第一章行列式 線性代數(shù)

第一章行列式線性代數(shù)2023/6/211第一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

前言線性代數(shù)的理論和方法已成為科學(xué)研究及處理各個領(lǐng)域問題的強(qiáng)有力工具．（線性：主要指有關(guān)變量是一次的。）考研數(shù)學(xué)試卷中比例已占：２２％2023/6/212第二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2010年考研數(shù)學(xué)大綱（線性代數(shù)）一、行列式二、矩陣三、向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型

2023/6/213第三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四本課程主要學(xué)習(xí)內(nèi)容：第一章行列式第二章矩陣第三章向量與線性方程組第四章矩陣的特征值與特征向量第五章二次型2023/6/214第四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第一章行列式

要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．2.會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式．3、會用克萊姆法則解線性方程組．

2023/6/215第五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1.１二階、三階行列式

(一)二階＼三階行列式1.消元法解線性方程組，引入二行列式2023/6/216第六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四簡記為其中

二階的（

系數(shù)）行列式2023/6/217第七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注:即克萊姆法則時(shí)的情形。2023/6/218第八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2、二階行列式計(jì)算方法：（對角線法則）（1）取“-”號（副對角線）取“+”號（主對角線）2023/6/219第九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（2）2023/6/2110第十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（3）例題：解線性方程組解：故方程組的解為：2023/6/2111第十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（二）三階行列式及其對角線法則1.消元法解線性方程組

哇！好簡潔啊！

注意寫法規(guī)律！（1）2023/6/2112第十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四其中：2023/6/2113第十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注:克萊姆法則時(shí)情形.2023/6/2114第十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2.三階行列式的引入

三階的（系數(shù)）行列式2023/6/2115第十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四行列式引入圖2023/6/2116第十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四記：

三階（系數(shù)）行列式取“-”號（副對角線及平行線）取“+”號（主對角線及平行線）Go212023/6/2117第十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例：解三元線性方程組2023/6/2118第十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2119第十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2120第二十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1.2n階行列式（一）n階行列式的定義1.觀察三階(二階)行列式的特點(diǎn)（1）表示一個數(shù)。一般項(xiàng)：取自不同行不同列的3元素之積，共3！=6項(xiàng)（二階：2！=2項(xiàng)）。（2）各項(xiàng)下標(biāo)：某一個三級排列（6種）（3）各項(xiàng)符號：三項(xiàng)正三項(xiàng)負(fù)．正負(fù)號與行標(biāo)自然順序排列時(shí)的列標(biāo)排列順序有關(guān).（注意：在各項(xiàng)乘積中，調(diào)整元素的位置，總可以使行標(biāo)成為自然順序排列?。﹩枺赫?fù)號如何確定？為此引進(jìn)“逆序”概念。Go172023/6/2121第二十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（1）n級（元）排列（前）n個自然數(shù)1、2、3、……

n的一個有序數(shù)列稱為一個n級排列。如32415是一個5級排列;213546是一個6級排列.２．排列與逆序2023/6/2122第二十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四所有n級(元)排列共有n!種；如：三級排列有3！=6種：123，132；213，231；312，321。五級排列有5！=120種：14325，15342，…，等（２）逆序與逆序數(shù)逆序：一個排列中，任意兩數(shù)大前小后排列構(gòu)成一個逆序；如132中32構(gòu)成一個逆序14325中43、42、32各構(gòu)成一個逆序逆序數(shù)：一個排列的逆序總數(shù)；n級排列逆序數(shù)記為2023/6/2123第二十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例

A.（123）=0，（132）=1；（213）=1，（231）=2；（312）=2，（321）=3。（14325）=3，（15432）=6；go３４

無逆序43、42、32各構(gòu)成一個逆序21構(gòu)成一個逆序32構(gòu)成一個逆序

54、53、52、43、42、32各構(gòu)成一個逆序B.逆序數(shù)計(jì)算方法：由后往前，算大數(shù)：（14325）=0+2+1=3由前往后，算小數(shù)：（15342）=0+3+1+1=52023/6/2124第二十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四Ｃ．逆序數(shù)計(jì)算例1.2.3.2023/6/2125第二十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（3）奇偶排列及其性質(zhì)

奇偶排列：逆序數(shù)為奇（偶）數(shù)的排列稱奇（偶）排列。對換：某兩數(shù)位置互換稱排列的一次對換。定理１.１：任意一個排列經(jīng)過一次對換奇偶性改變。例：確定奇偶排列；幻燈片32證明:(1)相鄰情形逆序數(shù)增加或減少1,都改變奇偶性;(2)一般情形相鄰兩數(shù)對換2s+1次,改變奇偶性。2023/6/2126第二十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四定理1.2:所有n!個n級排列中奇偶排列各占一半。證明：用這種方法，每一個不同的奇排將對應(yīng)著一個不同的偶排，故同理可證從而2023/6/2127第二十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例1：求i，j使25i4j1為偶排列。解：6級排列使i、j只能取3或6；由于例2:解：所以，i=6,j=3。奇排列偶排列2023/6/2128第二十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四有了逆序數(shù)及奇偶排列的概念,再來分析三階行列式各項(xiàng)的符號與列標(biāo)排列的關(guān)系.2023/6/2129第二十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

取“-”號（副對角線及平行線）取“+”號（主對角線及平行線）行標(biāo)成自然排列時(shí),列標(biāo)排列的奇偶性決定符號.2023/6/2130第三十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四(二)n階行列式的定義1.2P5（1）一般項(xiàng)：取自不同行不同列的n個元素之積；（2）各項(xiàng)下標(biāo)：使行標(biāo)成自然順序，則列標(biāo)為n級排列，共有n!項(xiàng)，奇偶排列各半；（3）各項(xiàng)符號：列下標(biāo)奇排列為負(fù)，偶排列為正。

n階行列式

行列式展開式、一個數(shù)請：用一階、二階和三階行列式驗(yàn)證。2023/6/2131第三十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例題：計(jì)算上三角行列式解：根據(jù)定義，從每一項(xiàng)元素取自不同行列入手，可知其值等于主對角線元素之積。2023/6/2132第三十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論：上、下三角、對角行列式的值都等于

主對角線元素之積！這提供了一種簡便常用的行列式計(jì)算方法。2023/6/2133第三十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四結(jié)論：副上下三角、副對角行列式的值都等于

副對角線元素之積，并考慮相應(yīng)的符號！2023/6/2134第三十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

n階行列式的等價(jià)定義（行列下標(biāo)都可任意排列）（1）（2）

行標(biāo)逆序

列標(biāo)逆序

行標(biāo)逆序

視情況靈活選用定義2023/6/2135第三十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例題求四階行列式中，含解：所求一般項(xiàng)應(yīng)為只能取2或4，確定而使奇數(shù)，即可得所求項(xiàng)且?guī)ж?fù)號的項(xiàng)。2023/6/2136第三十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四小結(jié)：1.二、三階行列式、對角線法則；2.排列的逆序數(shù)、奇偶排列；3.n階行列式定義及其計(jì)算。注意，三階以上行列式無對角線法則！作業(yè)布置：P35T5T10T12(2）（4）2023/6/2137第三十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四第一章：1.3行列式的性質(zhì)

1.4行列式的展開

目的要求1.熟練掌握行列式性質(zhì)，會用性質(zhì)計(jì)算行列式；2.掌握子式、余子式、代數(shù)余子式的求法；3.理解行列式與代數(shù)余子式之間的聯(lián)系；4.掌握行列式的展開方法（按某行、多行展開),并會用于簡化行列式的計(jì)算。2023/6/2138第三十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四一、復(fù)習(xí)2.二、三階行列式的對角線法則：1.逆序數(shù)及其求法：2023/6/2139第三十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注意：利用定義計(jì)算行列式，一般項(xiàng)取自不同行不同列的n個元素之積；符號由下標(biāo)排列的逆序數(shù)確定，正負(fù)號各半；展開式一共有n！項(xiàng)。

３.n階行列式定義與計(jì)算：2023/6/2140第四十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1.3行列式性質(zhì)性質(zhì)1.行列式轉(zhuǎn)置，值不變。

轉(zhuǎn)置：行列互換2023/6/2141第四十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四證：用定義證明，參見P11。設(shè)注：性質(zhì)1表明，行列式的行與列有相同地位。則從而2023/6/2142第四十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)2.兩行（列）互換值變號。證：用定義證明。參見P11-12（略）2023/6/2143第四十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四推論：兩行（列）對應(yīng)元素相同值為零。

證明：性質(zhì)3.某行（列）的公因子可外提.互換相同的兩行，2023/6/2144第四十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四推論1：某行（列）的元素都為零值為零。推論2：兩行（列）成比例值為零。(拆分)性質(zhì)4.：若某行（列）元素為兩數(shù)

和，則可拆成兩行列式的和。證明：由推論及性質(zhì)3可證。推論：若某行（列）元素為m個數(shù)

和，則可拆成m個行列式的和。2023/6/2145第四十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四性質(zhì)5.乘加法則：某行（列）乘以數(shù)k

后加到另一行（列）值不變。注意：乘加法則的實(shí)質(zhì)是“虛乘”“實(shí)加”，即被加行改變，被乘行不變。

2023/6/2146第四十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四利用定義和性質(zhì)計(jì)算行列式要點(diǎn)1.目標(biāo)：化行列式為上（下）三角形、對角形行列式計(jì)算；2.手段：利用行列式性質(zhì)，植樹“1”造林“0”；3.原則：靈活運(yùn)用行、列的各種變換，化簡行列式。注意：用性質(zhì)計(jì)算行列式，應(yīng)盡量做加法不做減法，避免分?jǐn)?shù)運(yùn)算。運(yùn)算過程可用P16-20頁例4-8的箭頭符號示意，也可用如下的例題符號示意。2023/6/2147第四十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1.例1計(jì)算行列式(化為三角形)解：2023/6/2148第四十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2149第四十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注:本例也可用“列”變換簡化運(yùn)算，還可以用更簡單靈活的其他各種變換進(jìn)行計(jì)算，也不必拘泥于植“樹”造“林”。但無論用那種方法計(jì)算，行列式的結(jié)果是唯一的。2023/6/2150第五十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2.例2解：3.例3解：2023/6/2151第五十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注意：本例將每行（列）各元素之和加到第一行（列）的方法具有普遍應(yīng)用性。2023/6/2152第五十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四4.例4解：2023/6/2153第五十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2154第五十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四5。例5：2023/6/2155第五十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四6。例6、計(jì)算行列式2023/6/2156第五十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2157第五十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四交換兩行變號2023/6/2158第五十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四7。例7：計(jì)算n階行列式解：當(dāng)行列式中零元素較多時(shí)，可考慮將行列式逐行（列）往前（后）遞加（減），將其化為三角行列式計(jì)算。故2023/6/2159第五十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2160第六十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四

1.４行列式按行（列）展開1.４.1余子式與代數(shù)余子式P21定義6在階行列式

中劃去元素

所在的第行和第

列的元素,剩下的個元素按原來的排法構(gòu)成一個階的行列式,稱為元素的余子式,記作

.對冠以符號后稱為元素

的代數(shù)余子式,記為

,即2023/6/2161第六十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四如:四階行列式

D的余子式:代數(shù)余子式:2023/6/2162第六十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四定理1.4:n階行列式D等于它的任意一行(列)各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，即或按行展開按列展開證明：P22-23（略）2023/6/2163第六十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四定理1.5:n階行列式D的某一行(列)的元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即或2023/6/2164第六十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四注意：按某行（列）展開，是降階簡化計(jì)算行列式的重要方法，特別適用于某行（列）零元較多的情形。例1：解：（1）直接按第一行展開計(jì)算2023/6/2165第六十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例：計(jì)算n階行列式解：按第一列展開可得遞推公式。2023/6/2166第六十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四由遞推公式可得：2023/6/2167第六十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例：計(jì)算范德蒙行列式解：從第n行開始，依次減去上一行的倍。2023/6/2168第六十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四得按第一列展開后，從每列提取一個公因式得原行列式與低一階的范德蒙行列式間的關(guān)系：2023/6/2169第六十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四依此類推，可得：2023/6/2170第七十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例：計(jì)算行列式解：2023/6/2171第七十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四定理1.6：（拉普拉斯定理）若在n階行列式D中，任意選取k行k列，這樣組成的所有k階子式與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式

D的值。（證略）例：2023/6/2172第七十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四2023/6/2173第七十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四三、小結(jié)：（略）1.性質(zhì)歸類：轉(zhuǎn)置，對換，公因子，拆分,乘加法則；2.利用性質(zhì)和展開式計(jì)算的技巧和特點(diǎn)。四、作業(yè)P36

1、T13(4)2、T14(3)3、T18(2）4、T215、T232023/6/2174第七十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四1.5克萊姆法則

一、復(fù)習(xí)（一）行列式性質(zhì)1.轉(zhuǎn)置相等。2.互換變號。3.公因子外提：某行公倍數(shù)4。兩數(shù)和拆成兩行列式和。5.乘加法則：虛乘實(shí)加值不變。6。值為零：成比例2023/6/2175第七十五頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四（二）行列式展開（降階）1.余子式、代數(shù)余子式2.行列式按某行展開

3。拉普拉斯定理：若在n階行列式D中，任意選取k行k列，這樣組成的所有k階子式與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式

D的值。2023/6/2176第七十六頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四二、定理1.7(克萊姆法則)：若非齊次線性方程組系數(shù)行列式不為零，則它有唯一解：例：P31例1利用行列式計(jì)算（解略）2023/6/2177第七十七頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四定理1.8：若齊次線性方程組（也稱（1）的導(dǎo)出組）系數(shù)行列式不為零，則它有唯一解：2023/6/2178第七十八頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四推論：齊次線性方程組有非零解的充要條件是例：P34例2,例3利用充要條件判定.2023/6/2179第七十九頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四例3取何值時(shí)有非零解？解：利用充要條件求解，注意行列式的計(jì)算技巧作業(yè)布置：P40.T29T33T40(7)(8)2023/6/2180第八十頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四線性方程組的矩陣表示法

真簡潔！2023/6/2181第八十一頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四線性代數(shù)2010年考研數(shù)學(xué)大綱一、行列式考試內(nèi)容行列式的概念和基本性質(zhì)行列式按行（列）展開定理考試要求:1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)．2.會應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開定理計(jì)算行列式．2023/6/2182第八十二頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四二、矩陣考試內(nèi)容:

矩陣的概念矩陣的線性運(yùn)算矩陣的乘法方陣的冪方陣乘積的行列式矩陣的轉(zhuǎn)置逆矩陣的概念和性質(zhì)矩陣可逆的充分必要條件伴隨矩陣矩陣的初等變換初等矩陣矩陣的秩矩陣的等價(jià)分塊矩陣及其運(yùn)算2023/6/2183第八十三頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四二、矩陣考試要求1．理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質(zhì)，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質(zhì)．2．掌握矩陣的線性運(yùn)算、乘法、轉(zhuǎn)置以及它們的運(yùn)算規(guī)律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質(zhì)．3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質(zhì)以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價(jià)的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法．

5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運(yùn)算法則．2023/6/2184第八十四頁，共八十八頁，編輯于2023年，星期四三、向量考試內(nèi)容:

向量的概念向量的線性組合與線性表示向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組等價(jià)向量組向量組的秩向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系向量的內(nèi)積線性無關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法考試要求1．了解向量的概念，掌握向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算法則．2．理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)等概念，掌握向