì)任意的<x,y>,<u,v>AB，<x,y><u,v>=<x*u,yv>。

第三十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§4.6直積

(2)

定理：

假設(shè)<A,*>

和<B,>

為兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，且分別有單位元eA,eB，在兩代數(shù)系統(tǒng)的直積<AB,>中存在子代數(shù)系統(tǒng)S,T，使得

<A,*><S,>，<B,><T,>。第三十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21Chapter5Grouptheory第三十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(1)

5.1.1半群的定義定義：

設(shè)<S,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果*運(yùn)算滿足結(jié)合律，則稱<S,*>

是一個(gè)半群。第三十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(2)

例：假設(shè)S={a,b,c}，在S上定義運(yùn)算，如運(yùn)算表給出。證明<S,>是半群。

第四十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(3)

5.1.1半群的定義定義：

假設(shè)<S,*>

是一個(gè)半群，aS，n

是正整數(shù)，則an

表示n

個(gè)a的計(jì)算結(jié)果，即an=a*a*…*a。對(duì)任意的正整數(shù)m,n，

am*an=am+n，(am)n=amn。第四十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(4)

5.1.2交換半群

定義：

如果半群<S,*>

中的*運(yùn)算滿足交換律，則稱<S,*>

為交換半群。

在交換半群<S,*>

中，若a,bS，n

是任意正整數(shù)，則(a*b)n=an*bn

第四十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(5)

5.1.3獨(dú)異點(diǎn)（含幺半群）

定義：

假設(shè)<S,*>

是一個(gè)半群，如果<S,*>

中有單位元，則稱<S,*>

是獨(dú)異點(diǎn)，或含幺半群。第四十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(6)

5.1.3獨(dú)異點(diǎn)（含幺半群）

定理：

假設(shè)<S,*>

是獨(dú)異點(diǎn)，如果a,bS，并且a,b

有逆元

a-1,b-1存在，則：（1）(a-1)-1=a；（2）(a*b)-1=b-1*a-1。第四十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(7)

5.1.4子半群

定義：

假設(shè)<S,*>

是一個(gè)半群，若TS，且在*運(yùn)算下也構(gòu)成半群，則稱<T,*>

是<S,*>

的子半群。第四十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(8)

假設(shè)A={a,b}，<P(A),>

是一個(gè)含幺半群。若B={a}則P(B)P(A)并且<P(B),>構(gòu)成半群，是<P(A),>的子半群。第四十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(9)

5.1.4子半群

定義：

設(shè)<S,*>

是含幺半群，若<T,*>

是它的子半群，并且<S,*>

的單位元e

也是<T,*>單位元，則稱<T,*>

是<S,*>

的子含幺半群。第四十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.1半群

(10)

例：設(shè)<S,*>是可交換的含幺半群，T={a|aS，且a*a=a}，則<T,*>是<S,*>的子含幺半群。

第四十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(1)

5.2.1群的基本概念

定義：

設(shè)<G,*>

是一代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足以下幾點(diǎn)：

(1)

運(yùn)算是可結(jié)合的；

(2)

存在單位元e；

(3)

對(duì)任意元素a

都存在逆元a-1；則稱<G,*>

是一個(gè)群。第四十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(2)

例：假設(shè)R={0,60,120,180,240,300}表示平面幾何上圖形繞形心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度集合。*是定義在R上的運(yùn)算。定義如下：對(duì)任意的a,bR，a*b表示圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角度，再順時(shí)針旋轉(zhuǎn)b角度得到的總旋轉(zhuǎn)度數(shù)。并規(guī)定旋轉(zhuǎn)360度等于原來(lái)的狀態(tài)，即該運(yùn)算是模360的。整個(gè)運(yùn)算可以用運(yùn)算表表示。第五十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(3)

第五十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(4)

5.2.1群的基本概念

一個(gè)群如果運(yùn)算滿足交換律，則稱該群為交換群，或Abel群。第五十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(5)

5.2.2群的性質(zhì)

(1)任何群都沒(méi)有零元。(2)設(shè)<G,*>

是群，則G

中消去律成立。(3)設(shè)<G,*>是群，單位元是G中的唯一等冪元。

第五十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(6)

5.2.2群的性質(zhì)

(4)

設(shè)<G,*>,<H,>是群，f是G到H

的同態(tài)，若e為<G,*>的單位元，則f(e)是<H,>的單位元，并且對(duì)任意aG，有f(a-1)=f(a)-1。

(5)

設(shè)<G,*>是群，<H,>是任意代數(shù)系統(tǒng)，若存在

G到H的滿同態(tài)映射，則<H,>必是群。第五十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(7)

5.2.3半群與群

(1)

假設(shè)<G,*>是半群，并且①<G,*>中有一左單位元e，使得對(duì)任意的aG，有e*a=a；②<G,*>中任意元素a

都有“左逆元”a-1，使得a-1*a=e。則<G,*>

是群。第五十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(8)

5.2.3半群與群

(2)

假設(shè)<G,*>

是半群，對(duì)任意的a,bG，方程a*x=b，y*a=b

都在G

中有解。則<G,*>

是群。

(3)

有限半群，如果消去律成立，則必為群。第五十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(9)

5.2.4有限群的性質(zhì)

定理：

設(shè)<G,*>

是一個(gè)n

階有限群，它的運(yùn)算表中的每一行（每一列）都是G

中元素的一個(gè)全排列。第五十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(10)

5.2.4有限群的性質(zhì)

第五十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(11)

5.2.4有限群的性質(zhì)

第五十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(12)

例：假設(shè)<G,*>是一個(gè)二階群，則<GG,*>是一個(gè)Klein群。第六十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(1)

5.3.1子群定義：

設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，非空集合HG。如果H

在G

的運(yùn)算下也構(gòu)成群，則稱<H,*>是<G,*>

的子群。第六十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期第六十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(2)

5.3.1子群定理：

設(shè)<H,*>

是<G,*>

的子群，則

(1)<H,*>

的單位元eH

一定是<G,*>

的單位元，即eH=eG。

(2)

對(duì)aH，a

在H中的逆元a’，一定是

a在

G

中的逆元。第六十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(3)

5.3.2由子集構(gòu)成子群的條件(1)

設(shè)H

是群<G,*>

中G

的非空子集，則H構(gòu)成<G,*>

子群的充要條件是：①對(duì)a,bH，有a*bH；②對(duì)aH，有a-1H。第六十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(4)

5.3.2由子集構(gòu)成子群的條件(2)推論

假設(shè)<G,*>

是群，H

是G的非空子集，則<H,*>

是<G,*>

子群的充要條件是：對(duì)a,bH，有a*b-1H。第六十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(5)

5.3.2由子集構(gòu)成子群的條件(3)

假設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，H

是G

的非空有限子集，則<H,*>

是

<G,*>

子群的充要條件是：對(duì)a,bH，有a*bH。第六十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(6)

5.3.3元素的周期（1）群中元素的冪運(yùn)算

假設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，aG。則a0=e；ai+1=ai*a；

a-i=(a-1)i(i0)；

am*an=am+n；

(am)n=amn

（m,n為整數(shù)）。第六十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(7)

5.3.3元素的周期（2）元素的周期

定義：設(shè)<G,*>是一個(gè)群，aG。若存在正整數(shù)n，使得an=e，則將滿足該條件的最小正整數(shù)n

稱為元素a

的周期或階。若這樣的

n

不存在，則稱元素a

的周期無(wú)限。元素a

的周期記為：|a|。第六十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期例3：<Z4,+4>是一個(gè)群，其中Z4={[0],[1],[2],[3]}，其運(yùn)算表如右圖。[0]=[0]|[0]|=1[1]4=[0]|[1]|=4[2]2=[0]|[2]|=2

[3]4=[0]

|[3]|=4第六十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(8)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性質(zhì)設(shè)<G,*>是一個(gè)群，aG。①a

的周期等于a生成的循環(huán)子群(a)的階。即|a|=|(a)|；②若a

的周期為n，則am=e

的充分必要條件是

n|m。第七十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.3子群與元素周期

(9)

5.3.3元素的周期（3）元素周期的性質(zhì)推論：

設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，aG。若a的周期為n，則

(a)={a0,a1,...,an-1}。

第七十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.4循環(huán)群

(1)

5.4.1定義

設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，若在G

中存在一個(gè)元素

a，使得G

中任意元素都由a

的冪組成，即G=(a)={ai|iZ}，則稱該群為循環(huán)群，元素a

稱為循環(huán)群的生成元。第七十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.4循環(huán)群

(2)

5.4.2循環(huán)群的性質(zhì)（1）設(shè)<G,*>是一個(gè)循環(huán)群。

①若<G,*>

是n

階有限群，則

<G,*><Zn,+n>；②若<G,*>

是無(wú)限群，則

<G,*><Z,+>。第七十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.4循環(huán)群

(3)

5.4.2循環(huán)群的性質(zhì)（2）循環(huán)群的子群必為循環(huán)群（3）設(shè)<G,*>是n階循環(huán)群，m是正整數(shù)，并且m|n，則G中存在唯一一個(gè)

m階子群。第七十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.4循環(huán)群

(3)

設(shè)有一個(gè)由a生成的循環(huán)群,則我們有⑴若a的周期無(wú)限,則與<I,+>同構(gòu)。⑵若a的周期為m,則與同構(gòu)。第七十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.5置換群

(1)

5.5.1置換及其運(yùn)算

（1）有限集S

到其自身的雙射稱為S上的一個(gè)置換。當(dāng)|S|=n

時(shí)，S

上的置換稱為n

次置換。第七十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.5置換群

(2)

5.5.1置換及其運(yùn)算

（2）定義：設(shè)S上有如下置換

稱該置換為循環(huán)置換，記為(a1,a2,…,ai)，i為循環(huán)長(zhǎng)度。當(dāng)i=2

時(shí)稱為對(duì)換。單位置換，即恒等映射也視為循環(huán)置換，記為（1）或（n）。第七十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.5置換群

(3)

5.5.2置換群

（1）定義：一個(gè)階為n的有限集合S上所有的置換所組成的集合Sn及其復(fù)合運(yùn)算構(gòu)成群,稱<Sn,>

為n

次對(duì)稱群(Symmetricgroupofdegreen)，而<Sn,>

的任意子群稱為n

次置換群。n

次對(duì)稱群的階？|Sn|=？第七十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.5置換群

(4)

5.5.2置換群例1：假設(shè)S={1,2,3}，寫出S

的

3

次對(duì)稱群和所有的3

次置換群。

解：S3={f1,f2,f3,f4,f5,f6}，并且

f1=(1),f2=(1,2),f3=(1,3),f4=(2,3),f5=(1,2,3),f6=(1,3,2)第七十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21第八十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21f1是單位元，（f1）=｛f1｝f2，f3，f4，的階是2，（f2）=｛f2，｝=｛f1，f2｝（f3）=｛f3，｝=｛f1，f3｝（f4）=｛f4，｝=｛f1，f4｝f5，f6的階是3,（f5）=｛f5，,｝=｛f1，f5,f6｝（f6）=｛f6，,｝=｛f1，f5,f6｝

｛f1｝,｛f1，f2｝,｛f1，f3｝,｛f1，f4｝｛f1，f5,f6｝是子群，即3次置換群第八十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21例：有那些對(duì)稱群是可交換群（ABEL群）？第八十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.5置換群

(6)

5.5.2置換群

（2）性質(zhì)：（Cayley凱利定理）

任意n

階群必同構(gòu)于一個(gè)

n

次置換群。例2：給定一個(gè)正四邊形，如圖所示。四個(gè)頂點(diǎn)的集合為S={1,2,3,4}。第八十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(1)

5.6.1左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系）定義：

設(shè)<G,*>是一個(gè)群，<H,*>是其子群。利用

H在G

上定義關(guān)系：

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}則稱RH為G

上的模H左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系）；R’H為G上的模H

右同余關(guān)系（右陪集關(guān)系）。第八十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(2)

5.6.1左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系）定理：

設(shè)<H,*>

是<G,*>

的一個(gè)子群，則G

中模H

左同余關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。第八十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(3)

5.6.2左陪集定義：

設(shè)<H,*>

是<G,*>

的一個(gè)子群，則aG

為代表元的模H

同余關(guān)系的等價(jià)類[a]={a*h|hH}，稱為H

在G

內(nèi)由a

確定的左陪集。簡(jiǎn)記為：aH=[a]。第八十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(4)

5.6.2左陪集定理：

設(shè)<H,*>

是<G,*>

的一個(gè)子群，則：(1)eH=H；(2)對(duì)a,bH，aH=bHb-1*aH(3)對(duì)aG，aH=HaH第八十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：G={e,a,b,c,d,e,f}。1、寫出子群（a）2、證明（a）*c=c*（a）3、找出所有兩個(gè)元素的子群4、求（d）的有陪集第八十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(5)

5.6.2左陪集例：設(shè)<Z6,+6>是一個(gè)群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},試寫出<Z6,+6>中每個(gè)子群及相應(yīng)的左陪集。

第八十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(6)

5.6.3左商集和右商集定義：

設(shè)<H,*>

是<G,*>

的一個(gè)子群，由H

所確定的G

上所有元素的左陪集構(gòu)成的集合稱為G對(duì)H

的左商集，記為:SL={aH|aG};

所有右陪集構(gòu)成的集合稱為G

對(duì)H

的右商集，記為:SR={Ha|aG}。第九十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集設(shè)<H,*>

是群<G,*>

的子群。（1）利用H定義G上的關(guān)系

RH={<a,b>|a,bG,b-1*aH}

R’H={<a,b>|a,bG,a*b-1H}

則稱RH

和R’H分別為G

上的模H

左同余關(guān)系（左陪集關(guān)系）和右同余關(guān)系（右陪集關(guān)系）。（2）H

在G內(nèi)由a

確定的左、右陪集簡(jiǎn)記為：

aH=[a]={a*h|hH}={ah|hH}

Ha=[a]={h*a|hH}={ha|hH}

（3）左、右商集SL={aH|aG}、SR={Ha|aG}第九十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(7)

5.6.3左商集和右商集定理：

設(shè)<H,*>

是任意群<G,*>

的子群，則G

關(guān)于H的左、右商集必等勢(shì)。定義映射f:SLSR,

對(duì)aG，f(aH)=Ha-1第九十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21例：設(shè)<Z6,+6>是一個(gè)群，Z6={[0],[1],[2],[3],[4],[5]},運(yùn)算表如下：<{[0]},+6

><{[0][3]},+6

><{[0][2][4]},+6

><Z6,+6>

群<Z6,+6>的子群§5.6陪集第九十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21<{[0]},+6

>,H1={[0]},SL={[0]H1,[1]H1,

[2]H1,[3]H1,[4]H1,[5]H1}SR={H1[0],H1[1],H1[2],H1[3],H1[4],H1[5]}<{[0],[3]},+6

>,H2={[0],[3]},SL={[0]H2,[1]H2,[2]H2}SR={H2[0],H2[1],H2[2]}

所以SL與SR等勢(shì)§5.6陪集第九十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(8)

5.6.3左商集和右商集定義：

設(shè)<H,*>

是群<G,*>

的子群，SL的基數(shù)稱為H

在G

內(nèi)的指數(shù)。記為：[G:H]=|SL|。第九十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(9)

5.6.3左商集和右商集定理：

設(shè)<H,*>

是群<G,*>

的子群，H

的任意左陪集（右陪集）與H等勢(shì)。第九十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(10)

5.6.4Lagrange

定理定理：

假設(shè)<G,*>

是有限群，<H,*>

是<G,*>

的子群，則

H的階必整除G

的階，并且|G|=[G:H]|H|。n階群的子群的階一定是

n的因子。

第九十七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.6陪集

(11)

5.6.4Lagrange

定理（1）任何素?cái)?shù)階的群不可能有非平凡的子群。（2）素?cái)?shù)階的群必為循環(huán)群。（3）假設(shè)<G,*>是n

階有限群，則對(duì)

aG,|a||

n（形象表示？？）。（4）假設(shè)<G,*>是n

階有限群，則對(duì)

aG,an=e。第九十八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(1)

5.7.1正規(guī)子群的定義

設(shè)<H,*>

是群<G,*>

的子群，如果對(duì)aG

有aH=Ha，則稱<H,*>

是<G,*>

的正規(guī)子群（不變子群）。第九十九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(2)

例：假設(shè)S={1,2,3},S3={f1,f2,..,f6}第一百頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(3)

<{f1},>,<{f1,f2},>,<{f1,f3},>,<{f1,f4},>,<{f1,f5,f6},>,<S3,

>是三次置換群，是三次對(duì)稱群的子群，是否為正規(guī)子群？第一百零一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(3)

H1={f1},aS3

是否都有aH1=H1af1{f1,f2}={f1,f2}=f2{f1,f2},

{f1,f2}f1={f1,f2}={f1,f2}f2f3{f1,f2}={f3,f5}=f5{f1,f2},

{f1,f2}f3={f3,f6}={f1,f2}f6f4{f1,f2}={f4,f6}=f6{f1,f2},

{f1,f2}f4={f4,f5}={f1,f2}f5第一百零二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(4)

5.7.2判定正規(guī)子群的條件定理：

設(shè)<H,*>是群<G,*>的一個(gè)子群，則以下條件滿足：

(1)對(duì)aG,aH=Ha(2)對(duì)aG,hH,必存在h’H,使

h*a=a*h’(3)對(duì)aG,hH,a*h*a-1H，或者

a-1*h*aH。第一百零三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(3)

5.7.2判定正規(guī)子群的條件定理：

群<G,*>

的子群<H,*>

是正規(guī)子群的充要條件是：對(duì)aG，hH

有a*h*a-1H，或者a-1*h*aH。第一百零四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(3)

5.7.3商群定義：子群<H,*>是群<G,*>

的正規(guī)子群在G/H上定義新的運(yùn)算：對(duì)a,bG，有aHbH=(a*b)H，稱為G對(duì)H的商群。第一百零五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(4)

5.7.3商群例：N6,+6,

H={0,2,4}，H為N6的正規(guī)子群，故有商群

N6/H={0H,1H},*

(0H=H;1H={1,3,5}),其運(yùn)算如下:(0H)*(0H)=0H;(1H)*(1H)=2H=0H;(0H)*(1H)=(1H)*(0H)=1H;(0H)-1=0-1H=0H;(1H)-1=1-1H=5H=1H.第一百零六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(5)

5.7.4子集的乘積

假設(shè)<G,*>

是一個(gè)群，A,B是G的子集，集合

{ab|aA,bB}

稱為A,B的乘積，記為A*B或AB。（1）定義第一百零七頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(6)

5.7.4子集的乘積（I）子集的乘積滿足結(jié)合律。即

(A*B)*C=A*(B*C)（2）性質(zhì)（II）在子集的運(yùn)算下，任何子群都為冪等元，即HH=H。第一百零八頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.7正規(guī)子群

(7)

5.7.4子集的乘積定理：設(shè)<H,*>是群<G,*>的正規(guī)子群，則對(duì)a,bG，aH*bH=(a*b)H第一百零九頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21RingandFieldsChapter6第一百一十頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§6.1定義及基本性質(zhì)

(1)

6.1.1環(huán)

假設(shè)<A,,*>

是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，其中，和*都是集合A

上的二元運(yùn)算，如果滿足：（1）<A,>

是交換群（Abel群）；（2）<A,*>

是半群；（3）*對(duì)

是可分配的；則稱<A,,*>

是一個(gè)環(huán)。第一百一十一頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§6.1定義及基本性質(zhì)

(2)

6.1.2環(huán)的性質(zhì)

假設(shè)<A,,*>

是一個(gè)環(huán)。（1）因?yàn)?lt;A,>是Abel群，所以滿足結(jié)合性、交換性、消去律，<A,>中有單位元。第一百一十二頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21

約定：an=aa…a=na；對(duì)a,bA,(ab)n=nanb;am+n=aman=(m+n)a;amn=(am)n=n(ma)?！?.1定義及基本性質(zhì)

(3)

6.1.2環(huán)的性質(zhì)第一百一十三頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§6.1定義及基本性質(zhì)

(4)

6.1.2環(huán)的性質(zhì)（2）假設(shè)

e是<A,>的單位元，對(duì)a,b,cA有：①e*a=a*e=e②a*b-1=a-1*b=(a*b)-1③a-1*b-1=a*b④a*(bc-1)=(a*b)(a*c)-1⑤(b

c-1)*a=(b*a)(c*a)-1第一百一十四頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§6.1定義及基本性質(zhì)

(5)

6.1.3由*運(yùn)算確定的幾種環(huán)（1）在環(huán)<A,,*>

中，如果<A,*>

是含幺半群，并且e’

是單位元，則稱e’

為環(huán)的單位元。這時(shí)稱

A

為有單位元的環(huán)（有1環(huán)）。如果元素a

在<A,*>

中有逆元，則在含有單位元的環(huán)中，該元素的逆也稱為環(huán)中元素的逆。第一百一十五頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§6.1定義及基本性質(zhì)

(6)

6.1.3由*運(yùn)算確定的幾種環(huán)（2）如果環(huán)中只含有一個(gè)元素，此時(shí)該元素應(yīng)該是

<A,>中的單位元，當(dāng)然也是

<A,*>中的單位元和零元，所以這種環(huán)稱為零環(huán)。

（3）設(shè)

<A,,*>是環(huán)，當(dāng)

<A,*>是可交換半群時(shí)，稱

<A,,*>是可交換環(huán)。第一百一十六頁(yè)，共一百三十頁(yè)，編輯于2023年，星期一2023/6/21§5.2群的概念及其性質(zhì)

(12)

例1：假設(shè)<G,*>是一個(gè)二階群，則<GG,*>是一個(gè)Klei